Pole (matemáticas)
En el análisis complejo , un polo de una función holomórfica es algún tipo de singularidad aislada que se comporta como la singularidad en z = 0 de la función , donde n es un número entero natural distinto de cero.
z∈VS∗↦z-no∈VS{\ Displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {*} \ mapsto z ^ {- n} \ in \ mathbb {C}}
Una función holomórfica que tiene solo singularidades aisladas que son polos se llama función meromórfica .
Definición y propiedades
Sea U un plano abierto del plano complejo ℂ, tiene un elemento de U y una función holomorfa . Decimos que a es un polo de f (o que f admite un polo en a ) si existe una función holomórfica g en una vecindad V ⊂ U de a tal que y un entero n ≥ 1 tal que para todo z en V \ { a } tenemos
F:U∖{a}→VS{\ Displaystyle f: U \ setminus \ {a \} \ to \ mathbb {C}}
gramo(a)≠0{\ Displaystyle g (a) \ neq 0}
F(z)=gramo(z)(z-a)no{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {g (z)} {(za) ^ {n}}}}
.
Entonces, tal escritura es única y el número entero n se llama orden del polo . Un polo de orden 1 a veces se denomina polo simple .
Un polo de f es un punto en el que | f | tiende hacia el infinito.
El punto a es un polo de f si (y solo si) en la vecindad de a , f no está acotado y 1 / f está acotado.
Ejemplos y contraejemplos
F(z)=3z{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {3} {z}}}
tiene un polo de orden 1 (o polo simple) en .
z=0{\ Displaystyle z = 0}
F(z)=z+2(z-5)2(z+7)3{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {z + 2} {(z-5) ^ {2} (z + 7) ^ {3}}}}
tiene un polo de orden 2 pulg y un polo de orden 3 .
z=5{\ Displaystyle z = 5}
z=-7{\ Displaystyle z = -7}
F(z)=pecadozz3{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z ^ {3}}}}
tiene un polo de orden 2 pulg , porque es
equivalente a en la vecindad de (esto se muestra, por ejemplo, usando la
serie de
Taylor de la función seno en el origen).
z=0{\ Displaystyle z = 0}pecadoz{\ Displaystyle \ sin z}
z{\ Displaystyle z}
z=0{\ Displaystyle z = 0}
- Contrariamente a las apariencias, la función
F(z)=pecadozz{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z}}}
no admite un polo en , porque en razón del equivalente evocado en el ejemplo anterior, es equivalente a 1 en la vecindad de . En particular, permanece acotado en la vecindad del origen, por lo tanto no es un polo de . Entonces podemos extendernos a una función holomórfica sobre el todo. Decimos que es una
singularidad borrable de .
z=0{\ Displaystyle z = 0}F(z){\ Displaystyle f (z)}
z=0{\ Displaystyle z = 0}F{\ Displaystyle f}
z=0{\ Displaystyle z = 0}F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}
z=0{\ Displaystyle z = 0}F{\ Displaystyle f}
F(z)=Exp(1z){\ Displaystyle f (z) = \ exp \ left ({\ frac {1} {z}} \ right)}
no admite un poste . De hecho y ambos son ilimitados en las cercanías de . Hablamos entonces de
singularidad esencial y ya no de polo.
z=0{\ Displaystyle z = 0}F{\ Displaystyle f}1/F{\ Displaystyle 1 / f}
z=0{\ Displaystyle z = 0}
Ver también
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