Identidad de Euler

En matemáticas , la identidad de Euler es una relación entre varias constantes fundamentales y el uso de las tres operaciones aritméticas de suma , multiplicación y exponenciación :

{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi} + 1 = 0}

donde la base $e$ del logaritmo natural es el análisis , la unidad imaginaria $i$ representa el álgebra , la constante Arquímedes $π$ representa la geometría , el entero 1 la aritmética y el número 0 las matemáticas .

Lleva el nombre del matemático Leonhard Euler que lo hace aparecer en su Introductio , publicado en Lausana en 1748 . Antes de ser citada por Euler, esta fórmula la conocía el matemático inglés Roger Cotes , fallecido en 1716.

Demostración

Por análisis complejo

Dado que $cos π = -1$ y $sin π = 0$ , esta fórmula es el caso especial $x = π$ de la fórmula de Euler en análisis complejo (para cualquier número real $x , e i x = cos x + i sin x$ ).

También es el caso especial n = 2 de la nulidad de la suma de las n - ésimas raíces de la unidad .

Por geometría

Yuxtaposición de 8 triángulos rectángulos
Yuxtaposición de 16 triángulos rectángulos
Ilustración del resultado

La interpretación geométrica que proporciona una pista de demostración mediante una secuencia se basa en la yuxtaposición de triángulos rectángulos .

\ forall z \, \ in {\ mathbb {C}} \ quad {\ mathrm e} ^ {z} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left (1 + {\ dfrac {z} { n}} \ derecha) ^ {n}

sin embargo, las complejas multiplicaciones que dan como resultado rotaciones, el punto de coordenadas se obtiene yuxtaponiendo N triángulos rectángulos. $\ left (1 + {\ dfrac {{\ mathrm i} \ pi} N} \ right) ^ {N}$

Belleza matemática

La identidad de Euler se cita a menudo como ejemplo de belleza matemática .

De hecho, además de la igualdad, allí se utilizan tres de las operaciones fundamentales de la aritmética, cada una una vez: suma , multiplicación y exponenciación . La identidad también involucra cinco constantes matemáticas fundamentales:

0 , el elemento neutro de la adición.
1 , el elemento neutro de la multiplicación.
$π$ , omnipresente en trigonometría , geometría en el espacio euclidiano y análisis matemático ( $π$ = 3,14159265 ...)
$e$ , base de logaritmos que suele aparecer en análisis, cálculo diferencial y matemática financiera ( $e$ = 2.718281828 ...). Al igual que $π$ , es un número trascendente .
$i$ , la unidad imaginaria en la base de los números complejos , que permitió el estudio de la resolución de ecuaciones polinomiales antes de ver extendido su uso.

El inventario de estos diferentes elementos se demuestra mejor con la notación polaca inversa de la fórmula de Euler:

0; 1; e ; i ; π; *; ^; +; =

Además, en esta forma, la identidad se escribe como una expresión igual a cero, una práctica común en matemáticas.

$Deducimos$ que el exponencial complejo es $2πi$ - periódico .

Tributos

Paul Nahin, profesor emérito de la Universidad de New Hampshire , escribe en su trabajo sobre la identidad de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier que la fórmula define "el estándar de oro de la belleza matemática " .

Cuando la identidad de Euler fue revelada a Benjamin Peirce , declaró: “Señores, ciertamente es cierto, es absolutamente paradójico; no podemos entenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos probado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad. " .

Euler's Identity también aparece en la novela The Housekeeper and the Professor of Yoko Ogawa .

Historia

El matemático inglés Roger Cotes (fallecido en 1716, cuando Euler tenía solo 9 años) conocía esta identidad. Euler podría haberse enterado de su existencia por su compatriota suizo Johann Bernoulli .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Identidad de Euler ” ( ver la lista de autores ) .

" Elementos neutros _ neutralización de un factor_ o término_ propiedades de las 4 operaciones con números enteros y decimales " , en warmaths.fr (consultado el 22 de septiembre de 2017 )
puede encontrar en Math Stack Exchange un análisis detallado de esta demostración (en) .
(en) James Gallagher , " Matemáticas: por qué el cerebro ve la belleza de las matemáticas " , BBC News Online ,13 de febrero de 2014( leer en línea ).
(en) John Allen Paulos , Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics , Penguin , 1992 ( ISBN 0-14-014574-5 ) , p. 117.
(en) Robert P. Crease (en) , "Las ecuaciones tienen iconos " PhysicsWeb , marzo de 2007 ( inscripción en el acceso ).
(en) Eli Maor , e: La historia de un número , Princeton University Press , 1998 ( ISBN 978-0-691-14134-3 ) , p. 160 y (en) Edward Kasner y James R. Newman , Matemáticas y la imaginación (en) , Dover , 2013 ( 1 st ed. Simon & Schuster , 1940), p. 103-104 .
(en) Charles Edward Sandifer, The Early Mathematics of Leonhard Euler , American Mathematical Society, p. 4 . ( ISBN 978-0521116602 )