Hemicontinuidad

En matemáticas , los dos conceptos topológicos duales de hemicontinuidad superior y hemicontinuidad inferior permiten extender la noción de continuidad de una función a multifunciones . En el análisis funcional se define otro tipo de hemicontinuidad para los operadores de un espacio de Banach en su dual topológico y en particular para los operadores de un espacio de Hilbert en sí mismo.

Definiciones

Dejar que A y B dos espacios topológicos , Γ una función de varios valores - o "ajuste" - de A en B , es decir, una aplicación de A en el conjunto de subconjuntos de B y tiene un punto A .

La correspondencia Γ se dice

hemicontinue superior en un sipara cualquier V abierto que contenga Γ ( a ), existe una vecindad U de a tal que V contiene Γ ( x ) para todo x de U ;
hemicontinuo inferiormente en un sipara cualquier V abierto que se encuentre con Γ ( a ), existe una vecindad U de a tal que V se encuentra con Γ ( x ) para todo x de U ;
Continuo tiene si está en hémicontinue tiene tanto arriba como abajo;
con valores cerrados (resp. compacto, resp. cuasi-compacto) si todos los Γ ( a ) están cerrados (resp. compacto , resp. cuasi-compacto ).

La gráfica de Γ es el conjunto

{\ Displaystyle {\ rm {Gr}} (\ Gamma): = \ {(a, b) \ in A \ times B \ mid b \ in \ Gamma (a) \}.}

Por supuesto, Γ se dice hémicontinue superior e inferiormente hémicontinue o continúa cuando el este en cualquier punto A .

Ejemplos de

Cualquier correspondencia constante es continua (por lo que es fácil construir correspondencias continuas de un compacto en sí mismo y con valores no cerrados).
La correspondencia de ℝ en ℝ definida por Γ ( x ) = {0} si x ≤ 0 y Γ ( x ) = [0, 1] si x > 0 (una variante de la cual se representa en el lado opuesto) es menor semicontinua pero no mayor , ya que tiene valores cerrados pero su gráfica no es cerrada ( cf. § “Teorema de gráfica cerrada” más abajo ). Más directamente: no es semicontinuo por encima del punto 0 porque el abierto] –1, 1 [contiene Γ (0) pero no contiene Γ ( x ) si x > 0.
El definido por Γ ( x ) = {0} si x <0 y Γ ( x ) = [0, 1] si x ≥ 0 (una variante de la cual se muestra a continuación ) es la mitad superior continua, pero no la mitad inferior. continua en el punto 0 porque el abierto] 0, 1 [cumple con Γ (0) pero no cumple con Γ ( x ) si x <0.
Si todos Γ ( a ) son singleton , en otras palabras si Γ ( a ) = { f ( a )} para algún mapa f de A a B :
- Γ es superiormente semicontinuo si y solo si es inferiormente, y esta continuidad de la correspondencia Γ es equivalente a la del mapa f .
- el gráfico de la correspondencia Γ es igual al del mapa f (por tanto, es fácil construir correspondencias de ℝ en ℝ, con valores compactos y de gráfico cerrado, que no sean semicontinuos ni arriba ni abajo).

Propiedades

Caracterizaciones

Γ es superiormente semicontinuo si y solo sipara cualquier V abierto de B , el conjunto de puntos x tal que Γ ( x ) está incluido en V es un abierto de Aopara todo F cerrado a B , el conjunto de puntos X tal que Γ ( x ) se encuentra con F es un A cerrado .
Γ es semicontinuo más bajo si y solo sipara cualquier V abierto de B , el conjunto de puntos x tal que Γ ( x ) se encuentra con V es un abierto de Aopara todo F cerrado a B , el conjunto de puntos X tal que Γ ( x ) está incluido en F es un A cerrado .

En particular :

el conjunto de x para el que Γ ( x ) no está vacío está cerrado en el primer caso y abierto en el segundo;
si la gráfica de Γ está abierta entonces Γ es semicontinua menor (ya que para cualquier punto y de B , el conjunto de x tal que y ∈ Γ ( x ) está abierto). Lo contrario es falso, pero si Γ es semicontinuo más bajo y si d es una desviación continua en B , entonces, para todo r > 0, la gráfica de la siguiente correspondencia está abierta: x ↦ { y ∈ B | d ( y , Γ ( x )) < r } (con, por convención, d ( y , ∅) = $+ \infty$ ).

Operaciones

Bajo ciertos supuestos o restricciones, la semicontinuidad se conserva mediante las operaciones habituales.

La hemicontinuidad superior o inferior se conserva por composición , en particular por restricción .
Γ es hemicontinuo por debajo del punto a si y solo si su cierre Γ : x ↦ Γ ( x ) es.
Cuando B es normal , si Γ es semicontinuo por encima del punto a , entonces Γ también lo es.
Cuando B es un espacio localmente convexo :
- si Γ es hemicontinuo por debajo del punto a, entonces su envolvente convexa co (Γ): x ↦ co (Γ ( x )) también lo es;
- si Γ es semicontinuo por encima del punto a y si la envolvente convexa cerrada co (Γ ( a )) es compacta, entonces co (Γ) y co (Γ) también son semicontinuos por encima del punto a .
La hemicontinuidad inferior se conserva mediante uniones arbitrarias y la hemicontinuidad superior se conserva mediante uniones finitas.
La hemicontinuidad superior se conserva mediante intersecciones finitas, pero no la hemicontinuidad inferior. Sin embargo, la semicontinuidad inferior se conserva mediante la intersección con cualquier coincidencia de gráfico abierto.
La propiedad de ser superiormente semicontinuo y con valores cuasi-compactos (o compactos) es preservada por cualquier producto , y la semicontinuidad más baja es preservada por los productos terminados.

Teorema del gráfico cerrado

Las propiedades de compacidad o cierre del gráfico están íntimamente ligadas a la hemicontinuidad superior.

Primero podemos generalizar el teorema clásico sobre la imagen continua de un compacto :

Si Γ: A → B es superiormente semicontinuo y con valores cuasi-compactos y si A es cuasi-compacto, entonces la gráfica de Γ es cuasi-compacta (la unión de Γ ( a ) también).

Cualquier correspondencia para la cual el gráfico está cerrado es obviamente con valores cerrados. La semicontinuidad superior asegura un recíproco - análogo de una propiedad de funciones continuas con valores en un espacio separado - y por el contrario, el cierre del gráfico asegura la hemicontinuidad superior, bajo un supuesto de compacidad:

Sea Γ: A → B una correspondencia.

Si Γ es hémicontinue superior y valores cerrados y si B es normal , entonces el Γ gráfico está cerrado en A × B .
Si la gráfica de Γ es cerrada y si B es cuasi-compacto, entonces Γ es semicontinuo más alto.

Demostraciones

Suponga que Γ es superiormente semicontinuo y con valores cuasi-compactos y que A es cuasi-compacto.
- La reunión K de Γ ( un ) es casi compacta o bien ( U i ) i ∈ I un recubrimiento abierto de K . Cada cuasi-compacto Γ ( a ) está cubierto por una subfamilia finita ( U i ) i ∈ I a , de la cual denotaremos O en la unión. El cuasi-compacto A está cubierto por abierto O tiene por lo tanto un finito subfamilia ( O 's ) tiene ∈ F . La reunión J de I tiene cuando un navegando F está terminado entonces, y ( U i ) i ∈ J cubre K .
- La gráfica de Γ en sí es cuasi-compacta: es la unión de Δ ( a ), donde Δ es la correspondencia de A en A × B definida por Δ ( a ) = { a } × Γ ( a ).
Supongamos que Γ es superiormente semicontinua y con valores cerrados y que B es regular y demostremos que el complemento de Gr (Γ) es abierto, es decir vecindario de todos sus puntos. Sea ( a , b ) ∉ Gr (Γ); existen en B dos aberturas disjuntas, V que contiene el Γ cerrado ( a ) y W que contiene el punto b . El V abierto contiene Γ ( a ) por lo tanto contiene Γ ( x ) para todo x de un cierto U abierto que contiene a . El U × W abierto , que contiene ( a , b ), se separa de Gr (Γ).
Suponga que Gr (Γ) es cerrado y que B es cuasi-compacto. Entonces Γ es hémicontinue superiormente porque por cada cerrado F a B , el conjunto G de x tal que Γ ( x ) cumple F está cerrado en A . De hecho, la proyección de A × B en A es un mapa cerrado y G es la imagen, por esta proyección, del cerrado ( A × F ) ∩Gr (Γ).

Podemos deducir:

Teorema - Si B es compacto, la gráfica de Γ: A → B es cerrada si y solo si Γ es superiormente semicontinua y con valores cerrados.

Caracterizaciones secuenciales

Las definiciones y propiedades anteriores son puramente topológicas, pero la mayoría de los autores se limitan al caso de los espacios métricos (típicamente: partes de espacios euclidianos ).

Suponemos en esta sección que A y B son metrizables .

Entonces, el gráfico se cierra si y solo si se cierra secuencialmente , es decir, si para todas las secuencias convergentes a n → a en A y b n → b en B tales que b n ∈ Γ ( a n ), tenemos b ∈ Γ ( a ).

El mismo principio proporciona una caracterización de la hemicontinuidad en términos de secuencias:

Una correspondencia Γ: A → B es

superiormente hemicontinuo y con valores compactos si y solo si, para todas las secuencias a n → a en A y b n ∈ Γ ( a n ), la secuencia ( b n ) tiene un valor de adherencia en Γ ( a );
inferiormente semicontinuo si y solo si, para cualquier secuencia a n → a en A y todo b ∈ Γ ( a ), existe una subsecuencia ( a n k ) de ( a n ) y b k ∈ Γ ( a n k ) tal que b k → b .

Demostración

:
- ⇒: supongamos que Γ es superiormente semi-continuo y con valores compactos y que un n → una y b n ∈ Γ ( un n ). Sin pérdida de generalidad , los únicos elementos de A son a n y a . De acuerdo con una propiedad del § anterior, la gráfica de Γ es entonces compacta por lo tanto en esta gráfica, la secuencia ( a n , b n ) tiene un valor de adherencia ( c , b ), y c = a por lo tanto b ∈ Γ ( a ).
- ⇐: suponga que se verifica la condición de las secuencias.
  - hemicontinuidad: dejar que F una cerrada B y G el conjunto de puntos x tal que Γ ( x ) cumple F . Para mostrar que G está cerrada, comprobar que para cualquier secuencia de ( a n ) con valores en G que converge en A , el límite es de hasta G . Para ello, elegir para cualquier número natural n un b n ∈ Γ ( un n ) ∩ F . Cualquier valor de adherencia ( b n ) a continuación, para F y no se supone en Γ ( una ), por lo que un ∈ G .
  - Valores compactos: para cualquier punto a de A , Γ ( a ) es compacta y por lo tanto compacta .
:
- ⇒: suponga que Γ es semicontinuo inferior y a n → a , y fije a b ∈ Γ ( a ). Para cualquier número entero k > 0, la bola B ( b , 1 / k ) se reúne Γ ( x ) para cualquier x suficientemente cerca de una , por lo que cumple Γ ( un n ) para cualquier n mayor que un cierto n k . Al elegir además ( n k ) estrictamente creciente, construimos una subsecuencia ( a n k ) de ( a n ) y b k ∈ Γ ( a n k ) ∩ B ( b , 1 / k ).
- ⇐: por contrapuesto , suponga que Γ no es semicontinuo inferior al punto a y construimos una secuencia a n → a que no satisface la condición. Deje V abrir que cumple Γ ( una ) en un b , pero de tal manera que cualquier bola B ( un , 1 / n ) contiene una un n cuya imagen no cumple V . Entonces, para cualquier subsecuencia ( a n k ) de ( a n ) y todo b k ∈ Γ ( a n k ), la secuencia ( b k ) tiene valores en el complemento de la vecindad V de b , entonces ne converge no a b .

Topologías en todas las partes

Si B es metrizable, Γ: A → B con valores compactos no vacíos es continuo como correspondencia si y solo si es continuo como un mapeo valorado en el conjunto de compactos no vacíos de B , dotados de la distancia de Hausdorff .

También hay topologías en el conjunto de partes de B que caracterizan la hemicontinuidad superior e inferior.

Análisis funcional

Sea un espacio de Banach y su dual topológico . Para y , establecemos: $V$ ${\ Displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle x \ in V}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime} \ in V ^ {\ prime}}$

{\ Displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}

Se dice que un operador (no necesariamente lineal) de in es semicontinuo si sus restricciones a los segmentos son continuas en débil- * , es decir, si para todos , el mapa $A$ $V$ ${\ Displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle (x, y, z) \ in V ^ {3}}$

{\ Displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

es continuo.

Operador de un espacio de Hilbert en sí mismo

En particular, un operador de un espacio de Hilbert en sí mismo (identificado canónicamente con ) es semicontinuo si y solo si para todos , el mapa $A$ $H$ $H '$ ${\ Displaystyle (x, y, z) \ in H ^ {3}}$

{\ Displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

es continuo, donde 〈·, ·〉 denota el producto escalar de . $H$

Notas y referencias

O para cualquier vecindario V de Γ ( a ) .
O un abierto U que contiene una .
(en) Charalambos D. Aliprantis y Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( 1 st ed. 1994), 703 p. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , leer en línea ) , cap. 17 ("Correspondencias").
Un contraejemplo lo proporcionan dos mapas continuos de A a B de manera que el conjunto de puntos donde coinciden no está abierto.
(en) George Xian-Zhi Yuan , El estudio de las desigualdades Minimax y sus aplicaciones a la economía y las desigualdades variacionales , AMS , al. "Memorias de la American Mathematical Society" ( n o 625)1998( leer en línea ) , pág. 26, Teorema 1.7.
(en) Anton Badev y Matthew Hoelle, " Correspondencias " , p. 5 .
(en) Efe A. Ok , Elementos de la teoría del orden ( leer en línea ) , "Apéndice: Introducción a los espacios topológicos" , p. 22, prop. 1.7.7.
O incluso solo T 3 .
Se muestra en la (in) Efe A. Ok , Análisis real con las aplicaciones de Economía , PUP ,2007, 802 p. ( ISBN 978-0-691-11768-3 , leer en línea ) , cap. E (“Continuidad II”) , pág. 287-305 en el caso particular de los espacios métricos.
A menos que a veces reemplace la noción de suite por la de suite generalizada , como Aliprantis y Border 2007 .
Bastaría suponer que tengan bases contables de barrios y separados .
(in) Ángel de la Fuente , Métodos y modelos matemáticos para economistas , UPC ,2000, 835 p. ( ISBN 978-0-521-58529-3 , leer en línea ) , pág. 108-114.
(en) Erwin Klein y Anthony C. Thompson , Teoría de las correspondencias: incluidas las aplicaciones a la economía matemática , John Wiley & Sons ,1984.
En el caso de que V sea un espacio de Banach reflexivo (identificable por su bidual), las topologías débil y débil- * son iguales.
Brezis, 1966 .

Ver también

enlaces externos

(en) Guillermo Ordoñez, “ Notes on Upper Hemi-continuity ” , en Penn Arts & Sciences ,2006.
(en) Tigran A. Melkonyan, " Introducción a las funciones, secuencias, espacios métricos y topológicos, continuidad, semicontinuidad y hemicontinuidad " , en la Universidad de Nevada en Reno ,2007.
(en) Chris Shannon, “ Economics 204 / Lecture 7 ” , en UC Berkeley , Economics Laboratory Software Archive ,agosto 2011.

Bibliografía

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