Un modelo matemático es una traducción de una observación para aplicarle herramientas, técnicas y teorías matemáticas y, en general, a la inversa, la traducción de los resultados matemáticos obtenidos en predicciones u operaciones en el mundo real.
Un modelo siempre se relaciona con lo que se espera deducir de él. El mismo objeto, por ejemplo un ratón, no se modelará de la misma forma dependiendo de si nos interesa
Asimismo, un modelo nunca es perfecto, ni totalmente representativo de la realidad: la elección de los parámetros y las relaciones que los unen ilumina la finalidad. Dentro de un mismo modelo, la elección de los valores de los parámetros puede permitir aprehender diversos aspectos, o incluso diferentes realidades.
Incluso cuando se establece el objetivo, a menudo hay varios modelos posibles, cada uno de los cuales tiene ventajas específicas.
“En cualquier modelo, existe una elección a priori del entorno matemático utilizado para describir todos los fenómenos. La formulación rara vez se identifica con manifestaciones físicas reales. "
Así, en física , es conveniente utilizar un espacio euclidiano tridimensional, o un espacio "curvo", o un espacio con 4, 5, 11 o 26 dimensiones , o un espacio de Hilbert , etc. Aunque en general es posible mostrar una gran proximidad de estas diferentes representaciones, no obstante resultan más o menos adecuadas a la situación considerada. Estas formulaciones teóricas siguen siendo modelos útiles para comprender la realidad, pero son diferentes de ella. Por ejemplo, cuando un físico declara que "el universo se está expandiendo", debe entenderse que implícitamente afirma que "en relación con mi marco matemático, todo sucede como si ...". Otro físico puede afirmar que "el universo no se está expandiendo": pueden estar de acuerdo perfectamente si las formulaciones matemáticas son distintas.
La misma observación se aplica a otros campos, en particular a los modelos económicos y contables, cuyos resultados y las decisiones resultantes tienen importantes consecuencias económicas y fiscales: el arquetipo de la modelización económica es el catastro fiscal y las bases. sabe bien que son "falsas", es decir, que sólo reflejan imperfectamente el valor real que se supone debe servir de referencia.
Todo ello sin desconocer la realidad: si bien un modelo de obra civil para la construcción de un puente garantiza la robustez de la estructura, no se descarta que acabe colapsando (por otro lado, si el modelo indica que tal variante es demasiado débil, sería una tontería llevarlo a cabo).
Se puede practicar el modelado
Estos modelos matemáticos se utilizan para anticipar eventos o situaciones, como pronosticar el clima con el clima , estimar precios potenciales de activos financieros con modelos de valoración en finanzas o prevenir epidemias. Estamos hablando de modelos predictivos , en los que las variables conocidas, llamadas “explicativas”, se utilizarán para determinar variables desconocidas, llamadas “por explicar”.
En este caso, los modelos se utilizan para representar datos históricos. Hablamos de modelos descriptivos . El objetivo es reportar, de manera interpretable, una masa de información. El arquetipo de estos modelos es la contabilidad : describe de forma simplificada los hechos económicos reales asignándoles una cuenta, es decir, una "etiqueta" que se supone que los caracteriza. A continuación, estas cuentas se agregan para presentar la situación económica de empresas y países de forma estándar.
Los dos tipos de modelos están perfectamente vinculados: una buena predicción supone al menos la predicción de la situación pasada y actual, es decir, una buena descripción. Por el contrario, una buena descripción sería perfectamente inútil si no sirviera al menos como diagnóstico, o como mapa, para identificar el rumbo a seguir.
El mismo modelo matemático puede aplicarse a muchas situaciones, sin tener necesariamente una relación obvia. Por ejemplo, los generadores de paisaje son capaces de crear formas realistas de objetos tan diferentes como montañas, árboles, rocas, pasto, conchas marinas o copos de nieve, con un modelo general, luego el mismo. Que los procesos de crecimiento y construcción de sus objetos son muy diversos . Si, en lugar de crear un nuevo modelo, podemos relacionar un problema con un modelo antiguo conocido, obtenemos inmediatamente una masa de datos muy útiles. Por lo tanto, gran parte del trabajo consiste en reconocer que se aplica un modelo conocido o ampliar las propiedades conocidas de una clase de modelo particularmente útil (una propiedad que luego se puede usar de manera más amplia).
Georges Matheron distingue:
Georges Matheron define varios niveles de descripción de un modelo:
Un modelo panscópico buscará un alto grado de especificación (con un gran número de criterios de especificación); a la inversa, un modelo monoscópico buscará las hipótesis anticipatorias más débiles y, por lo tanto, un grado de especificación débil.
Los modelos solo son operativos en determinadas zonas. Hablaremos de un umbral de robustez (de los datos, específicos, de tipo) y de realismo para calificar los límites dentro de los cuales el modelo se encuentra en una adecuación razonable con la realidad, o del umbral de objetividad cuando el modelo ya no puede proporcionar un enunciado relevante.
Como preliminar, es importante comprender que la complejidad matemática no es un criterio suficiente para juzgar si un modelo es relevante o no: hay clases de modelos que recurren a herramientas matemáticas complejas, como la investigación de operaciones o la teoría de juegos ; otras clases, por ejemplo la contabilidad , tienen un enfoque matemático infantil (suma, resta). Pero, con resultados comparables, es, por supuesto, el modelo más simple que es preferible.
Un modelo es relevante:
Un modelo también es relevante si es:
No hay duda en un artículo tan breve de presentar una metodología aplicable a todas las situaciones (¡si hay alguna!), Pero algunos puntos esenciales.
1. El punto de partida es siempre una pregunta que nos hacemos sobre una situación futura y / o tan compleja que no encontramos la respuesta de forma obvia.
Por ejemplo: ¿es viable mi negocio? ¿Vale la pena el precio de venta de este material? ¿Es efectivo este medicamento? ¿Qué hay que hacer para mejorar la situación?2. Para encontrar la respuesta, es necesario limitar el alcance del problema buscando los datos que imaginamos que tienen un vínculo directo con la pregunta. Limitar demasiado corre el riesgo de no modelar un fenómeno que tiene peso en el contexto, pero abrir demasiado conduce a una dispersión de recursos y una acumulación de datos irrelevantes que deben descartarse justificando las elecciones. Este paso es el más delicado para la calidad del modelo: está sujeto al a priori del modelador, a su desconocimiento -a veces de método- y a los medios de que dispone (tiempo, dinero, acceso a los datos). . Durante este paso, elegimos el tipo de modelo general que vamos a utilizar, en particular según los datos que creemos tener.
3. A continuación, se debe construir el modelo :
Aquí es donde entran las herramientas matemáticas e informáticas, que permiten filtrar y construir con un mínimo de subjetividad en un mínimo de tiempo.
4. El “sustrato” restante constituye el modelo, conjunto de reglas o ecuaciones . Estas reglas deben describirse de la manera más completa posible: su importancia relativa, los datos de entrada y salida, las herramientas matemáticas utilizadas, los pasos a seguir, los puntos de control.
5. El último paso consiste en validar el modelo : aplicando las reglas del modelo a los datos filtrados, ¿encontramos la situación inicial? Si la diferencia es demasiado grande, es necesario plantearse la cuestión de los límites que se han establecido o la relevancia de las herramientas utilizadas para el modelado.
Se trata fundamentalmente de herramientas estadísticas y de probabilidad, cálculos diferenciales (ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias). Mas presisamente,