Análogos del factorial

En matemáticas , la función factorial es la función, definida desde en , que a un número entero n asocia el producto de números enteros de 1 a n . Se nota $n$ $!$ . Por ejemplo, ¡7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5.040. $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {N}$

Se han definido muchas funciones análogas a la función factorial ; esta página enumera las variantes más frecuentes.

Primordial

La función primorial es similar a la función factorial, pero asocia con $n$ solo el producto de los números primos menores o iguales que $n$ . Se denota n # o P ( n ). Por ejemplo, P (7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Multifactorial

El multifactorial de orden q de n mantiene, en el producto que define al factorial, un solo factor sobre q , a partir de n .

Para simplificar la escritura, una notación común es usar q signos de exclamación después del número n para denotar esta función.

Doble factorial

Para q = 2, n !!, factorial doble de n , se define por inducción por:

{\ Displaystyle n !! = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} 0 \ leqslant n \ leqslant 1 \\ n \ times (n-2) !! & {\ text {si}} n \ geqslant 2 \ end {cases}}}

Por lo tanto :, donde denota la parte entera de . ${\ Displaystyle n !! = n \ times (n-2) \ times (n-4) \ times \ cdots \ times \ left (n-2 \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {2}} \ right \ rfloor \ right)}$ ${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $X$

En otras palabras, n !! es el producto de todos los números enteros de 1 an que tienen la misma paridad que n .

Los primeros valores de n !! porque son 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, ..; Siguiendo A006882 de OEIS . ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Algunas identidades se derivan de la definición:

n! = n !! (n-1) !!

(2n) !! = 2 ^ {n} n!

(2n + 1) !! = {\ frac {(2n + 1)!} {(2n) !!}} = {\ frac {(2n + 1)!} {2 ^ {n} n!}}

{\ displaystyle (2n-1) !! = {\ frac {(2n)!} {(2n) !!}} = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}} = { \ frac {n!} {2 ^ {n}}} {\ binom {2n} {n}} = {\ frac {\ binom {2n} {2,2, ..., 2}} {n!} }}

(el último numerador es un coeficiente multinomial )

{\ Displaystyle \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)! = {\ sqrt {\ pi }} {\ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n}}}}

Las fórmulas anteriores se pueden agrupar en: . ${\ Displaystyle n !! = 2 ^ {\ frac {n} {2}} \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)! \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {4}}}$

Hay que tener cuidado de no interpretar n !! como el factorial de n !, que se escribiría ( n !)! y es un número mucho mayor.

Multifactorial de orden superior

De q = 3, el q -ésimo multifactorial se denota más bien por n ! q ; su definición por inducción es:

{\ Displaystyle n! _ {q} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ n & {\ text {si}} 1 \ leqslant n \ leqslant q \\ n \ veces (nq)! _ {q} & {\ text {si}} n \ geqslant q + 1. \ end {cases}}}

Así .

{\ Displaystyle n! _ {q} = \ prod \ limits _ {\ stackrel {1 \ leqslant k \ leqslant n} {k \ equiv n {\ bmod {q}}}} k = \ prod _ {k = 0 } ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n-1} {q}} \ right \ rfloor} {(n-kq)} = n (nq) \ cdots \ left (n- \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {q}} \ right \ rfloor q \ right)}

Primeros valores de n ! 3 : 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280 ; Siguiendo A007661 de OEIS . Primeros valores de n ! 4:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231 ; continuación A007662 de la OEIS . Primeros valores de n ! 5:1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 24, 36, 50, 66 ; Siguiendo A085157 de OEIS .

Interpretaciones combinatorias

Organización de un torneo de tenis para 2 n jugadores que juegan en n canchas no numeradas.

Uno de los jugadores entra en un campo: tiene 2 n -1 oponentes potenciales que pueden unirse a él en este campo; uno de los jugadores restantes pasa a otro campo: tiene 2 n -3 posibles oponentes, etc: hay posibles torneos. ${\ displaystyle (2n-1) !!}$

De hecho, es el número de particiones de un conjunto con 2 n elementos en n partes con dos elementos, como lo muestra la fórmula . ${\ displaystyle (2n-1) !! = {\ frac {\ binom {2n} {2,2, ..., 2}} {n!}}}$

Por lo tanto, también es el número de permutaciones de 2n objetos sin un punto fijo que se producen a partir de transposiciones disjuntas (o cuyas órbitas tienen dos elementos).

Vale la pena el número de permutaciones de 2n objetos sin un punto fijo cuya descomposición en ciclos disjuntos está formada por ciclos de orden par (o cuyas órbitas tienen un número par de elementos) , ver continuación A001818 de la OEIS . ${\ displaystyle ((2n-1) !!) ^ {2}}$

Mostramos que es también el número de permutaciones de 2n objetos cuya descomposición en ciclos disjuntos está formada por ciclos de orden impar (o cuyas órbitas tienen un número impar de elementos, o lo que equivale a lo mismo, el número de permutaciones de orden impar). ${\ displaystyle ((2n-1) !!) ^ {2}}$
Vale la pena el número de permutaciones de orden impar de 2 n +1 objetos , ver la continuación A000246 de la OEIS . ${\ displaystyle (2n + 1) ((2n-1) !!) ^ {2}}$

Hiperfactorial

El hiperfactorial de n , denotado H ( n ), se define por:

{\ Displaystyle H (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots (n- 1) ^ {n-1} \ cdot n ^ {n}}

Para n = 1, 2, 3, 4,… los valores de H ( n ) son 1, 4, 108 , 27 648,… (continuación A002109 de la OEIS ).

Superfactorial

Neil Sloane y Simon Plouffe definieron el superfactorial en 1995 como el producto de los primeros n factoriales:

{\ Displaystyle \ mathrm {sf} (n) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k! = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {n-k + 1} = 1 ^ { n} \ cdot 2 ^ {n-1} \ cdot 3 ^ {n-2} \ cdots (n-1) ^ {2} \ cdot n ^ {1}}

Por ejemplo, el superfactorial de 4 es:

{\ Displaystyle \ mathrm {sf} (4) = 1! \ times 2! \ times 3! \ times 4! = 288}

La secuencia de superfactoriales comienza (desde $sf (0) = 1$ ) con:

1, 1, 2, 12 , 288 , 34560, 24883200,… (véase la continuación A000178 de la OEIS )

La idea fue extendida en 2000 por Henry Bottomley al superduperfactorial , producto de n primeros superfactoriales, comenzando (desde n = 0) por:

1, 1, 2, 24 , 6912, 238878720, 5944066965504000,… (ver la continuación A055462 de la OEIS )

entonces, por inducción, a cualquier factor de del nivel superior, donde el nivel de factor de m a n es el producto de n primer nivel factorial m - 1, es decir, seleccionando el factorial de n nivel m : ${\ Displaystyle \ mathrm {f} (n, m)}$

{\ Displaystyle \ mathrm {f} (n, m) = \ mathrm {f} (n-1, m) \ mathrm {f} (n, m-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n } k ^ {nk + m-1 \ elija nk}}

donde $f ( n , 0) = n$ para $n > 0$ y $f (0, m ) = 1$ .

Superfactorial (definición alternativa)

Clifford Pickover , en su libro Keys to Infinity (1995), define el superfactorial de n , denotado n $ (¡siendo $ un signo factorial! Con una S superpuesta), como:

n \ $ \ equiv {\ begin {matriz} \ underbrace {n! ^ {{{n!} ^ {{{\ cdot} ^ {{{{\ cdot} ^ {{{\ cdot} ^ {{n! " }}}}}}}}}}} \\ n! \ end {matriz}}

o, usando la notación de Knuth :

{\ Displaystyle n \ $ = (n!) \ uparrow \ uparrow (n!)}

Los primeros elementos de la secuencia de superfactoriales son:

1 \ $ = 1

2 \ $ = 2 ^ {2} = 4

3 \ $ = 6 \ uparrow \ uparrow 6 = 6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {{6 ^ {6}}}}}}}}}

;

este último número es demasiado grande para poder expresarse en la notación científica habitual.

Subfactorial

¡La función subfactorial , anotada! n , se usa para calcular el número de fallas de n objetos distintos, es decir el número de posibles permutaciones de estos n objetos para que ningún objeto permanezca en su lugar.

Por ejemplo, ¡la hay! Una forma de introducir n cartas en n sobres franqueados y con dirección de modo que ninguna de las cartas esté en el sobre correcto.

Hay diferentes formas de calcular el subfactorial

$! n = n! \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}$
${\ Displaystyle! n = {\ frac {\ Gamma (n + 1, -1)} {\ mathrm {e}}}}$

donde $Γ$ es la función gamma incompleta y $ae$ la base del logaritmo natural .

${\ Displaystyle! n = \ left \ lfloor {\ frac {n!} {\ mathrm {e}}} \ right \ rceil}$

donde denota el número entero más cercano a $x$ . ${\ Displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rceil}$

${\ Displaystyle! n =! (n-1) \; n + (- 1) ^ {n}}$
${\ Displaystyle! n = (n-1) \; (! (n-1) +! (n-2))}$
${\ Displaystyle! n = (n-1) \; a_ {n-2}, \, {\ textrm {con}} \, a_ {0} = a_ {1} = 1 \, {\ textrm {y} } \, a_ {n} = n \; a_ {n-1} + (n-1) \; a_ {n-2}}$ .

Los primeros valores de esta función son:

! 1 = 0,! 2 = 1,! 3 = 2,! 4 = 9 ,! 5 = 44 ,! 6 = 265 ,! 7 = 1854,! 8 = 14 833 (continuación A000166 de la OEIS ).

Factorial de Fibonacci

El factorial de Fibonacci o fibonariel de , denotado por , se define por: $no$ $n! _ {F}$

{\ Displaystyle n! _ {F} = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} F_ {k}}

, donde es el k- ésimo número de Fibonacci .

F_ {k}

Los fibonariels más pequeños son (de ): 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3120, 65 520, etc. (ver la continuación A003266 de la OEIS ). ${\ displaystyle 0! _ {F}}$

La secuencia de fibonariels es equivalente a una función de la proporción áurea $φ$ :

{\ Displaystyle n! _ {F} \ sim C {\ frac {\ phi ^ {n (n + 1) / 2}} {5 ^ {n / 2}}}}

donde es la constante factorial de Fibonacci $VS$

${\ Displaystyle C = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ left (- {\ frac {1} {\ phi ^ {2}}} \ right) ^ {k} \ derecha) \ simeq 1,226742 ...}$ (continuación A062073 de la OEIS ).

Los factoriales de Fibonacci están involucrados en la definición de coeficientes fibonomiales .

q -factorial

Está definido por . ${\ Displaystyle n! _ {q} = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n -1})}$

Factorial exponencial

Un factorial exponencial es un número natural n elevado a la potencia n - 1, que a su vez se eleva a la potencia n - 2, y así sucesivamente:

{\ Displaystyle n ^ {(n-1) ^ {(n-2) \ cdots}}}

Notas y referencias

(en) Heinrich Dörrie ( trad. Del alemán) 100 grandes problemas de las matemáticas elementales: su historia y solución , Dover ,1965( leer en línea ) , cap. 6 (“El problema de Bernoulli - Euler de las letras mal dirigidas”) , p. 19-21.
(en) Eric W. Weisstein , " Fibonorial " en MathWorld .
(in) Sergey Kitaev y Toufik Mansour " El problema de los peones "2003. (Prepublicación en arXiv .)
(en) Eric W. Weisstein , " Constante factorial de Fibonacci " en MathWorld .