Doble de un poliedro
En geometría hay varias formas (geométricas, combinatorias) de poner poliedros en dualidad : podemos prescindir del soporte geométrico y definir una noción de dualidad en términos puramente combinatorios, que también se extiende a poliedros y politopos abstractos. En cada caso, a cualquier poliedro se le asocia un poliedro llamado dual del primero, como por ejemplo:
- el dual del poliedro dual es el poliedro inicial,
- las caras de una están en correspondencia con los vértices de la otra, respetando las propiedades de adyacencia.
El ejemplo más simple de dualidad se obtiene para poliedros convexos regulares conectando los centros de caras adyacentes (ver § Dualidad de sólidos platónicos ).
También es posible utilizar la denominada construcción Dorman Luke que se indica a continuación.
De manera más general, una dualidad se define considerando la operación de conjugación con respecto a la esfera circunscrita .
Algunas propiedades
- El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo.
- Un poliedro y su dual tienen las mismas simetrías posibles (con respecto a un plano, una línea, un punto).
Poliedros duales "clásicos"
Dualidad de los sólidos platónicos
 |
|
| El dual del cubo es el octaedro. | El dual del octaedro es el cubo. |
 |
|
| El dual del dodecaedro es el icosaedro. | El dual del icosaedro es el dodecaedro. |
| convexo regular sólido | convexo regular dual | ||
|---|---|---|---|
| tetraedro |
|
tetraedro |
|
| cubo |  |
octaedro |
|
| octaedro | |
cubo |
|
| icosaedro |  |
dodecaedro regular |
|
| dodecaedro regular | |
icosaedro |
|
Dualidad de sólidos de Kepler-Poinsot
El dodecaedro de estrella pequeña es el dual del dodecaedro grande, y el dodecaedro de estrella grande es el dual del icosaedro grande.
(Consulte el artículo sólido de Kepler-Poinsot ).
| sólido regular no convexo | regular no convexo dual | ||
|---|---|---|---|
| pequeño dodecaedro estrella |  |
gran dodecaedro |
|
| gran dodecaedro estrellado |  |
gran icosaedro |
|
Duales de sólidos, prismas y antiprismas de Arquímedes
Los duales de los sólidos de Arquímedes son los sólidos catalanes .
Los duales de los prismas son diamantes (o bipirámides ).
Los duales de los antiprismas son los antidiamantes (o trapezoedros ).
Poliedros geodésicos duales
|
sólido convexo no uniforme , pero todos sus vértices son del mismo orden (3) |
doble convexo no isoédrico , pero todas sus caras son del mismo orden (3) |
||
| geoda de panal |  |
geoda por triangulación |
|
Construcción de Dorman Luke
Para un poliedro uniforme , las caras del poliedro dual se pueden encontrar a partir de las figuras del vértice del poliedro original utilizando la construcción llamada Dorman Luke .
Como ejemplo, la siguiente ilustración muestra una figura de vértice (rojo) del cuboctaedro que se utiliza para obtener una cara (azul) del dodecaedro rómbico .
Detalles de construcción de Dorman Luke:
- dibujar la figura del vértice obtenida marcando los puntos medios A, B, C, D de cada arista resultante del vértice considerado; - dibujar el círculo circunscrito al polígono ABCD ; - dibujar las tangentes al círculo circunscrito en cada vértice A , B , C , D ; - marcar los puntos E , F , G , H donde cada tangente se encuentra con una tangente adyacente; - el polígono EFGH es una cara del poliedro dual.En este ejemplo, el círculo circunscrito a la figura del vértice está en la interesfera del cuboctaedro, que también se convierte en la interesfera del dodecaedro rómbico dual.
La construcción de Dorman Luke solo se puede usar cuando un poliedro tiene tal interesfera y la figura del vértice es circular. En particular, se puede aplicar a poliedros uniformes .
Ver también
- Conjunto polar (generalización del concepto a un espacio euclidiano)
- Politopo doble
enlaces externos
- Dualidad (con animaciones Java) en Un paseo por el mundo de los poliedros
- Doble de un poliedro en MathCurve
Notas y referencias
- " dualidad " , en maths.ac-noumea.nc (visitada 19 de septiembre 2020 )