Clasificación | |
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Recíproco | en [0; π] |
Derivado | |
Primitivas |
Conjunto de definiciones | [−1; 1] |
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Conjunto de imágenes | [0; π] |
En matemáticas , el arco coseno de un número real incluido en sentido amplio entre -1 y 1 es la única medida de ángulo cuyo coseno es igual a este número, entre el ángulo cero y el ángulo plano .
La función que asocia con cualquier número real incluido en el sentido amplio entre -1 y 1 el valor de su arco coseno en radianes se indica arccos (Arccos o Acos en notación francesa, y cos -1 , a veces acos o acs, en notación inglesa . Saxon).
Es entonces el recíproco de la función coseno trigonométrica sobre el intervalo [0, π ] por lo tanto, en un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal al plano, la curva representativa del arco coseno se obtiene a partir de la curva de la restricción del coseno por eje. simetría la recta de la ecuación y = x .
La función se define como la función recíproca de on , es decir, es la función única tal que:
∀X∈[0,π],arccos(porque(X))=X.{\ Displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.}A diferencia de las funciones Arco seno y Arco tangente , la función no admite paridad. Sin embargo, tiene la siguiente propiedad:
∀X∈[-1,1],arccos(-X)=π-arccos(X).{\ Displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).} Relación con el senoBasta utilizar la relación con para obtener la siguiente relación:
pecado(arccos(X))=1-X2.{\ Displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.} "Inversión" de fórmulas trigonométricasPartiendo de cualquier fórmula trigonométrica, podemos "invertirla", obteniendo una relación entre valores de funciones recíprocas, pero que la mayoría de las veces será válida solo en intervalos restringidos. Por ejemplo, ya que tendremos , pero solo para
Como derivada de una función recíproca , es diferenciable y satisface
Esta fórmula se obtiene gracias al teorema de la derivada de una función recíproca.
Esta función se puede escribir en forma de integral indefinida:
Las primitivas de la función arccos se obtienen por integración por partes :
En efecto, π2- arccos x está entre -π2 y π2y su seno es igual al coseno de arccos x es decir ax , por lo tantoπ2- arcos x = arcos en x .
(Para otro método, consulte el § “Monotonía y signo de la derivada” del artículo sobre funciones monotónicas ).
Podemos expresar la función arccos usando el logaritmo complejo :