Arco sinusal
Función de arco sinusoidal
Representación gráfica de la función arco seno.
| Clasificación |
arcos(X){\ Displaystyle \ arcsin (x)}
|
|---|
| Recíproco |
pecado(X){\ Displaystyle \ sin (x)} sobre [-π2,π2]{\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}![{\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
|
|---|
| Derivado |
11-X2{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
|---|
| Primitivas |
Xarcos(X)+1-X2+VS{\ Displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
|
|---|
En matemáticas , el arco seno de un número real incluido (en sentido amplio) entre –1 y 1 es la única medida de ángulo en radianes cuyo seno es igual a este número, y entre y .
-π2{\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}
π2{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
La función que asocia con cualquier número real incluido en sentido amplio entre –1 y 1 el valor de su arco seno se indica arcsin (Arcsin o Asin en notación francesa, sin −1 , asin o asn en notación anglosajona). Es entonces la biyección recíproca de la restricción de la función trigonométrica seno al intervalo .
[-π2,π2]{\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
En un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal al plano, la curva representativa de la función arco seno se obtiene a partir de la curva representativa de la restricción de la función seno al intervalo por la reflexión del eje la recta de ecuación y = x .
[-π2,π2]{\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Derivado
Como derivada de una biyección recíproca , arcsin es diferenciable en ] –1, 1 [ y satisface
arcos′X=11-X2{\ Displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
.
Esta fórmula se obtiene gracias al teorema de la derivada de una biyección recíproca y a la relación
porque(arcosX)=1-X2{\ Displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
.
Si ,
|z|≤1{\ Displaystyle | z | \ leq 1}
arcosz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑no=0∞(2no-1)!!(2no)!!⋅z2no+12no+1=∑no=0∞(2nono)z2no+14no(2no+1).{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ dots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ end {alineado}}}
(Ver también Función hipergeométrica # Casos especiales ).
Demostración
El desarrollo de la derivada es:
arcos′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ izquierda (- {\ frac {3} {2}} \ derecha) \ izquierda (- {\ frac {5} {2}} \ derecha)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ dots, \ end {alineado}}}
de ahí el resultado, al " integrar " término por término .
Forma integral indefinida
Esta función se puede escribir en forma de integral indefinida :
arcosX=∫0X11-t2Dt{\ Displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}
.
Primitivas
Las primitivas del arco sinusoidal se obtienen por integración por partes :
∫arcosXDX=XarcosX+1-X2+VS{\ Displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
.
Relación entre arco seno y arco coseno
Para cualquier x real entre –1 y 1 :
arccosX+arcosX=π2{\ Displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}
.
Forma logarítmica
Podemos expresar la función arco seno con un logaritmo complejo :
arcosX=-Ien(IX+1-X2){\ Displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ left ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}
.
Referencia
-
Notación del programa de matemáticas en CPGE , p. 10 .
Ver también
Artículos relacionados
enlaces externos
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">