Cono tangente

En el análisis convexo , el cono tangente en el sentido de Bouligand , o cono contingente , es una cierta aproximación de primer orden de un conjunto en un punto, ya que el mapa derivado de una función es su aproximación de primer orden en un punto. Esta noción se utiliza, por ejemplo, para establecer las condiciones de optimización de primer orden de los problemas de optimización de dimensión finita.

Notaciones

A lo largo de este artículo, designe un espacio vectorial real , topológico si es necesario (si es de dimensión finita , se supone que tiene su topología habitual ), una parte no vacía de y un punto de . Apuntamos : $mi$ $mi$ $X$ $mi$ $X$ $mi$

${\ Displaystyle \ Lambda X: = \ {\ lambda x \ mid \ lambda \ in \ Lambda, x \ in X \}}$ , para todo (cuando usamos la notación simplificada ). es por tanto un cono si . $\ Lambda \ subconjunto \ mathbb {R}$ ${\ Displaystyle X = \ {x \}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda x: = \ Lambda \ {x \}}$ $X$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} X \ subconjunto X}$
$\ overline {X}$ la adhesión de ; $X$
${\ Displaystyle \ operatorname {aff} X}$ su envoltura refinada , su relativo interior y su relativo borde; ${\ Displaystyle \ operatorname {ir} X}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ rm {rel}} X = {\ overline {X}} \ setminus \ operatorname {ir} X}$
si es un subespacio afín : su dirección . $X$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {X}}}$

Además, notamos:

${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f}$ la imagen de una aplicación ; $F$
${\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}$ el núcleo de una aplicación lineal ; $F$

Cono de direcciones admisibles

El cono de direcciones admisibles , o cono radial de en , indicado , se define por $X$ $X$ ${\ Displaystyle \ operatorname {R} _ {X} (x)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {R} _ {X} (x): = \ {d \ in E \ mid x + td \ in X}$ para cualquier pequeño de verdad $t> 0$ $\}.$

Por lo tanto, este cono está vacío si , e igual a cualquier número entero tan pronto como sea una parte absorbente de este subespacio. ${\ Displaystyle x \ notin \ operatorname {aff} X}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {aff} X}}}$ ${\ Displaystyle Xx}$

Cono tangente

En cuanto al cálculo de la derivada de una función, la definición de las direcciones tangentes que son los elementos del cono tangente requiere un paso al límite. Es, de hecho, no es satisfactorio para tomar el cono de las direcciones admisibles como una tangente cono para en . Por ejemplo, el cono de las direcciones admisibles a un círculo de está vacío en todos los puntos, de modo que no encontramos, con esta noción, el de las direcciones tangentes que nos es familiar. Una posibilidad es hacerlo de la siguiente manera. $X$ $X$ $\ mathbb {R} ^ {2}$

Dirección de la tangente y cono de la tangente, en el sentido de Bouligand : el cono de la tangente , o conjunto de direcciones de la tangente (en el sentido de Bouligand) a en , indicado (oa veces ), se define por: ${\ Displaystyle X \ subconjunto E}$ $x \ en E$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (x)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} (X, x)}$

{\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (x): = \ cap _ {\ varepsilon> 0} {\ overline {\ left] 1 / \ varepsilon, + \ infty \ right [\; (Xx)} }}

De esta definición se desprende que : ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (x)}$

es un cono cerrado incluido en la adhesión de ; ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {aff} X}}}$
es igual a esta adhesión tan pronto como (desde ); ${\ Displaystyle x \ in \ operatorname {ir} X}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {R} _ {X} (x) \ subset \ operatorname {T} _ {X} (x)}$
está vacío si (por lo tanto, solo es de interés si ); ${\ Displaystyle x \ notin {\ overline {X}}}$ ${\ Displaystyle x \ in \ parcial _ {\ rm {rel}} X}$
no cambia cuando se reemplaza por ; $X$ $\ overline X$
cambia a reuniones terminadas, es decir: (para cualquier parte de ); ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X \ cup Y} (x) = \ operatorname {T} _ {X} (x) \ cup \ operatorname {T} _ {Y} (x)}$ $Y$ $mi$
es una función creciente , es decir , $X$ ${\ Displaystyle X \ subconjunto Y \ Rightarrow \ operatorname {T} _ {X} (x) \ subset \ operatorname {Y} _ {Y} (x)}$ que también se escribe, por ejemplo: (para cualquier familia que no esté vacía de partes de ). ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {\ cap _ {i \ in I} X_ {i}} (x) \ subset \ cap _ {i \ in I} \ operatorname {T} _ {X_ {i}} (X)}$ $(X_i) _ {i \ in I}$ $mi$

Cuando tiene bases contables de vecindarios , por ejemplo cuando es un espacio vectorial normalizado , la adhesión de una parte de se reduce a su cierre secuencial , y la definición del cono tangente se traduce entonces por: $mi$ $mi$

${\ Displaystyle d \ in \ operatorname {T} _ {X} (x)}$ si hay suites y como ${\ Displaystyle \ {t_ {k} \} \ subconjunto \ mathbb {R}}$ $\ {x_ {k} \}$

${\ Displaystyle \ {x_ {k} \} \ subset X, \ qquad t_ {k} \ to 0 ^ {+} \ qquad {\ mbox {y}} \ qquad {\ frac {x_ {k} -x} {t_ {k}}} \ to d}$

o, si hay suites y como ${\ Displaystyle \ {t_ {k} \} \ subconjunto \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {d_ {k} \} \ subconjunto E}$

${\ Displaystyle x + t_ {k} d_ {k} \ in X, \ qquad t_ {k} \ to 0 ^ {+} \ qquad {\ mbox {y}} \ qquad d_ {k} \ to d.}$

En otras palabras, si existe una secuencia de vectores que convergen , por ejemplo, que se encuentran en puntos cada vez más cercanos a cuándo . ${\ Displaystyle d \ in \ operatorname {T} _ {X} (x)}$ ${\ Displaystyle d_ {k} \ in E}$ $D$ ${\ Displaystyle x + \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} d_ {k}}$ $X$ $X$ $k \ to \ infty$

Cono normal

Para definir el cono normal, necesitamos un producto escalar en . Por tanto, suponemos que es un espacio prehilbertiano y denotamos su producto escalar. ${\ Displaystyle E}$ $mi$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$

Vector normal, cono lo normal - El cono normales , o conjunto de vectores normales a en , denotadas , es el doble negativo cono de la tangente cono :: $X$ ${\ Displaystyle x \ in {\ overline {X}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {X} (x)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {X} (x): = - {\ operatorname {T} _ {X} (x)} ^ {*}}$

{\ displaystyle p \ in \ operatorname {N} _ {X} (x) \ Leftrightarrow \ forall d \ in \ operatorname {T} _ {X} (x) \ quad \ langle p, d \ rangle \ leqslant 0. }

Por tanto, es un cono convexo cerrado. ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {X} (x)}$

Ejemplo Sea el cono (no convexo ) . Entonces, entonces .

X

{\ Displaystyle (\ mathbb {R} _ {+} \ times \ {0 \}) \ cup (\ {0 \} \ times \ mathbb {R} _ {+})}

{\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (0) = X}

{\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {X} (0) = \ mathbb {R} _ {-} \ times \ mathbb {R} _ {-}}

Caso de un convexo

Si el conjunto es convexo, se simplifica el cálculo del cono tangente y el cono normal.

Conos tangentes y normales a un convexo - En un espacio vectorial topológico , es decir, un punto de adhesión de un convexo . Entonces : $mi$ $X$ $VS$

${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {C} (x) = {\ overline {\ mathbb {R} _ {+} (Cx)}}}$ ;
${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {C} (x) = - (Cx) ^ {*}}$ y , asumiendo que es prehilbertiano. ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {C} (x) = - \ operatorname {N} _ {C} (x) ^ {*}}$ $mi$

Transporte afín de conos tangentes y normales a un convexo: imagen directa - Sean y sean dos espacios vectoriales topológicos, un mapa afín continuo ( es lineal y continuo ), y un punto de adhesión de un convexo . $mi$ $F$ ${\ Displaystyle a: E \ a F: x \ mapsto Ax + b}$ ${\ Displaystyle A: E \ a F}$ ${\ Displaystyle b \ in F}$ $X$ ${\ Displaystyle C \ subconjunto E}$

${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {a (C)} {(a (x))} = {\ overline {A [\ operatorname {T} _ {C} {(x)}]}}}$ ;
${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {a (C)} {(a (x))} = (A ^ {*}) ^ {- 1} [\ operatorname {N} _ {C} (x)] }$ , asumiendo que es hilbertiano y prehilbertiano, y denota el adjunto de . $mi$ $F$ $A ^ {*}$ $A$

Demostración

Podemos reducir fácilmente mediante la traducción al caso donde (por lo tanto ) y (por lo tanto ). $b = 0$ ${\ Displaystyle a = A}$ $x = 0$ ${\ Displaystyle A (x) = 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {A (C)} {(0)} = {\ overline {\ mathbb {R} _ {+} A (C)}} = {\ overline {A (\ mathbb { R} _ {+} C)}} = {\ overline {A ({\ overline {\ mathbb {R} _ {+} C}})}} = {\ overline {A [\ operatorname {T} _ { C} {(0)}]}}}$ . La adhesión es necesaria aquí, ya que por ejemplo ( ver más abajo ) si es un cono convexo cerrado entonces y no necesariamente está cerrado; $VS$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {C} {(0)} = C}$ ${\ Displaystyle A (C)}$
${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {A (C)} {(0)} = - A (C) ^ {*} = - (A ^ {*}) ^ {- 1} (C ^ {*} ) = (A ^ {*}) ^ {- 1} [\ operatorname {N} _ {C} (0)]}$ .

Caso de un convexo en dimensión finita

En dimensión finita, gracias a la existencia de hiperplanos de apoyo , deducimos de la expresión anterior de : ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {C} (x)}$

Vector distinto de cero normal a un convexo - En un espacio euclidiano , es decir, un punto del límite relativo de un convexo . Entonces, contiene un vector distinto de cero. $X$ $VS$ ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {C} (x) \ cap {\ overrightarrow {\ operatorname {aff} (C)}}}$

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El transporte afín por imagen recíproca es menos clásico que el (arriba) por imagen directa, y requiere más precauciones:

Transporte afín de conos tangentes y normales a un convexo: imagen recíproca - Seanydos espacios euclidianos,un mapa afín,el adjunto de,un convexo, y. $mi$ $F$ ${\ Displaystyle a: E \ a F: x \ mapsto Ax + b}$ $A ^ {*}$ $A$ ${\ Displaystyle D \ subconjunto F}$ ${\ Displaystyle x \ in {\ overline {a ^ {- 1} (D)}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {a ^ {- 1} (D)} {(x)} = A ^ {*} [\ operatorname {N} _ {D \ cap \ operatorname {Im} a} ( a (x))]}$ . En particular, el conjunto está cerrado; ${\ Displaystyle A ^ {*} [\ operatorname {N} _ {D \ cap \ operatorname {Im} a} (a (x))]}$
${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {a ^ {- 1} (D)} {(x)} = A ^ {- 1} [\ operatorname {T} _ {D \ cap \ operatorname {Im} a} (a (x))]}$ .

Demostración

Como antes, supongamos sin pérdida de generalidad que y . $b = 0$ $x = 0$

Dado que es estable por traducción por y (por hipótesis) contiene , contiene , por lo que su dual está incluido en . Por tanto . El cierre de este conjunto puede parecer sorprendente porque ( ver más abajo ) la imagen mediante una aplicación lineal de un cono convexo cerrado no es necesariamente cerrada. Como certificación, aquí hay otra prueba de este hecho. Sabemos que la imagen por la aplicación lineal de una pieza se cierra si y solo si está cerrada. En este caso, es un cono convexo cerrado que contiene , por lo que está cerrado; ${\ Displaystyle {\ overline {A ^ {- 1} (D)}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Ker} A}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Ker} A}$ ${\ Displaystyle A ^ {- 1} (D) ^ {*}}$ ${\ displaystyle (\ operatorname {Ker} A) ^ {*} = \ operatorname {Im} {(A ^ {*})}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {A ^ {- 1} (D)} {(0)} = - A ^ {- 1} (D) ^ {*} = - A ^ {- 1} (D ) ^ {*} \ cap \ operatorname {Im} {(A ^ {*})} = - A ^ {*} [(D \ cap \ operatorname {Im} A) ^ {*}] = A ^ {* } [\ operatorname {N} _ {D \ cap \ operatorname {Im} A} (0)]}$ $A ^ {*}$ ${\ Displaystyle K \ subconjunto F}$ ${\ Displaystyle K + \ operatorname {Ker} {(A ^ {*})}}$ ${\ displaystyle K: = \ operatorname {N} _ {D \ cap \ operatorname {Im} A} (0) = - \ left (D \ cap \ operatorname {Im} A \ right) ^ {*}}$ ${\ displaystyle (\ operatorname {Im} A) ^ {*} = \ operatorname {Ker} {(A ^ {*})}}$ ${\ Displaystyle K + \ operatorname {Ker} {(A ^ {*})} = K}$
${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {A ^ {- 1} (D)} {(0)} = - [\ operatorname {N} _ {A ^ {- 1} (D)} {(0)} ] ^ {*} = - [A ^ {*} [\ operatorname {N} _ {D \ cap \ operatorname {Im} A} (0)]] ^ {*} = A ^ {- 1} [- [ \ operatorname {N} _ {D \ cap \ operatorname {Im} A} (0)] ^ {*}] = A ^ {- 1} [\ operatorname {T} _ {D \ cap \ operatorname {Im} A } (0)]}$ .

Ejemplos de

Poliedro convexo

Sea un poliedro convexo de , que se supone que se da como una intersección de un número finito de medios espacios : $PAG$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

${\ Displaystyle P: = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid Ax \ leqslant b \}}$ ,

donde es una matriz de tipo , y la desigualdad se entiende componente por componente: para todos . Anotamos por un punto : $A$ $m \ veces n$ ${\ Displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ $(Hacha) _i \ leqslant b_i$ ${\ Displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, m \}}$ $x \ en P$

${\ Displaystyle I (x): = \ {i \ in \ mathbb {N} \ mid 1 \ leqslant i \ leqslant m, ~ (Ax-b) _ {i} = 0 \}}$ .

Entonces los conos tangente y normal se escriben $x \ en P$

{\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {P} (x) = \ operatorname {R} _ {P} (x) = \ {d \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid (Ad) _ { I (x)} \ leqslant 0 \} \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {N} _ {P} (x) = \ operatorname {cone} \ {A_ {i} ^ {\! \ arriba \!} \ mid i \ in I (x) \}}

donde es el vector formado por la línea de y " " indica el operador que toma la envoltura cónica de un conjunto (el cono convexo puntiagudo más pequeño que contiene el conjunto). Para la escritura del cono normal, asumimos que se proporcionó el producto escalar euclidiano. ${\ Displaystyle A_ {i} ^ {\! \ top \!} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $I$ $A$ $\ operatorname {cono}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Cono convexo cerrado

Sea un cono convexo cerrado de un espacio euclidiano y . Entonces, $VS$ $x \ en C$

{\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {C} (x) = (- C ^ {*}) \ cap (x ^ {\ bot}) \ quad {\ text {so}} \ quad \ operatorname {T} _ {C} (x) = {\ overline {C + \ mathbb {R} x}}}

en particular, y . ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {C} (0) = - C ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {C} (0) = C}$

Tenga en cuenta que no siempre está cerrado (por lo tanto, la imagen de un cono convexo cerrado por el mapa lineal no siempre está cerrada). Por ejemplo, en el espacio de matrices simétricas reales de orden , provistas del producto escalar habitual ( donde indica la traza ), es decir el cono ( autodual ) de las que son positivas . Los conos normales y tangentes a en están escritos ${\ Displaystyle C + \ mathbb {R} x}$ ${\ Displaystyle C \ times D}$ $+$ ${\ mathbb S} ^ {n}$ $no$ ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} (AB)}$ $\ operatorname {tr}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {+} ^ {n}}$ $\ mathbb {S} ^ n_ +$ $A \ in \ mathbb {S} ^ n_ +$

{\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {\ mathbb {S} _ {+} ^ {n}} {(A)} = (- \ mathbb {S} _ {+} ^ {n}) \ cap (A ^ {\ bot}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {T} _ {\ mathbb {S} _ {+} ^ {n}} {(A)} = \ {D \ in \ mathbb {S} ^ {n} \ mid \ forall v \ in \ operatorname {Ker} A \; \; v ^ {\! \ top \!} Dv \ geqslant 0 \}.}

Así que para , y . $A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {+} ^ {2} + \ mathbb {R} A = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & c \ end {pmatrix} } \ in \ mathbb {S} ^ {2} ~ \ right | ~ (b = c = 0) \ quad {\ text {o}} \ quad c> 0 \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {\ mathbb {S} _ {+} ^ {2}} {(A)} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & c \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {S} ^ {2} ~ \ right | ~ c \ geq 0 \ right \}}$

Calificación de restricciones

Un conjunto se puede representar mediante funciones. Por ejemplo, podemos usar restricciones de igualdad y desigualdad como se muestra a continuación

${\ Displaystyle X = \ {x \ in E \ mid c_ {E} (x) = 0, c_ {I} (x) \ leqslant 0 \},}$

donde las restricciones de igualdad se definen usando la función y las restricciones de desigualdad se definen usando la función . La desigualdad vectorial debe entenderse aquí componente por componente. Denotamos el conjunto de índices de las restricciones de igualdad, que por lo tanto también se pueden escribir para cualquier índice . Lo mismo se aplica al conjunto de restricciones de desigualdad. ${\ Displaystyle c_ {E}: E \ to \ mathbb {R} ^ {m_ {E}}}$ ${\ Displaystyle c_ {I}: E \ to \ mathbb {R} ^ {m_ {I}}}$ $c_ {I} (x) \ leqslant 0$ $mi$ $c_i (x) = 0$ $yo \ en E$ $I$

Surge entonces la cuestión de saber calcular el cono tangente en un punto a partir de las primeras derivadas de las funciones y en . $X$ $esto}$ $esto}$ $X$

Es natural estar interesado en la siguiente expresión obtenida al linealizar las funciones y por : $esto}$ $esto}$ $X$

${\ Displaystyle \ operatorname {T} '_ {X} (x): = \ {d \ in E \ mid c' _ {E} (x) \ cdot d = 0, \; c '_ {I ^ { 0} (x)} (x) \ cdot d \ leqslant 0 \},}$

donde notamos

${\ Displaystyle I ^ {0} (x): = \ {i \ in I \ mid c_ {i} (x) = 0 \}.}$

Podemos demostrar que, bajo supuestos razonables, siempre tenemos

{\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (x) \ subset \ operatorname {T} '_ {X} (x).}

Nos gustaría tener igualdad para poder calcular el cono tangente mediante una fórmula explícita, pero esta igualdad no siempre se verifica. Dicen que las restricciones (deberíamos decir las funciones que definen las restricciones) y están calificadas en si As depende solo del todo , no de las funciones y es un concepto que asegura la representación por y debería. $esto}$ $esto}$ $X$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (x) = \ operatorname {T} '_ {X} (x).}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {X} (x)}$ $X$ $esto}$ $esto}$ $X$ $esto}$ $esto}$

Apéndices

Notas y referencias

G. Bouligand, Introducción a la geometría infinitesimal directa , París, Gauthier-Villars , 1932.
Bonnans y Shapiro 2000 , p. 44. Para muchos otros nombres, véase Khan, Tammer y Zălinescu 2015 , p. 111.
Bonnans y Shapiro 2000 , p. 40 y 44.
En geometría diferencial , se anota el espacio tangente . ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {x} X}$
En dimensión finita, para igualdad, se utiliza para los requisitos de calificación de un tema importante al escribir condiciones de optimización en optimización. $X_ {i}$
En la expresión del cono tangente (punto 2), los productos escalares (sobre E y F de dimensiones finitas) son una herramienta de cálculo pero no intervienen en el resultado.
Hiriart-Urruty y Lemaréchal 1993 , p. 137, Ejemplos 5.2.6 (a).

Bibliografía

(en) JF Bonnans y A. Shapiro, Análisis de perturbaciones de problemas de optimización , Nueva York, Springer ,2000( leer en línea )
J.-B. Hiriart-Urruty, Optimización y análisis convexo , EDP Sciences ,2009( 1 st ed. 1998 PUF ) ( leer on-line )
(en) J.-B. Hiriart-Urruty y C. Lemaréchal, Análisis convexo y algoritmos de minimización , vol. 1, Springer, al. “ Grund. Matemáticas. Wiss. "( N o 305),1993( leer en línea ) , pág. 133-142
(en) J.-B. Hiriart-Urruty y C. Lemaréchal, Fundamentos del análisis convexo , Springer,2004( 1 st ed. 2001 ) ( leer on-line )
(en) Johannes Jahn, Introducción a la teoría de la optimización no lineal , Springer,2007, 3 e ed. ( 1 st ed. 1994), cap. 4 (“Conos tangentes”) , pág. 79-104
(en) Akhtar A. Khan, Christiane Tammer y Constantin Zălinescu, Optimización por valor de conjunto: una introducción con aplicaciones , Springer,2015( leer en línea )
(en) RT Rockafellar , “Los multiplicadores y la optimización de Lagrange ” , SIAM Review , vol. 35,1993, p. 183-238 ( leer en línea )

Enlace externo

J. Ch. Gilbert, Elementos de optimización diferenciable - Teoría y algoritmos , programa del curso en ENSTA ParisTech , París