Matriz autoadjunta positiva

A simétrica real de matriz (o: auto - unido verdadero ) se dice que es positiva o positiva semi-definida si el asociado forma bilineal simétrica es positivo . De manera más general, se dice que una matriz cuadrada compleja es positiva si la forma sesquilínea asociada es (hermitiana) positiva , siendo la matriz entonces necesariamente autounida .

El caso real

Definiciones

Decimos que una matriz simétrica real M de orden n es positiva (o semidefinida positiva) si satisface una de las siguientes propiedades equivalentes:

M es un elemento positivo (en) del real C * -álgebra M n, n (ℝ) , es decir, su espectro está incluido en ℝ + .
La forma bilineal simétrica asociada con M es positiva: para cualquier columna matriz x con n elementos reales, x T Mx ≥ 0 (donde x T denota la matriz transpuesta de x ).
Los autovalores de M (que son necesariamente reales) son positivos o cero.
Hay una matriz real N tal que M = N T N .
Todos los principales menores de M son positivos o cero: para cualquier parte I no vacía de {1,…, n }, el determinante de la submatriz M I, I de M (formado por sus elementos con índices de fila y de columnas en I ) es positivo o cero.

Se dice que es positivo definido si también es invertible .

Prueba de equivalencias

1. y 3. son claramente equivalentes.

La propiedad 2. significa que M define en ℝ n una forma cuadrática positiva, propiedad 3. que en ℝ n , visto como espacio euclidiano con el producto escalar , M define un endomorfismo autoadjunto positivo. La equivalencia entre 2. y 3. proviene de esta doble interpretación, a la luz de la reducción gaussiana y el teorema espectral . Dado que cualquier matriz simétrica real es diagonalizable (cf. Descomposición espectral ), existe una matriz ortogonal P (cuyas columnas son vectores propios de M ) y una matriz diagonal D (cuyos coeficientes diagonales son los valores propios de M ) tal que M = PDP T . $\ langle x, y \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i} y_ {i}}$

Si 2. es verdadero, sabiendo que los autovalores de una matriz simétrica real son reales, vemos al aplicar 2. a los autovectores que 3. es verdadero.

Desde P -1 = P T , la matriz M también se congruente con la matriz diagonal D . Entonces, a la inversa, si 3. es verdadero, entonces 2. es verdadero.

Si 4. es verdadero ( M = N T N ), entonces , 2. es verdadero. $\ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, x ^ {{\ mathsf {T}}} Mx = \ left (Nx \ right) ^ {{\ mathsf {T}}} \ left (Nx \ derecha) = \ | Nx \ | ^ {2} \ geqslant 0$

Por el contrario, si 2. (por tanto, 3.) es verdadero, podemos deducir una matriz real N tal que M = N T N (la matriz N no es única; es así si imponemos que ella misma sea positiva, cf. § “Propiedades” de abajo ): basta para definir el Δ matriz como la matriz diagonal cuya diagonal términos son las raíces cuadradas de los de D , y para establecer N = Δ P T porque entonces N T N = M . Si queremos una matriz simétrica positiva, simplemente pedir en lugar de N = P Δ P T .

Si 4. (o 2., o 3.) es cierto para M, entonces 4. también es cierto para las submatrices menores mayores de M , por lo tanto, 5. es verdadero.

A la inversa, suponga 5. verdadero y demuestre 2 .. Para cualquier p de 1 an , todos los principales menores de la p -ésima submatriz principal dominante M p son, por supuesto, positivos o cero, por lo tanto (de acuerdo con la expresión de la característica polinomio en función de estos ) det (ε I p + M p )> 0 para todo ε> 0. Según el criterio de Sylvester , ε I n + M es por tanto (definido) positivo, de modo que verifica 2. Deducimos que M también, al hacer que ε tienda a 0.

En el resto de este artículo, denotaremos el conjunto de matrices cuadradas de orden simétrico con coeficientes reales y la parte de matrices positivas formadas. $\ mathcal {S} _n$ $no$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$

Ejemplos de

Sea una función real de variables reales , definida sobre un abierto de , diferenciable en una vecindad de un punto de este abierto y dos veces diferenciable en este punto. Si alcanza un mínimo local en , su matriz hessiana es y positiva ( condición necesaria de la optimalidad de segundo orden no restringida ). $F$ $no$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $X$ $F$ $X$
Dado un vector aleatorio con valores en los que cada componente admite una varianza, definimos su matriz de covarianza por $(T_ {1}, \ puntos, T_ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ Gamma = {\ Big (} {\ mathrm {cov}} (T_ {i}, T_ {j}) {\ Big)} \ in {\ mathcal {S}} _ {n}.$ Esto es positivo. De hecho, para cualquier matriz de columna con elementos reales notados : $X$ $no$ $x_ {1}, \ puntos, x_ {n}$ $x ^ {{\ mathsf {T}}} \ Gamma x = {\ mathrm {Var}} (x_ {1} \, T_ {1} + \ cdots + x_ {n} \, T_ {n}) \ geqslant 0.$ Es positivo definido si y sólo si la única combinación lineal de la cual es cierta es aquella de la cual todos los coeficientes son cero. $T_ {1}, \ puntos, T_ {n}$
Cualquier matriz de Gram es autounida positiva.
Sea una matriz simétrica real cuyos términos diagonales son positivos y están definidos por $A$ $B$ $B _ {{ij}} = {\ frac {A _ {{ij}}} {{\ sqrt {A _ {{ii}} A _ {{jj}}}}}}.$ Entonces es positivo semi-definido si y solo si lo es. Pensamos en particular en la correlación . $A$ $B$
Reducir algunos términos extra-diagonales de una matriz definida positiva es una operación que no necesariamente preserva la positividad (aunque los radios de los discos de Gerschgorin disminuyen). En el contraejemplo a continuación, es positivo definido mientras que no lo es: $A$ $B$ $A = {\ begin {pmatrix} 10 & 9 & 7 \\ 9 & 10 & 9 \\ 7 & 9 & 10 \\\ end {pmatrix}}, B = {\ begin {pmatrix} 10 & 8 & 2 \ \ 8 y 10 y 8 \\ 2 y 8 y 10 \\\ end {pmatrix}}.$

Propiedades

Cualquier matriz real simétrica positiva admite una raíz cuadrada real simétrica positiva única . Más formalmente: ${\ Displaystyle \ forall M \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad \ existe N \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad N ^ { 2} = M.}$ Este resultado ( cuya parte de la " existencia " se demuestra en el pasaje del § "Definiciones" anterior ) se generaliza a las n - ésimas raíces .
Si dos matrices reales simétricas M y N son positivas y conmutan , entonces MN es simétrica positiva.
Por caracterización 2. del § “Definiciones”, es una intersección de medios espacios (en número infinito). Para la caracterización 5., es un conjunto semi-algebraico (en) de base ( es decir, d. Caracterizado por un número finito de desigualdades polinómicas). ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$
Las caracterizaciones del § “Definiciones” muestran que es un cono convexo cerrado no vacío . ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$
En el espacio euclidiano (proporcionado con el producto usual escalar: que significa la pista ), el cono normal y tangente a en están escritos ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} (AB)}$ $\ operatorname {tr}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = (- {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}) \ cap (A ^ {\ bot}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {T} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = \ {D \ in {\ mathcal {S}} _ {n} \ mid \ forall v \ in \ ker A \; \; v ^ {\! \ Top \!} Dv \ geqslant 0 \}.}$

El caso complejo

Extendemos las propiedades y definiciones anteriores a matrices complejas.

Sea M una matriz cuadrada de orden n . Se dice que es positivo si satisface una de las siguientes propiedades equivalentes:

M es un elemento positivo del complejo C * -álgebra M n, n (ℂ).
M es auto-unido (o: hermitiano ) y todos sus valores propios son positivos o cero.
La forma sesquilineal asociada con M es (hermitiana) positiva : para cualquier matriz de columna z con n elementos complejos, z * Mz es un real positivo (donde z * denota la matriz anexa de z ).
Hay una matriz compleja N tal que M = N * N .

Se dice que es positivo definido si también es invertible.

Observaciones

No se supone que la matriz esté autounida a priori : esta propiedad es consecuencia de cada una de las caracterizaciones, en particular, a diferencia del caso real, de la positividad de la forma asociada.
En el espacio de matrices hermitianas de orden n , el orden parcial asociado con las matrices positivas del cono convexo se llama orden de Lowner (en) (llamado así por Charles Loewner ).

Cualquier matriz positiva (hermitiana) admite una raíz cuadrada positiva (hermitiana) única .

Notas y referencias

Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo titulado “ Matriz positiva ” (ver lista de autores ) .

Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matemáticas todo en uno para la licencia 2: curso completo, ejemplos y ejercicios corregidos , Dunod ,2014( leer en línea ) , pág. 134.
La positividad de los mayores menores dominantes no es suficiente, como lo evidencia la matriz . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$
(en) Roger A. Horn y Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press ,2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1985) ( leer en línea ) , p. 439, demuestre que 5. ⇒ 3.
El ejemplo de funciones constantes muestra que no es necesariamente positivo definido
Para una demostración completa, véase el § “matriz positiva” del artículo sobre las raíces cuadradas de una matriz .