Un autómata celular consiste en una cuadrícula regular de "células", cada una de las cuales contiene un "estado" elegido de un conjunto finito y que puede cambiar con el tiempo. El estado de una celda en el momento t + 1 es una función del estado en el momento t de un número finito de celdas llamado su "vecindad". Con cada nueva unidad de tiempo, las mismas reglas se aplican simultáneamente a todas las celdas de la cuadrícula, produciendo una nueva “generación” de celdas que depende completamente de la generación anterior.
Estudiados en matemáticas e informática teórica , los autómatas celulares son tanto un modelo de sistema dinámico discreto como un modelo computacional . El modelo de autómatas celulares destaca por la diferencia entre la sencillez de su definición y la complejidad que pueden alcanzar determinados comportamientos macroscópicos : la evolución en el tiempo de todas las células no se reduce (simplemente) a la regla local que define el sistema. Como tal, constituye uno de los modelos estándar en el estudio de sistemas complejos .
El autómata celular no trivial más simple que podamos concebir consiste en una cuadrícula unidimensional de celdas que puede tomar solo dos estados ("0" o "1"), con una vecindad formada, para cada celda, por ella misma. y las dos celdas adyacentes.
Cada una de las celdas puede tomar dos estados, hay 2 3 = 8 configuraciones (o patrones) posibles de dicha vecindad. Para que el autómata celular funcione, es necesario definir cuál debe ser el estado, en la próxima generación, de una célula por cada una de estas razones. Hay 28 = 256 formas diferentes de hacer esto, por lo que 256 autómatas celulares diferentes de este tipo.
Se dice que los autómatas de esta familia son "elementales". A menudo se designan con un número entero entre 0 y 255 cuya representación binaria es la secuencia de estados que toma el autómata en los patrones sucesivos 111, 110, 101, etc.
Como ejemplo, consideremos el autómata celular definido por la siguiente tabla, que da la regla de evolución:
Razón inicial ( t ) | 111 | 110 | 101 | 100 | 011 | 010 | 001 | 000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Siguiente valor de la celda central ( t +1) | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Esto significa que si, por ejemplo, en un momento t dado, una celda está en el estado "1", su vecino izquierdo en el estado "1" y su vecino derecho en el estado "0" (columna 2 de la tabla), en el momento t + 1 estará en el estado "0".
Si partimos de una cuadrícula inicial donde todas las celdas están en el estado "0" excepto una, terminamos con:
donde cada fila es el resultado de la fila anterior.
Por convención, esta regla se llama "regla 30", porque 30 en decimal se escribe 00011110 en binario y 00011110 es la segunda línea de la tabla anterior, que describe la regla de evolución.
El " juego de la vida " es un autómata celular bidimensional donde cada celda puede tomar dos valores ("0" o "1", pero hablamos más bien de "vivo" o "muerto") y donde se encuentra su estado futuro determinado por su estado actual y por el número de células vivas entre las ocho que lo rodean:
Aparentemente simples, estas reglas resaltan una gran complejidad.
Según el mismo principio, podemos imaginar una gran cantidad de reglas variando los umbrales de nacimiento o supervivencia, o agregando estados adicionales, etc. Entre estas variaciones, podemos citar:
Para determinar los cambios de estado de una celda, algunos solo tienen en cuenta los vecinos inmediatos de la caja considerada, pero otros también tienen en cuenta el estado de las celdas vecinas dentro de un radio de dos cajas, o incluso más. Otros también atribuyen un mayor peso a determinadas cajas del barrio que a otras ( WeightedLife ).
Las posibles reglas para definir un autómata celular son muy numerosas, incluso con un pequeño número de estados y un pequeño vecindario :
2 estados | 3 estados | 4 estados | 5 estados | |
---|---|---|---|---|
2 vecinos | dieciséis | 19 683 | 4.294.967.296 | |
3 vecinos | 256 | 7625 597 484 987 | ||
4 vecinos | 65,536 | |||
5 vecinos | 4.294.967.296 | |||
6 vecinos |
El modelo de autómatas celulares ofrece, por tanto, un inmenso campo de exploración. No es difícil programar un simulador de autómata celular y la Web está llena de logros más o menos exitosos. El sitio de Mirek Wojtowicz ofrece, por ejemplo, software de simulación y una galería muy rica de ejemplos: Cellebration de Mirek . Otro ejemplo de simulador interesante es Golly . Está principalmente dedicado al juego de la vida y optimizado para este autómata utilizando en particular quadtree combinado con hash .
En la década de 1940, Stanislaw Ulam estaba estudiando el crecimiento de cristales en el Laboratorio Nacional de Los Alamos , modelándolo en una cuadrícula. Al mismo tiempo, John von Neumann , colega de Ulam en Los Alamos, estaba trabajando en sistemas de autorreplicación y tenía dificultades para explicar su modelo inicial de un robot que se copiaba a sí mismo a partir de un conjunto de piezas. Ulam sugirió que se inspirara en su trabajo, lo que llevó a von Neumann a diseñar un modelo matemático abstracto para su problema. El resultado fue el "copier and universal constructor " ( constructor universal y copia en inglés), el primer autómata celular: se basaba en una cuadrícula bidimensional donde cada celda podía tomar 29 estados. Von Neumann construyó allí un patrón especial y demostró que podía producir copias de sí mismo sin cesar.
En 1969, Gustav Arnold Hedlund publicó Endomorphisms and Automorphisms of the Shift Dynamical System , una monografía de unas 60 páginas que sintetiza 10 años de investigación de una comunidad que trabaja en el campo de la dinámica simbólica (una rama del estudio de los sistemas dinámicos en matemáticas, fundada en particular por M. Morse y GA Hedlund). Es esta publicación la que sienta las bases matemáticas para el estudio de los autómatas celulares como sistemas dinámicos particulares.
También en 1969, Konrad Zuse publicó Rechnender Raum ("Cuando el espacio calcula") en el que planteó la hipótesis de que las leyes físicas eran discretas y que el Universo era el resultado de un gigantesco autómata celular.
En la década de 1970, un autómata celular bidimensional de dos estados llamado " Juego de la vida ", inventado por John Conway , logró un gran éxito, particularmente entre la comunidad informática emergente. Fue popularizado por Martin Gardner en un artículo de Scientific American .
En 1983, Stephen Wolfram publicó la primera de una serie de publicaciones en las que analizaba sistemáticamente un tipo de autómatas celulares muy simples. La complejidad de su comportamiento, inducida por reglas elementales, lo llevó a conjeturar que mecanismos similares podrían explicar fenómenos físicos complejos, ideas que desarrolló en su libro A New Kind of Science publicado en 2002.
Si la popularidad del modelo de autómatas celulares proviene en gran parte de un enfoque experimental, fue abordado desde el principio como un objeto matemático por Von Neumann . La mayor parte del trabajo formal sobre autómatas celulares utiliza la siguiente definición, aunque el modelo admite muchas generalizaciones y variaciones interesantes.
Un autómata celular es un -uplet donde:
La atribución de un estado a cada celda de la red se denomina configuración : una configuración es un elemento de , es decir, una función de in .
Con esta descripción finita y local, asociamos la función global de evolución del autómata , que actúa sobre las configuraciones y que está definida por para cualquier configuración (donde ).
Los autómatas celulares se han estudiado como sistemas dinámicos desde la década de 1960 con el trabajo de GA Hedlund. Cuando se adjuntan el tamaño y el alfabeto se pueden proporcionar configuraciones espaciales de la métrica de Cantor por la distancia definida por
El conjunto de autómatas celulares de alfabeto y dimensión se caracteriza entonces por el teorema de Curtis-Hedlund-Lyondon: ¿ es la función global de dicho autómata celular si y solo si es una función continua de la que conmuta con las funciones de desplazamiento (cualquier posición en la matriz de celdas corresponde a una función de desplazamiento ).
A partir de ahí, los autómatas celulares se pueden estudiar con todas las herramientas de la teoría de sistemas dinámicos clásica, la teoría del caos y la teoría ergódica , cuando equipamos el espacio de configuraciones de una medida .
Esta rama de la teoría de los autómatas celulares permanece ampliamente abierta y sigue siendo objeto de investigación (ver aquí un ejemplo de una cuestión importante sin resolver hasta la fecha).
Los autómatas celulares pueden considerarse tanto sistemas dinámicos discretos como sistemas computacionales . Así, cada autómata es capaz de realizar ciertos cálculos o exhibir ciertos comportamientos dinámicos. Tanto si se adopta un punto de vista como el otro, se puede plantear la misma pregunta: ¿existe un autómata capaz de hacer todo lo que pueden hacer los autómatas celulares? Entonces se dice que tal autómata es universal .
La noción de universalidad corresponde a una idea muy simple y muy general, pero hay que tener cuidado con el hecho de que según el significado que dejamos detrás de la expresión "capaz de hacer" los autómatas universales no son lo mismo. Podemos distinguir dos tipos de nociones de universalidad para los autómatas celulares: la universalidad de Turing que está asociada a la capacidad de cálculo y la universalidad intrínseca que está asociada a la capacidad de producir ciertos comportamientos dinámicos.
El hecho notable es que para cada una de estas nociones existen autómatas universales. Cabe señalar también que la noción de universalidad intrínseca es más fuerte que la universalidad de Turing: de hecho, sin entrar en detalles, un autómata capaz de simular todos los autómatas puede, en particular, simular un autómata universal de Turing y, por tanto, realizar todos los cálculos de Turing. En contraste, hay autómatas celulares universales de Turing que no son inherentemente universales.
Universalidad de TuringLa universalidad de Turing es una adaptación a los autómatas celulares de la universalidad para la computación . Podemos definir esta noción como la capacidad de un autómata para simular una máquina de Turing universal. Esta posibilidad de simular una máquina de Turing mediante un autómata celular es muy simple y se conocía por el trabajo de John von Neumann . Hay varias formas de formalizarlo y la siguiente es una de las más sencillas. Si es una máquina de Turing que opera con un alfabeto de cinta y un conjunto de estados , podemos definir un autómata celular capaz de simular :
A menudo encontramos un significado más general (pero más informal) de la universalidad de Turing: un autómata celular es Turing-universal si es capaz de simular un sistema de computación Turing-completo . El término simular rara vez se formaliza en un marco general. Lo importante es que la transformación de las entradas / salidas del sistema simulado en entradas / salidas del simulador sigue siendo simple: sin esta condición, obtenemos una noción sin interés debido a que los autómatas que no hacen nada ( identidad por ejemplo) se vuelven universal gracias a las transformaciones de entrada / salida que hacen todo el cálculo por ellos.
Universalidad intrínsecaUn autómata celular intrínsecamente universal es un autómata capaz de simular paso a paso el comportamiento de cualquier autómata celular de la misma dimensión. Más específicamente, la idea de la simulación paso a paso se basa en los siguientes principios:
Así, por ejemplo, el juego de la vida es capaz de simular paso a paso el autómata con 2 estados (negro y rojo) que realiza un simple desplazamiento de estados hacia el sureste:
Así, para simular el comportamiento de a partir de una determinada configuración inicial, basta con fabricar una configuración del juego de la vida donde cada grupo esté lleno de células muertas, o con un planeador según el estado de la célula que le corresponda .
Es notable que con este principio de simulación tan simple algunos autómatas sean capaces de simular cualquier autómata celular desde cualquier configuración: este es el caso del juego de la vida como se explica en la siguiente sección . Por supuesto, para simular autómatas con más y más estados, un autómata intrínsecamente universal utiliza grupos de células cada vez más grandes. De hecho, con un tipo fijo de grupo de células, solo hay un número finito de posibles simulaciones. Así, cuando observamos una evolución del juego de la vida en una pantalla (por grande que sea), no vemos todos los comportamientos que el juego de la vida es capaz de simular; sin embargo, este autómata es capaz de producir todos los comportamientos de un autómata celular.
Ejemplos deHistóricamente, el primer autómata celular construido con una propiedad universal (Turing en este caso) es el constructor universal de John von Neumann : es una dimensión de los estados del PLC 2-29 que también es capaz de auto-replicarse.
En cuanto a la noción de universalidad intrínseca, tuvimos que esperar hasta la década de 1970 con el trabajo de ER Banks que propuso un autómata celular de dimensión 2 con 2 estados y 5 vecinos. También ofrece un autómata unidimensional intrínsecamente universal con 5 estados pero cuya vecindad es enorme.
El ejemplo más famoso de autómata universal es sin duda el juego de la vida . Se demostró que Turing-universal en el libro Winning Ways for your Mathematical Plays . La prueba consiste en construir piezas de configuraciones ensamblables y que corresponden a todos los componentes necesarios para la fabricación de circuitos lógicos (alambres, cruces de alambres, duplicación, puertas lógicas , etc.). Se puede encontrar una construcción completa de una Máquina de Turing en Game of Life en el sitio de Paul Rendell . A partir de las mismas ideas, se ha demostrado más recientemente que el juego de la vida es intrínsecamente universal.
Para la dimensión 1, recientemente se ha producido un gran avance con respecto a la universalidad de Turing: el Sr. Cook ha demostrado que el autómata celular elemental número 110 es Turing-universal. Presentó sus ideas ya en 1998 en la conferencia CA98 , pero este resultado se difundió (parcialmente) por escrito solo en 2002 a través de A New Kind of Science de S. Wolfram. De hecho, el Sr. Cook fue contratado por Wolfram Research para trabajar en el libro A New Kind of Science y su trabajo no fue publicado en las actas de CA98 luego de una demanda basada en un acuerdo de no divulgación . La prueba completa del resultado del Dr. Cook finalmente se publicó en una revista científica en 2004.
Por otro lado, todavía hoy no sabemos si el autómata 110 es intrínsecamente universal o no. El autómata unidimensional más pequeño con una vecindad de 3 celdas que ha demostrado ser intrínsecamente universal hasta la fecha tiene 4 estados.
En general, es extremadamente difícil determinar el comportamiento general de un autómata celular examinando su regla local de transición. Esto da como resultado resultados de indecidibilidad que afectan a las propiedades más simples. En este campo podemos citar el trabajo de Jarkko Kari quien, utilizando hábilmente los resultados ya conocidos sobre teselaciones , demostró que los siguientes problemas eran indecidibles:
El hecho de que los autómatas celulares puedan simular cualquier máquina de Turing también conduce a problemas indecidibles de otra naturaleza. Por ejemplo, para algunos autómatas celulares, los siguientes problemas también son indecidibles :
Como se explicó anteriormente, las reglas locales de los autómatas celulares son demasiado numerosas para un estudio exhaustivo y la predicción del comportamiento de acuerdo con la regla local es un problema muy difícil en general. Por eso, el estudio de los autómatas celulares se ha restringido a menudo a familias particulares, ya sea porque se prestan más fácilmente al análisis o porque corresponden a una propiedad interesante.
Un autómata celular es reversible si existe un autómata celular como las dos funciones globales de la evolución y son inversas entre sí: es la función de identidad. Intuitivamente, "retrocede en el tiempo" de la evolución de y, a la inversa, "retrocede en el tiempo" de la evolución de . Por el teorema de Hedlund, podemos caracterizar a los autómatas celulares reversibles como aquellos cuya función global es biyectiva .
Esta clase ha sido muy estudiada, en particular porque proporciona un modelo que se aproxima al mundo físico real, supuestamente reversible a escala microscópica (ver sobre este tema el artículo sobre reversibilidad e irreversibilidad en termodinámica ). T. Toffoli y N. Margolus se encuentran entre los primeros interesados específicamente en los autómatas celulares reversibles. El interés también radica en la búsqueda de sistemas de cálculo reversibles que supuestamente consuman menos energía según el principio de Landauer . Ahora está establecido que ciertos autómatas celulares reversibles son Turing universales (obra de Kenichi Morita).
ReconocimientoEs algorítmicamente imposible distinguir los autómatas celulares reversibles de los que no lo son cuando la dimensión es mayor que 2. Por otro lado, en la dimensión 1, existe un algoritmo muy eficiente.
Otra forma de presentar esta diferencia entre la dimensión 1 y las dimensiones mayores es la siguiente: el tamaño de la vecindad de la inversa de un autómata no puede acotarse recursivamente de acuerdo con el tamaño de la vecindad de cuando la dimensión es 2 o más, mientras que es acotado polinomialmente en la dimensión 1 (un resultado reciente incluso muestra que el límite es lineal ).
Ejemplos deEs fácil construir autómatas celulares reversibles. Para ello existen varias formas de construcción.
Los autómatas celulares son en general sistemas dinámicos no lineales , lo que dificulta su estudio con herramientas convencionales. Pero esta verdad general no impide que ciertos autómatas celulares posean una forma más o menos estricta de linealidad.
DefiniciónFormalmente, se dice que un autómata alfabético es lineal si podemos proporcionar una ley de grupo como:
En este caso, si extendemos a una operación que actúa celda por celda en el espacio de configuración, la función global asociada con el autómata es en efecto una función lineal .
La linealidad facilita considerablemente el estudio de la dinámica de los autómatas. Así, basta conocer la dinámica de un autómata lineal a partir del espacio de sus configuraciones para deducir de él por linealidad su comportamiento en todo el espacio. Se puede elegir para tal base el conjunto (finito) de configuraciones en todas partes iguales a ( neutral de ) excepto posiblemente en la celda central.
Autómatas aditivosUna de las familias de autómatas lineales más estudiadas es la de los denominados autómatas aditivos , introducida por O. Martin, A. Odlyzko y S. Wolfram en. Estos controladores se definen de la siguiente manera:
El ejemplo típico es aquel en el que todos los coeficientes son iguales a 1: la regla local consiste en tomar la suma módulo n de todas las celdas de la vecindad. Así, en la dimensión 1, el autómata celular elemental 90 es aditivo: su función de transición consiste en hacer la suma módulo 2 de los estados de los dos vecinos de la celda. Basta conocer el comportamiento de este autómata sobre la configuración en todas partes igual a 0 excepto en el centro donde vale 1 para deducir su comportamiento general por el principio de superposición:
El autómata elemental 102 también es aditivo. Su acción sobre la configuración produce un triángulo de Pascal módulo 2 (que también da una aproximación del triángulo de Sierpinski ). Entonces, a partir de , la celda después de los pasos está en el estado:
Por superposición, deducimos una expresión directa del estado de la celda central tras paso a partir de cualquier configuración :
En un autómata celular totalista, el estado subsiguiente de una célula depende sólo de la suma de los estados de sus vecinas; este es el caso del juego de la vida donde una célula viva permanece así si dos o tres de sus vecinos están vivos, y nace una célula muerta si tres de sus vecinos están vivos. Por tanto, un autómata totalista no tiene en cuenta la posición de los vecinos de una celda en relación con ella.
Si un autómata celular no es totalista, además de su propio estado, la posición de los vecinos de una célula influye en su estado posterior. Por ejemplo, para un autómata celular unidimensional, podemos diferenciar entre la celda vecina a la izquierda y la vecina a la derecha.
Esta clasificación fue introducida por Stephen Wolfram en 1983 en su artículo Universalidad y complejidad en los autómatas celulares y representa el primer intento de clasificar los autómatas celulares según su evolución a partir de configuraciones iniciales aleatorias. Propuso cuatro clases de comportamiento:
Una de las críticas a la clasificación de Wolfram radica en su incapacidad para decir si un autómata celular dado es Turing-universal ; además, se han encontrado autómatas celulares universales para cada una de las clases propuestas por Wolfram. Este estado de cosas se deriva de lo que Wolfram consideró solo condiciones iniciales aleatorias, pero no estructuras particulares creadas específicamente para la ocasión. En particular, no se tiene en cuenta la transmisión de información, por ejemplo, a través de buques .
David Eppstein propuso una alternativa a esta clasificación:
A priori , sólo los últimos casos permiten la universalidad, aunque no todos los autómatas celulares que responden a ellos. Por otro lado, tampoco se ha demostrado que sea imposible construir estructuras universales para los demás casos, otras estructuras que los vasos también pueden transmitir información.
En la definición formal anterior, la red tiene forma sistemática . Podemos generalizar sin problema a otros grafos infinitos regulares.
La primera clasificación de un autómata celular se refiere a la forma en que se aplican las reglas en la cuadrícula:
Es posible generalizar el concepto de autómata celular, por ejemplo:
Los controladores continuos operan con el mismo principio que los autómatas celulares, pero usan cuadrículas o estados continuos (generalmente entre 0 y 1). Dichos autómatas pueden, por ejemplo, simular la difusión de un líquido.
Un autómata celular probabilístico es un autómata celular determinista donde la regla local f es reemplazada por una dinámica local aleatoria, es decir una matriz de transición que indica según el estado donde nos encontramos con qué probabilidad podemos terminar en un estado siguiente.
Es posible repetir un autómata celular sobre la imagen encontrada tras una aplicación del mismo autómata celular probabilístico. Puede iterar una y otra vez. La búsqueda de la ley invariante donde la ergodicidad (convergencia) de la ley de partida son temas sobre los que se está investigando actualmente.
Se conjetura (pero no se prueba) que los autómatas celulares probabilísticos son todos ergódicos si el alfabeto cardinal inicial es 2 y se prueba que esto es falso para todos los alfabetos muy grandes. Esto fue demostrado por Gàcs en 2001 para autómatas celulares probabilísticos con un alfabeto cardinal de tamaño aproximado .
La pregunta permanece abierta y no se conjetura para los autómatas celulares probabilísticos con un alfabeto cardinal de menor tamaño.
En la investigación matemática, los autómatas celulares probabilísticos también se utilizan para conjeturar ciertas leyes sobre filtraciones generalizadas de último paso.
Podemos considerar el modelo de autómatas celulares como la contraparte discreta de las ecuaciones diferenciales parciales . Así, cada vez que se describe un fenómeno físico mediante ecuaciones diferenciales parciales, se puede proponer uno (s) en forma de autómata celular. Queda por determinar en qué medida el modelo celular es relevante para explicar y / o predecir el fenómeno estudiado. Nada está garantizado en el caso general y caracterizar la dinámica global del modelo celular según su definición local puede ser al menos tan difícil como resolver el sistema de ecuaciones diferenciales parciales.
Por otro lado, ¡el autómata celular se puede simular fácilmente por computadora! Así, en el análisis numérico , muchos métodos consisten en discretizar determinadas cantidades (espacio, tiempo, valor) para realizar simulaciones numéricas (ver el método de los elementos finitos , el volumen finito o la diferencia finita ).
Entre los modelos que se han estudiado extensamente, podemos citar autómatas de gas de red ( autómatas de gas de celosía ) que modelan partículas de gas gobernadas por una versión discreta de las ecuaciones de Navier Stokes .
La primera formulación de este modelo, conocida con el nombre de HPP , (se trata de un autómata celular de dimensión ) se debe a J. Hardy, Y. Pomeau y O. Pazzis en la década de 1970. Se propuso una segunda formulación, FHP en la década de 1980 por U. Frisch, B. Hasslacher e Y. Pomeau: mejora la anterior reemplazando la red celular por una red hexagonal.
Los autómatas celulares también encuentran aplicación en el modelado y simulación de incendios forestales . El primer uso se debe a Kourtz y O'Regan en 1971. Estos modelos permiten observar fácilmente la propagación del fuego según varios parámetros como la dirección y la fuerza del viento o la humedad .
Los patrones de ciertas conchas marinas , como conos y cymbiolae , son generados por mecanismos que se asemejan al modelo de autómatas celulares. Las células responsables de la pigmentación se encuentran en una franja estrecha a lo largo de la boca de la concha. Cada célula segrega pigmentos de acuerdo con la secreción (o falta de secreción) de sus vecinas y todas las células producen el patrón de la cáscara a medida que crece. Por ejemplo, la especie textil Conus exhibe un patrón que se asemeja a la regla 30 descrita anteriormente.
K. Nagel y M. Schreckenberg propusieron en la década de 1990 un modelo de tráfico de autopista basado en un autómata celular unidimensional:
Este modelo corresponde a un autómata celular si la perturbación aleatoria está ausente ( ). Si además (un vehículo está parado o en su velocidad máxima), el modelo se reduce al autómata celular elemental 184: las células pueden tomar solo dos valores correspondientes a vacío o presencia de un vehículo .
Varios científicos, como Andrew Ilachinski , han planteado la hipótesis de que el universo podría considerarse un autómata celular. Ilachinski lo justifica con la siguiente observación: "Consideremos la evolución de la regla 110 : si fuera una especie de" ley alternativa de la física ", ¿cuál sería la descripción racional de los patrones observados? Un observador que desconozca la regla aplicada para generar las imágenes podría asumir el movimiento de objetos discretos. " El físico James Crutchfield emitió una rigurosa teoría matemática basada en este principio, demostrando la aparición de" partículas "estadísticas en los autómatas celulares. Por extensión, el universo , que puede describirse como un conjunto de partículas, podría considerarse así como un autómata celular.
En octubre de 2014, aún queda por formular una teoría unificada basada en este supuesto; No obstante, la investigación en esta dirección ha ayudado a algunos investigadores a definir el universo como un sistema discreto: