Álgebra de Jordan

En álgebra general , un álgebra de Jordan es un álgebra sobre un campo conmutativo, en el que la operación de multiplicación interna tiene dos propiedades: $(x, y) \ rightarrow (x \ cdot y)$

es conmutativo , es decir que $x \ cdot y = y \ cdot x,$
satisface las siguientes identidad, llamada identidad Jordan : . $(x \ cdot y) \ cdot (x \ cdot x) = x \ cdot (y \ cdot (x \ cdot x))$

Por tanto, un álgebra de Jordan no es asociativa en general; Sin embargo, sí que verificar una propiedad de asociatividad débil, porque tiene poderes asociativos y satisface una generalización de la identidad de Jordan automáticamente: simplemente viendo el producto de m términos , tenemos, para todos los enteros positivos m y n , $x ^ {m}$ $x \ cdot x \ cdot \ cdots \ cdot x$

{\ Displaystyle (x ^ {m} \ cdot y) \ cdot x ^ {n} = x ^ {m} \ cdot (y \ cdot x ^ {n})}

Este tipo de estructura fue introducido en un caso particular por Pascual Jordan en 1933, con el fin de describir mejor las propiedades algebraicas útiles en mecánica cuántica . Jordan se refirió a esta estructura simplemente como "sistema de números r". El nombre "álgebra de Jordan" fue propuesto en 1946 por Adrian Albert , quien inició el estudio sistemático de las álgebras generales de Jordan.

Álgebras de Jordan y sus generalizaciones que participan actualmente en muchas áreas de las matemáticas: grupos y álgebra de Lie , geometría diferencial , la geometría proyectiva , la física matemática , genética matemática , optimización , etc.

Un ejemplo clave

El espacio vectorial de n × n matrices con coeficientes en el campo ℝ de números reales se convierte con el producto habitual de las matrices en un álgebra asociativa; pero este álgebra no es conmutativa en general. Por otro lado, podemos proporcionar a este espacio vectorial otro producto interno, lo que lo convierte en un álgebra de Jordan.

Para M y N dos matrices, denotemos simplemente su producto habitual MN . Luego definimos el nuevo producto, señalado y, a menudo, llamado "producto de Jordan" de la siguiente manera: $M \ cdot N$

{\ Displaystyle M \ cdot N = {\ frac {MN + NM} {2}}.}

En otras palabras, se trata de sustituir el producto habitual de las matrices por una versión simétrizada. Esta ley no es asociativa en general; por otro lado, verifica las dos propiedades deseadas para obtener un álgebra de Jordan. La conmutatividad del producto ,, es inmediata a la propia definición. La identidad de Jordan se verifica mediante un cálculo directo, utilizando la asociatividad del producto habitual; este cálculo se detalla en el cuadro desplegable a continuación. ${\ Displaystyle M \ cdot N = N \ cdot M}$

El espacio vectorial de n × n matrices con coeficientes en el campo de los números reales , dotado del producto de Jordan, es por tanto un álgebra de Jordan. $\ mathbb {R}$

Prueba de la identidad de Jordan

Esto es para verificar que $(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = M \ cdot (N \ cdot M ^ {2}).$

Primero notamos que está bien definido correctamente, es decir que su valor es el mismo ya sea que consideremos el producto habitual MM o el producto de Jordania , ya que $M ^ {2}$ $M \ cdot M$ $M \ cdot M = {\ frac {MM + MM} {2}} = MM.$

Al reemplazar el producto de Jordan por su definición, tenemos:

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = ({\ frac {MN + NM} {2}}) \ cdot M ^ {2} = {\ frac {(MN + NM) M ^ {2} + M ^ {2} (MN + NM)} {4}},$

ya sea utilizando la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma y la asociatividad del producto habitual:

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = {\ frac {(MN) M ^ {2}) + (NM ^ {3}) + (M ^ {3} N) + M ^ {2} (NM)} {4}}$

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = {\ frac {M (NM ^ {2}) + (NM ^ {2}) M + M (M ^ {2} N) + (M ^ { 2} N) M} {4}}$

y por lo tanto, agrupando:

$(M \ cdot N) \ cdot M ^ {2} = M \ cdot {\ frac {NM ^ {2} + M ^ {2} N} {2}} = M \ cdot (N \ cdot M ^ {2 }).$

Origen de las álgebras de Jordania

La misma construcción se aplica a las matrices hermitianas , el punto de partida del trabajo de Jordan en 1933.

De hecho, Jordan no estaba satisfecho con la matematización de la mecánica cuántica en uso. Quería formalizar mejor la estructura de los observables en mecánica cuántica .

En la mecánica cuántica de Heisenberg en cuyo desarrollo había participado además Jordan, los observables están representados por matrices hermitianas (en otras palabras, autoanexadas). Pero las operaciones que parecen naturales desde un punto de vista algebraico no siempre lo son desde un punto de vista físico: el cuadrado x 2 de un observable, la multiplicación de un observable por un número real, la suma x + y de dos observables x y y todavía son observables; pero el producto xy no lo es en general, ya que el producto de dos matrices hermitianas es hermitiano sólo si las matrices conmutan. Por otro lado, una expresión como 1/2 ( xy + yx ) todavía es observable, porque es igual a una suma de observables 1/2 [( x + y ) 2 - x 2 - y 2 ].

Jordan demostró que mediante la definición de un “cuasi-producto” xy de x e y por xy = 1/2 ( xy + yx ) (que ahora hablamos de “producto de Jordan”), este producto es una ley conmutativa, que no lo hace no es asociativo, pero verifica lo que Jordan describe como una forma débil de asociatividad, la identidad de Jordan. Esta nueva estructura le pareció capaz de explicar directamente las propiedades algebraicas de la situación física. Para Jordan, quien promovió el positivismo radical, las matemáticas deberían proporcionar un marco unificado para representar los fenómenos físicos, pero sin pretender revelar un fundamento oculto; esto es lo que esperaba lograr con una estructura matemática modelada sobre los observables.

Un año después, con von Neumann y Wigner, Jordan estudia todas las álgebras de dimensión finita sobre el campo de los números reales, con producto conmutativo y verificando la identidad ( xy ). x 2 = x . ( yx 2 ), y establecer una clasificación bajo una hipótesis adicional (las álgebras consideradas son formalmente reales, propiedad que les parece importante para aplicaciones físicas). Este estudio les aparece como un "punto de partida para una generalización de la mecánica cuántica", una generalización necesaria para esperar "aplicar la mecánica cuántica a cuestiones de fenómenos relativistas y nucleares". Este proyecto hacia una teoría unitaria satisfactoria choca con el resultado mismo de la clasificación, porque muestra que las nuevas estructuras esperadas no existen. Luego se exploran varias generalizaciones en las siguientes décadas; Las álgebras de Jordan (así bautizadas desde la importante obra de Adrian Albert en 1946) y sus desarrollos aparecen entonces en muchos contextos matemáticos.

Álgebras de Jordan especiales y excepcionales

Las construcciones explicadas anteriormente para álgebras matriciales se generalizan inmediatamente a álgebras asociativas generales.

A partir de un álgebra asociativa A (sobre un campo que no es de la característica 2), podemos construir un álgebra de Jordan A + que mantiene la misma estructura de espacio vectorial subyacente. En primer lugar, debe tenerse en cuenta que un álgebra asociativa puede ser en sí mismo un álgebra de Jordan; este es el caso si y solo si es conmutativo. Si A no es conmutativa, podemos definir en A una nueva multiplicación que es conmutativa y verifica la identidad de Jordan; el espacio vectorial A , provisto de una (nueva) estructura de álgebra con esta multiplicación, es un álgebra de Jordan, A + . La nueva multiplicación se obtiene a partir de la multiplicación inicial por el "producto de Jordan": $x \ cdot y$

x \ cdot y = {xy + yx \ over 2}.

Las álgebras de Jordan obtenidas de esta manera, así como sus subálgebras, se denominan álgebras de Jordan especiales . Todas las demás álgebras de Jordan se denominan álgebras de Jordan excepcionales .

Un caso interesante es el de las álgebras hermitianas de Jordania. Si el álgebra asociativa inicial A tiene una involución *, el subespacio de A formado por los elementos fijados por la involución está cerrado para el producto de Jordan, en otras palabras, el producto de Jordan de dos elementos fijados por la involución todavía está fijado por la involución. . De hecho, si y tenemos: $x = x ^ {{*}}$ $y = y ^ {{*}}$

$(x \ cdot y + y \ cdot x) ^ {{*}} = (x \ cdot y) ^ {{*}} + (y \ cdot x) ^ {{*}} = (y ^ {{* }} \ cdot x ^ {{*}}) + (x ^ {{*}} \ cdot y ^ {{*}}) = (y \ cdot x) + (x \ cdot y) = (x \ cdot y + y \ cdot x)$ .

Así que este subespacio es una subálgebra de Jordan de A + , es un álgebra de Jordan especial, que denotamos por H ( A , *); la letra H recuerda a Hermitian . Por ejemplo, si A es un álgebra de matrices con coeficientes reales o complejos, la operación que asocia su adjunto a una matriz es una involución y los elementos fijos son los elementos hermitianos (o incluso “autoasociados”). Por tanto, las matrices hermitianas (con el producto de Jordan) forman un álgebra de Jordan especial. Recordamos que, por el contrario, este subespacio de los elementos hermitianos no está generalmente cerrado para el producto ordinario.

Según el teorema de Shirshov-Cohn, cualquier álgebra de Jordan con dos generadores es especial. El teorema de MacDonald dice que cualquier polinomio con 3 variables, de grado 1 con respecto a una de las variables, y que desaparece en cualquier álgebra de Jordan especial, desaparece en cualquier álgebra de Jordan.

Clasificación de álgebras de Jordan formalmente reales

Se dice que un álgebra A sobre el campo de los números reales es formalmente real si una suma de n cuadrados de elementos de A desaparece si y solo si cada elemento / cada cuadrado desaparece, es decir,

a ^ {2} + b ^ {2} +

… Implica eso .

+ i ^ {2} = 0

{\ Displaystyle a = 0, b = 0, \ dots, i = 0}

Cuando Pascual Jordan introdujo en 1932 sus sistemas de números r (primeros ejemplos de álgebras de Jordan) para axiomatizar la mecánica cuántica, les había proporcionado esta propiedad. Las álgebras de Jordan formalmente reales y de dimensión finita fueron clasificadas ya en 1934 por Jordan, von Neumann y Wigner.

El conjunto de reales, complejos, o cuaterniónicos auto contiguo matrices , proporcionada con el producto Jordan, forma una verdadera formalmente especial Álgebra de Jordan. El conjunto de matrices hermitianas en el álgebra de los octoniones , provisto del producto de Jordan, es un álgebra de Jordan formalmente real excepcional de dimensión 27 en el campo de los números reales. Su grupo de automorfismos es el excepcional grupo de Lie F4 . $3 \ por 3$

Un ideal I en un álgebra de Jordan A es un subespacio de A tal que, para cualquier elemento a de A y cualquier elemento i de I , está en I (la definición es consistente con la de un ideal en un anillo). Se dice que un álgebra de Jordan es simple si sus únicos ideales son {0} y el álgebra en sí. $a \ circ i$

Las álgebras de Jordan formalmente reales y de dimensión finita se pueden descomponer en una suma directa de álgebras simples (formalmente reales y de dimensión finita) . Además, estos últimos son de solo 5 tipos, cuatro familias infinitas y un tipo excepcional:

el álgebra de Jordan de matrices autoadjuntantes (es decir, simétricas) reales n × n , dotadas del producto de Jordan;
el álgebra de Jordan de matrices complejas autoadjuntas (es decir, hermitianas) n × n , dotadas del producto de Jordan;
el álgebra de Jordan de matrices cuaterniónicas autoadjuntas n × n , dotadas del producto de Jordan;
Jordan álgebra generada por R n , el producto que se define por una forma bilineal simétrica , asociada con una definida positiva forma cuadrática Q . Es decir . Se dice que estas álgebras de Jordan son del tipo Clifford; ${\ Displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle}$ $x \ circ y = \ langle x, y \ rangle$
el álgebra de Jordan de matrices octoniónicas autoanexadas de 3 × 3, dotadas del producto de Jordan.

Los primeros cuatro tipos son álgebras especiales, es decir que proceden (modificando la definición del producto) de las álgebras asociativas habituales, en este caso las álgebras de matrices cuaterniónicas reales, complejas y autounidas, o un álgebra de Clifford , asociado con la forma Q , respectivamente. El último tipo es excepcional.

Generalizaciones

Dimensión infinita

En 1979, Efim Zelmanov logró clasificar las álgebras de Jordan simples de dimensión infinita. Son del tipo hermitiano (procedente del cambio de producto de las álgebras de involución asociativas), o del tipo Clifford (procedente de las álgebras de Clifford ), o son álgebras de Albert (en) . En particular, las únicas álgebras de Jordan simples excepcionales son las álgebras de Albert de 27 dimensiones.

Usar en optimización

El álgebra de Jordan se utiliza para proporcionar un marco general para los algoritmos de puntos interiores en la optimización cónica . Por ejemplo, en la optimización de SDP , se escriben las condiciones de complementariedad , donde y son matrices simétricas semidefinidas positivas, es su producto de matriz y el producto de Jordan se usa para simetrizar estas condiciones de complementariedad. $xy = 0$ $X$ $y$ $xy$

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Álgebra de Jordania ” ( ver la lista de autores ) .

Notas

Jacobson 1968 , p. 35-36, en particular la observación antes de (56) y el teorema 8.
(de) Pascual Jordan , “ Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik ” , Nachr.Ges. Wiss. Gotinga ,1933, p. 209-214.
(en) Abraham Adrian Albert , " Sobre las álgebras de Jordan de transformaciones lineales " , Trans. AMS , vol. 59,1946, p. 524-555.
Algunos autores, siguiendo a Jordan, hablan de "cuasi-multiplicación", ver McCrimmon 2004 , p. 4.
(de) Pascual Jordan , “ Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik ” , Nachr.Ges. Wiss. Gotinga ,1933, p. 209-214Véase también (en) Pascual Jordan , John von Neumann y Eugene Wigner , " Sobre la generalización algebraica del formalismo mecánico cuántico " , Annals of Mathematics , 2 serie E , vol. 36,1935, p. 29-64.
Jordan define { x , y , z } como ( xy ). z - x . ( yz ). El cuasi-producto sería asociativo si { x , y , z } fuera cero para todo x , y , z , mientras que solo verifica la identidad de Jordan, es decir, { x , y , x 2 } = 0, para todo x , y , véase (de) Pascual Jordan , “ Über die Multiplikation quantenmechanischer Grössen ” , Zeitschrift für Physik , vol. 80,1933, p. 285-291, p. 288 .
McCrimmon , 2004 , p. 39-50.
.
Jordan, von Neumann y Wigner 1935 , p. 30.
Algunos de estos se explican en la Parte I, "Un estudio histórico de la teoría de la estructura de Jordan", de McCrimmon 2004 , p. 337-128, que abarca el período de 1933 a la década de 1980.
IG MacDonald , " Álgebras de Jordan con tres generadores " , Proc. LMS , 3 rd series, vol. 10,1960, p. 395-408.
(in) F. Alizadeh, "Una introducción a las álgebras de Jordan formalmente reales y sus aplicaciones en la optimización", y JB Lasserre Anjos MF (eds), Manual de optimización semidefinita, cónica y polinomial , Serie internacional en investigación de operaciones y ciencia de gestión 166 , Springer, 2012.

Referencias

(en) Cho-Ho Chu , Jordan Structures in Geometry and Analysis , Cambridge, Cambridge University Press,2012, 261 p. ( ISBN 978-1-107-01617-0 )
(en) Jacques Faraut y A. Korányi , Analysis on Symmetric Cones , Oxford, Clarendon Press,1994.
(en) Nathan Jacobson , Estructura y representaciones de álgebras de Jordan , Providence, RI, AMS , coll. "AMS Coloquio Publicaciones" ( n o XXXIX)1968.
(en) M. Koecher , The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications , Berlín, Springer-Verlag, coll. "Lecture Notes in Mathematics" ( n o 1710),1999.
(en) Kevin McCrimmon , A Taste for Jordan álgebras , NewYork, Springer, coll. "Universitext",2004, 563 p. ( ISBN 978-0-387-95447-9 ).

Ver también

Teorema de Koecher-Vinberg