Ecuación quíntica

Ecuación de quinto grado

En matemáticas , una ecuación quíntica es una ecuación polinomial en la que el mayor exponente de la incógnita es 5. Tiene la forma general:

donde una , b , c , d , e y f pertenecen a un campo conmutativa (generalmente racionales , reales o complejos ), y una es distinta de cero.

La funcion

es una función quíntica .

Debido a que tienen un grado impar, las funciones quínticas normales parecen similares a las funciones cúbicas normales cuando se grafican, excepto en el número de máximos y mínimos locales . La derivada de una función quíntica es una función cuártica .

Encontrar las raíces de una ecuación quíntica

Encontrar las raíces de un polinomio dado con coeficientes racionales ha sido un problema importante en matemáticas.

Resolver ecuaciones lineales , cuadráticas , cúbicas y cuarticas mediante la factorización por radicales es relativamente sencillo cuando las raíces son racionales y reales; también existen fórmulas que aportan las soluciones deseadas. Por otro lado, no existe una fórmula para ecuaciones quínticas generales sobre números racionales en términos de radicales; esto fue demostrado por primera vez por el teorema de Abel-Ruffini descubierto por Paolo Ruffini y Niels Henrik Abel . Publicado en 1824, fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en álgebra . Este resultado también es válido para las ecuaciones de grados superiores. Esto es bastante sorprendente; incluso si hay raíces , no hay expresión algebraica finita de +, -, ×, / y . √ . que puede producirlos a partir de los coeficientes de todas las quínticas.

Algunas ecuaciones de grado 5 se pueden resolver mediante factorización radical, por ejemplo:

que se puede escribir como

Otras quínticas, como

no se puede factorizar y resolver fácilmente de esta manera.

Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada puede resolverse mediante radicales, lo que fundó la teoría de Galois . Utilizando la teoría de Galois, John Stuart Glashan , George Paxton Young y Carl Runge demostraron en 1885 que una quíntica irreducible en la forma de Bring - Jerrard ,

tiene solución si y solo si a = 0 o si la ecuación tiene la siguiente forma:

donde μ y ν son racionales. En 1994, Blair Spearman y Kenneth S. Williams dieron la otra forma:

con ε = ± 1 . Dado que con el uso juicioso de la transformación de Tschirnhaus , es posible transformar cualquier quintica en una forma de Bring-Jerrard, esto da una condición necesaria y suficiente en cualquier quintic para que pueda resolverse por radicales. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 se puede ver definiendo la expresión

o

y usando el caso negativo de la raíz cuadrada, esto proporciona, después de ajustar las variables, la primera parametrización mientras que el caso positivo da la segunda. Entonces es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica soluble irreductible

con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple

para algunos racionales a , y .

Resolver por funciones elípticas

Dado que la mayoría de las ecuaciones quínticas no se pueden resolver por radicales, en otras palabras, expresando las soluciones usando funciones raíz y polinomial de los coeficientes de la ecuación, los matemáticos han buscado expresar las raíces usando otras funciones.

Alrededor de 1835, Jerrard demostró que las quínticas se pueden resolver usando ultrarradicales (también conocidos como radicales Bring ), las raíces reales de t 5 + t - a para los números reales a .

En 1858, Charles Hermite demostró que el radical Bring podía caracterizarse en términos de funciones theta de Jacobi y funciones modulares elípticas asociadas, utilizando un enfoque similar al enfoque familiar de resolver ecuaciones cúbicas mediante informes de funciones trigonométricas . Leopold Kronecker , utilizando la teoría de grupos , desarrolló una forma más simple derivada de los resultados de Hermite, como Francesco Brioschi . Posteriormente, Felix Klein intervino con un método particularmente elegante que relaciona las simetrías del icosaedro , la teoría de Galois y las funciones elípticas modulares que intervienen en la solución de Hermite, dando una explicación del motivo de su aparición, y desarrolló su propia solución en términos de funciones hipergeométricas generalizadas.

Los métodos numéricos como el método de Newton con prueba y error dan resultados muy rápidamente si solo se buscan valores aproximados de las raíces, o si se sabe que las soluciones incluyen solo expresiones simples (como las de los exámenes). También se pueden utilizar otros métodos, como el método de Laguerre o el de Jenkins-Traub  (en), para encontrar raíces de ecuaciones quínticas numéricamente más fiables.

Referencias

Ver también

Artículos relacionados

enlaces externos