Método Laguerre
En análisis numérico , el método de Laguerre es un algoritmo para encontrar un cero de una función polinomial . En otras palabras, se puede usar para encontrar un valor aproximado de una solución de una ecuación de la forma p ( x ) = 0, donde p es un polinomio dado.
Principio
Sea p un polinomio. Sea x 0 un valor real que se supone es un valor aproximado de una raíz de p .
El método de Laguerre intenta mejorar esta primera aproximación mediante un método iterativo utilizando la relación recurrente :
en el que el símbolo ± en el denominador se reemplaza por + o - dependiendo de cuál da un denominador con el mayor módulo posible.
Además, n denota el grado del polinomio p , S 1 y S 2 son la primera y segunda derivadas logarítmicas de p , dadas por
Propiedades
Si x es una raíz simple del polinomio p , entonces el método de Laguerre tendrá una velocidad de convergencia cúbica cuando el valor aproximado inicial x 0 esté lo suficientemente cerca de la raíz x . Sin embargo, si x es una raíz múltiple , entonces la convergencia solo será lineal.
Esto significa que el método de Laguerre converge incluso más rápido que el método de Newton . Sin embargo, el método de Laguerre requiere el cálculo de la primera y segunda derivadas de p , mientras que el método de Newton requiere solo una derivada.
El método de Laguerre también funciona para polinomios con coeficientes reales que tienen raíces complejas. Incluso si el valor aproximado inicial es real, el método proporcionará valores aproximados complejos cuando la expresión debajo de la raíz se vuelva negativa. Ésta es la gran diferencia con el método de Newton, que siempre dará soluciones reales en este caso.
Referencias
- (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ El método de Laguerre ” ( ver la lista de autores ) .
- (en) S. Goedecker, Observación sobre algoritmos para encontrar raíces de polinomios , SIAM J. Sci. Computación. 15 (5) , 1059–1063 (septiembre de 1994).
- (en) Wankere R. Mekwi (2001). Métodos iterativos para raíces de polinomios . Tesis de maestría, Universidad de Oxford.
- (en) VY Pan, Resolver una ecuación polinomial: algo de historia y progreso reciente , SIAM Rev. 39 (2) , 187–220 (junio de 1997).