j -invariante

La j -invariante , a veces llamada función j , es una función introducida por Felix Klein para el estudio de curvas elípticas , que desde entonces ha encontrado aplicaciones más allá de la geometría algebraica , por ejemplo, en el estudio de funciones modulares , de la teoría de cuerpos de clase. y de la monstruosa luz de la luna .

Motivación: relación cruzada e invariante j

Trabajamos en el plano complejo proyectivo (en) . Considere cuatro puntos distintos , su relación cruzada es: ${\ mathbb C} P ^ {1}$ $a B C D$

{\ Displaystyle (a, b, c, d) = {\ frac {ac} {ad}} \ cdot {\ frac {bd} {bc}}}

Esta cantidad es invariante por homografías del plano , pero depende del orden de los cuatro números considerados.

Por ejemplo, la relación cruzada de puede valer, dependiendo del orden considerado: ${\ Displaystyle (m, 1,0, \ infty)}$

{\ Displaystyle m, 1 / m, 1-m, 1-1 / m, 1 / (1-m), m / (m-1)}

Si intentamos simetrizar esta expresión, obtenemos una cantidad que permanece invariante de las transformaciones proyectivas, pero que ya no depende del orden de los números:

{\ Displaystyle j (m) = {\ frac {4} {27}} {\ frac {(1-m + m ^ {2}) ^ {3}} {m ^ {2} (1-m) ^ {2}}}}

que llamamos la j- invariante. Esta invariancia es un primer índice del vínculo entre la invariante j y el grupo modular .

j -invariante de curvas elípticas

Deje que X sea un no singular curva elíptica sobre , de forma Weierstrass : ${\ mathbb C} P ^ {1}$

{\ Displaystyle X: y ^ {2} = x ^ {3} + q_ {2} x + q_ {3}}

teniendo por discriminante . ${\ Displaystyle \ Delta = -4q_ {2} ^ {3} -27q_ {3} ^ {2} \ neq 0}$

La invariante j asociada es

{\ displaystyle j = 1728 {\ frac {-4q_ {2} ^ {3}} {\ Delta}}}

El j -invariante es un mapa sobreyectivo, que da una biyección entre las clases de isomorfismos de curvas elípticas en el plano complejo y números complejos.

La noción de j -invariante se generaliza a curvas trigonales .

Referencias

( fr ) John Horton Conway y Simon Norton , " Monstrous moonshine " , Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 11, n o 3,1979, p. 308–339 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.308 , revisiones de matemáticas 0554399 )
(it) Felix Klein , “ Sull 'equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. » , Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser , vol. 10, n o 21877
(de) Felix Klein , “ Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades ” , Matemáticas. Ana. , vol. 14, 1878-1879, pág. 111-172
(en) Andrew Ogg , “Modular Functions”, en The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979 , Amer. Matemáticas. Soc.,1980, p. 521-532
(es) Tito Piezas III y Eric Weisstein. Función j , MathWorld