Ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una ecuación formulada por Paul Dirac en 1928 como parte de su mecánica cuántica relativista del electrón . Inicialmente es un intento de incorporar la relatividad especial en modelos cuánticos , con escritura lineal entre masa y momento .

Explicación

Esta ecuación describe el comportamiento de partículas elementales de espines semicompletos , como los electrones. Dirac buscó transformar la ecuación de Schrödinger para hacerla invariable por la acción del grupo de Lorentz , es decir, compatibilizarla con los principios de la relatividad especial .

Esta ecuación tiene en cuenta de forma natural la noción de espín introducida poco antes y permitió predecir la existencia de antipartículas . En efecto, además de la solución correspondiente al electrón, descubre una nueva solución correspondiente a una partícula de carga y otros números cuánticos opuestos al del electrón. En 1932, Carl David Anderson , mientras estudiaba la radiación cósmica (no relacionada con el trabajo de Dirac), observó, con una cámara de niebla , una partícula con una carga opuesta a la del electrón y con una masa mucho menor que la del protón (la única partícula cargada positivamente conocida en ese momento). Esta partícula más tarde resultó ser la conjeturada por Dirac, el positrón .

También es notable que el operador de Dirac, descubierto por razones absolutamente físicas (y teóricas), tiene un uso indispensable en matemáticas en el teorema del índice demostrado en 1963.

Formulación matemática

La ecuación real:

i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} ({\ mathbf {x}}, t) = \ left (mc ^ {2} \ alpha _ {0} -i \ hbar c \ suma _ {{j = 1}} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} \, \ derecha) \ psi ({\ mathbf {x}} , t)

donde m es la masa de la partícula, c la velocidad de la luz , la reducción constante de Planck , x y t las coordenadas en el espacio y tiempo , y ψ ( x , t ) una de cuatro función de onda componentes. (La función de onda debe ser formulada por un espinor de cuatro componentes, en lugar de un simple campo escalar , debido a los requisitos de la relatividad especial ). Finalmente son matrices de dimensiones que actúan sobre el espinor y se denominan matrices de Dirac . En función de las matrices de Pauli , podemos escribir las matrices de Dirac, en la representación de Dirac (otras son posibles, como la representación de Weyl o la representación de Majorana ), en la forma $\ hbar$ $\ alpha _ {j}, \ j = 0,1,2,3$ $4 \ por 4$ $\ psi \,$ ${\ vec \ sigma}$

${\ begin {matrix} \ alpha _ {0} = \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {matrix}} \ right) &, & {\ vec \ alpha} = \ left ({\ begin {matrix} 0 & {\ vec \ sigma} \\ {\ vec \ sigma} & 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {matrix}}$

Es común en mecánica cuántica considerar el operador de momento y en este caso la ecuación de Dirac se reescribe de manera condensada. ${\ vec p} \ equiv -i \ hbar {\ vec \ nabla} \,$

$i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} ({\ mathbf {p}}, t) = \ left (mc ^ {2} \ alpha _ {0} + c {\ vec \ alpha}. {\ vec p} \, \ right) \ psi ({\ mathbf {p}}, t)$

Además, es natural buscar una formulación covariante, lo que hacemos estableciendo y ( métrica (+ ---)), en cuyo caso tenemos (adoptando las convenciones y ) una notación aún más compacta: $\ gamma ^ {0} = \ gamma _ {0} = \ alpha _ {0}$ $\ gamma ^ {i} = - \ gamma _ {i} = \ alpha _ {0} \ alpha _ {i}$ $c = 1$ $\ hbar = 1$

$\ left (\ not \! pm \ right) \ psi ({\ mathbf {p}}, t) = 0$

donde adoptamos la notación de Feynman . $\ no \! a = \ gamma _ {\ mu} a ^ {\ mu}$

Notas y referencias

Jean-Eudes Augustin , “Électron” , en Encyclopædia Universalis , vol. 8: Egipto - Etruscos , París, Encyclopædia Universalis,2008, p. 118.
Etienne Klein , Siete veces la revolución , Flammarion,2016( ISBN 978-2-0813-7559-8 ) , pág. 114-115

Ver también

Bibliografía

Libros de referencia

Albert Messiah , Mecánica Cuántica [ detalle de las ediciones ]
James Bjorken y Sidney Drell, Mecánica cuántica relativista , McGraw-Hill (1964) ( ISBN 0-07-005493-2 ) .
Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1985) ( ISBN 0-521-33859-X ) .
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Biblioteca virtual

Alain Comtet, Équation de Dirac (2004) [ leer en línea ] [PDF] .
JY Ollitrault, la mecánica cuántica relativista , la DEA Campos, partículas, la materia y la física Interuniversitario Magisterio 2 º año (1998-1999) [ leer on-line ] [PDF] .

Enlace externo

(en) Entrada en la enciclopedia Wolfram sobre la ecuación de Dirac .