Matriz de Dirac

Las matrices de Dirac son matrices que fueron introducidas por Paul Dirac , durante la investigación de una ecuación de onda relativista del electrón .

Interesar

La contraparte relativista de la ecuación de Schrödinger es la ecuación de Klein-Gordon . Esto describe partículas de espín 0 y no es adecuado para electrones que son de espín 1/2. Dirac luego trató de encontrar una ecuación lineal como la de Schrödinger en la forma:

{\ Displaystyle i {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} = \ left ({\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ alpha} \ cdot \ nabla + \ beta m \ right) \ psi \ equiv H \ psi}

donde es una función de onda vectorial , la masa de la partícula, el hamiltoniano y son, respectivamente, un vector de matrices herméticas y una matriz hermítica . La ecuación de Dirac debe respetar las siguientes tres restricciones: $\ psi$ $metro$ $H$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ alpha}, \ beta}$

Los componentes de deben satisfacer la ecuación de Klein-Gordon, una onda plana cuya solución es: $\ psi$ ${\ Displaystyle E ^ {2} = \ mathbf {p} ^ {2} + m ^ {2}}$ ;
Existe un cuadrivector de densidad de corriente que se conserva y cuya componente temporal es una densidad positiva (identificada con la carga eléctrica);
Los componentes de no deben satisfacer ninguna condición auxiliar, es decir que en un momento dado son funciones independientes de . $\ psi$ $X$

Matrices de Dirac

Dirac propuso que las matrices herméticas sean anticommutantes y cuadradas iguales a uno. Es decir, obedecen el siguiente álgebra :

{\ Displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {k} \ right \} = 0 \ ,, \ qquad i \ neq k}

{\ Displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ beta \ right \} = 0}

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I}

donde los corchetes son el anti-interruptor y la matriz de identidad. ${\ Displaystyle \ left \ {A, B \ right \} = AB + BA}$ $I$

Al elevar al cuadrado la ecuación de Dirac, verificamos inmediatamente que se cumple la primera condición. Luego presentamos las matrices de Dirac propiamente dichas: ${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$

{\ Displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta}

{\ Displaystyle \ gamma ^ {i} = \ beta \ alpha ^ {i} \ ,, \ qquad i = 1,2,3}

{\ Displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = 2g ^ {\ mu \ nu} I \ ,, \ qquad \ mu, \ nu = 0.1, 2 , 3}

donde está la métrica de Minkowski. ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}$

El tajo Feynman

También presentamos la " barra " de Feynman :

{\ Displaystyle \ not \! a = \ gamma ^ {\ mu} a _ {\ mu}}

La ecuación de Dirac toma la forma:

{\ Displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} -m \ right) \ psi \ equiv \ left (i \ not \! \ partial -m \ right) \ psi = 0}

Una representación explícita, llamada "representación estándar", viene dada por:

{\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ gamma ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\ - \ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ beta = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ alpha ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\\ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

donde es la matriz unitaria de 2 × 2 y son las matrices de Pauli . $I$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {i}}$

Esta representación es particularmente práctica porque resalta el carácter de espinor (debido al espín medio entero) de la función de onda del electrón y separa los componentes de energía positiva y negativa. Entonces, al escribir la función de onda como un bispinor :

{\ Displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ phi \\\ chi \ end {pmatrix}}}

donde y son dos espinores , la ecuación de Dirac se convierte en: $\ phi$ $\ chi$

{\ Displaystyle i {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}} = m \ phi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ chi}

{\ Displaystyle yo {\ frac {\ parcial \ chi} {\ parcial t}} = - m \ chi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ phi}

Introduciendo la función de onda conjugada como:

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}

Encontramos :

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ left (i {\ overleftarrow {\ not \! \ partial}} + m \ right) = 0}

Y con la ecuación de Dirac, esto da:

{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ left ({\ overleftarrow {\ not \! \ partial}} + {\ overrightarrow {\ not \! \ partial}} \ right) \ psi \ equiv \ partial _ { \ mu} \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) = 0}

Lo que da una corriente conservada:

{\ Displaystyle j ^ {\ mu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}

Cuyo componente temporal es positivo. ${\ Displaystyle j ^ {0} = \ rho = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ dagger} \ psi}$

También definimos la matriz:

{\ Displaystyle \ \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}

El uso de así permite construir diferentes tipos de combinaciones tales como: ${\ Displaystyle \ gamma ^ {5}}$

de vectores : ; ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$
de pseudovecteurs : ; ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$
de escalares : ; ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi}$
de pseudoescalar : . ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ psi}$

Verificamos fácilmente la covarianza relativista de todo este formalismo.

Las huellas

Para el cálculo de las secciones transversales en física de partículas, a menudo es útil tener estos pocos resultados en las trazas de estas matrices:

${\ Displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 4g ^ {\ alpha \ beta}}$ ;
${\ Displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu}] = 4 (g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alpha \ mu} g ^ {\ beta \ nu} + g ^ {\ alpha \ nu} g ^ {\ beta \ mu})}$ ;
${\ Displaystyle Tr [\ gamma ^ {5}] = 0}$ ;
${\ Displaystyle Tr [\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 0}$ ;
${\ Displaystyle Tr [}$ de un número impar de . ${\ Displaystyle \ gamma] = 0}$

Representaciones

Las matrices de Dirac están totalmente determinadas por la relación:

{\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} .I_ {4}}

donde está el tensor de Minkowski . También tenemos . ${\ Displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} = 4}$

Hay un número infinito de posibles soluciones a la relación anterior. Para matrices de 4 × 4, el conjunto de soluciones es un álgebra de 4 dimensiones, un álgebra de Clifford anotada y las cuatro matrices de Dirac forman una base. Según la base elegida, las matrices de Dirac tienen coeficientes diferentes, y esta elección se denomina representación de las matrices de Dirac . ${\ Displaystyle \, \ mathbb {C} -}$ ${\ Displaystyle \, Cl_ {1,3} \ mathbb {C} \,}$

Representación de Dirac

Ésta es la "representación estándar". Lo obtenemos de la representación de Weyl gracias al operador unitario U:

{\ Displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

A continuación, se escriben las matrices : ${\ Displaystyle \ gamma _ {D} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {W} ^ {\ mu} U ^ {\ dagger}}$

{\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ gamma _ {D} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

Representación de Weyl

Representación que aparece "naturalmente" cuando se busca derivar la ecuación de Dirac utilizando las representaciones irreductibles del grupo de Lorentz . En esta base, las matrices tienen la siguiente forma: ${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$

{\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ gamma _ {W} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & I \ end {pmatrix}}}

Representación de Majorana

La representación de Majorana se obtiene a partir de la "representación estándar" utilizando la siguiente matriz unitaria U:

{\ Displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ gamma _ {D} ^ {0} \ gamma _ {D} ^ {2} + \ gamma _ {D} ^ {0 })}

Esta representación tiene la interesante propiedad de que todas las matrices son puramente imaginarias, lo que hace que los cálculos sean convenientes al considerar el operador de conjugación de carga. ${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$

Representación quiral

{\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & -I \\ - I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {\ sigma} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ gamma} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {\ sigma} \\ - \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

Su ventaja es que los dos espinores se transforman independientemente bajo rotaciones y traslaciones . Es particularmente útil para partículas sin masa, ya que las ecuaciones se simplifican considerablemente. Se utilizó para el neutrino, aunque las oscilaciones de los neutrinos muestran que su masa no es cero.

Notas y referencias

W. Pauli (1936), “Contribuciones matemáticas a la teoría de matrices de Dirac”, en Annales de l'Institut Henri Poincaré (Vol. 6, No. 2, pp. 109-136). Imprentas universitarias de Francia.
Esta definición corresponde a la encontrada, por ejemplo, en el libro de Edgard Elbaz Quantique (elipses, 1995), otra definición, que sólo se diferencia por la adición de un signo -, está presente en Lev Landau y Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 4: Electrodinámica cuántica [ detalle de ediciones ], Párrafo 22.

Ver también

Enlace externo

Bibliografía

Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t. 4: Electrodinámica cuántica [ detalle de ediciones ]
Choquet-Bruhat, Y. (1982). Solución global de las ecuaciones de Maxwell-Dirac-Klein-Gordon . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31 (2), 267-288 ( resumen ).
(en) Itzykson, C. y Zuber, JB (2005). Teoría cuántica de campos . Publicaciones de Courier Dover .
Lochak, G. (2003). Ecuación de Dirac sobre el cono de luz. Electrones de Majorana y monopolos magnéticos [PDF] . En Annales de la Fondation Louis de Broglie (Vol. 28, No. 3-4, p. 403). Fundación Louis de Broglie.
McLenaghan, RG y Spindel, P. (1979). Primeras integrales de las ecuaciones de Dirac en el espacio curvo . Toro. Soc. Matemáticas. Belg, 31, 30.
(en) Mandl, F. y Shaw, G. (2010). Teoría cuántica de campos . John Wiley e hijos .
Meessen, A. (1970). Cuantificación del espacio-tiempo y generalización de la ecuación de Dirac . Ana. Soc. Sci. Bruselas, 84,267-275.
Nelipa, N.Física de partículas elementales
Pauli, W. (1936) “Contribuciones matemáticas a la teoría matricial de Dirac”. En Anales del Instituto Henri Poincaré (Vol. 6, No. 2, págs. 109-136). Imprentas universitarias de Francia.
Proca, A. (1930). “Sobre la ecuación de Dirac” [PDF] . J. Phys. Radio , 1 (7), 235-248.
Sambou D (2012) Resonancias cerca de los umbrales de los operadores magnéticos de Pauli y Dirac [PDF] . preimpresión de arXiv arXiv: 1201.6552.
(en) Zinn-Justin, J. (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos (No. SACLAY-SPHT-T-2002-001).