Variación total (matemáticas)

En matemáticas , la variación total puede referirse a varios conceptos ligeramente diferentes, relacionados con la estructura (local o global) del codominio de una función o medida . Para una función continua con valores reales f , definida en un intervalo [ a , b ] ⊂ ℝ, su variación total sobre el intervalo de definición es una medida de la longitud del arco de la curva de la ecuación x ↦ f ( x ), para x ∈ [ a , b ].

Nota histórica

La idea de variación total para las funciones de una variable real fue introducida por primera vez por Camille Jordan , con el fin de demostrar un teorema de convergencia para las series de Fourier de funciones discontinuas periódicas con variación acotada. La extensión del concepto a funciones de varias variables no es tan simple.

Definiciones

Funciones de una variable real

La variación total de una función de una variable real (o compleja) f , definida sobre un intervalo está dada por: ${\ Displaystyle [a, b] \ subconjunto \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = \ sup _ {\ mathcal {P}} \ sum _ {i = 0} ^ {n_ {P} -1} | f (x_ {i + 1 }) - f (x_ {i}) |, \,}

donde el supremo es válido en el conjunto de particiones del intervalo dado. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ left \ {P = \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n_ {P}} \} | P {\ text {es una partición de}} [a , brillante \}}$

Funciones de varias variables reales

Sea Ω un subconjunto abierto de ℝ n . Para una función f en L 1 (Ω), la variación total de f sobre Ω está definida por:

{\ Displaystyle V (f, \ Omega): = \ sup \ left \ {\ int _ {\ Omega} f (x) \ operatorname {div} \ phi (x) \, \ mathrm {d} x \ colon \ phi \ en C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n}), \ \ Vert \ phi \ Vert _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} \ leq 1 \ derecho \},}

donde es el conjunto de funciones con valores vectoriales continuamente diferenciables con soporte compacto contenido en Ω, y es la norma relacionada con el límite superior esencial. Tenga en cuenta que aquí no es útil tener un dominio limitado. ${\ Displaystyle C_ {c} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ Displaystyle \ Green \; \ Green _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)}}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$

Medidas

Medida firmada: definición clásica

Considere una medida con signo $μ$ sobre un espacio medible . Definimos dos funciones y en , denominadas respectivamente variación superior y variación inferior de $μ$ , de la siguiente manera: ${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {W}}} (\ mu, \ cdot)}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathrm {W}}} (\ mu, \ cdot)}$ $\ Sigma$

{\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {W}}} (\ mu, E): = \ sup \ left \ {\ mu (A) \ mid A \ in \ Sigma {\ text {y}} A \ subconjunto E \ right \} \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

{\ Displaystyle {\ underline {\ mathrm {W}}} (\ mu, E): = \ inf \ left \ {\ mu (A) \ mid A \ in \ Sigma {\ text {y}} A \ subconjunto E \ right \} \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

Entonces

{\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {W}}} (\ mu, E) \ geq 0 \ geq {\ underline {\ mathrm {W}}} (\ mu, E) \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

La variación (o incluso la variación absoluta ) de la medida con signo $μ$ , anotada $| μ |$ , se define entonces de la siguiente manera

{\ Displaystyle | \ mu | (E): = {\ overline {\ mathrm {W}}} (\ mu, E) + \ left | {\ underline {\ mathrm {W}}} (\ mu, E) \ right | \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

Podemos mostrar que la variación de $μ$ es una medida (positiva) en . La variación total de $μ$ , denotada por $|| μ ||$ , denota la masa total que la variación toma sobre todo el conjunto de definición X , es decir: ${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$

{\ Displaystyle \ | \ mu \ |: = | \ mu | (X)}

Por abuso de lenguaje la variación $| μ |$ a veces también se denomina una medida de cambio total .

Medida firmada: definición moderna

Si escribimos la descomposición de Jordan de la medida con signo $μ$ :

{\ Displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-} \,}

donde y son ambas medidas positivas, entonces tenemos la siguiente definición alternativa de la variación $| μ |$ : ${\ Displaystyle \ mu ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ mu ^ {-}}$

{\ Displaystyle | \ mu | = \ mu ^ {+} + \ mu ^ {-} \,}

.Medidas complejas

Si la medida $μ$ tiene un valor complejo, las variaciones superior e inferior no se pueden definir y la descomposición de Hahn-Jordan solo se puede aplicar a las partes reales e imaginarias. Sin embargo, es posible definir la variación total de una medida compleja:

La variación de una medición con valores complejos μ es la función configurada

{\ Displaystyle | \ mu | (E) = \ sup _ {\ pi} \ sum _ {A \ in \ pi} | \ mu (A) | \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

donde el supremo se toma para todas las particiones π de un espacio medible E en un número finito de subconjuntos medibles disjuntos.

Volviendo a una variable real, encontramos la definición vista anteriormente. ${\ Displaystyle | \ mu | = \ mu ^ {+} + \ mu ^ {-} \,}$

Medidas vectoriales

La variación, tal como se definirá aquí, es positiva y coincide con aquella donde μ es una medida con signo: su variación total ya ha sido definida. Se puede extender a funciones de valores vectoriales:

{\ Displaystyle | \ mu | (E) = \ sup _ {\ pi} \ sum _ {A \ in \ pi} \ | \ mu (A) \ | \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

La definición dada aquí amplía la dada por Rudin, en el sentido de que solo requiere particiones finitas del espacio X : esto implica que puede usarse para variaciones totales de medidas de suma finita.

Propiedades

Variación total de funciones diferenciables

La variación total de una función diferenciable puede estar dada por una integral que depende de la función en lugar del límite superior de los funcionales como se vio antes.

Variación total de una función de una variable derivable real

La variación total de una función derivable f , definida en un intervalo real [ a , b ], se puede expresar como si su derivada f 'fuera integrable de Riemann

{\ Displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = \ int _ {a} ^ {b} | f '(x) | \ mathrm {d} x}

Variación total de una función de varias variables reales diferenciables

Sea f una función f definida y diferenciable sobre un conjunto abierto acotado , la variación total de f viene dada por ${\ Displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ Displaystyle V (f, \ Omega) = \ int \ limits _ {\ Omega} \ left | \ nabla f (x) \ right | \ mathrm {d} x}

donde denota la norma l 2 . ${\ Displaystyle |. |}$

Demostración

Comenzamos probando una igualdad que proviene del teorema de Green-Ostrogradsky .

Bajo las condiciones del teorema, tenemos:

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} f \, \ mathrm {div} \ phi = - \ int _ {\ Omega} \ nabla f \ cdot \ phi}

De hecho, según el teorema de Green-Ostrogradsky

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ text {div}} \ mathbf {F} = \ int _ {\ parcial \ Omega} \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {n}}

tomando , viene: ${\ Displaystyle \ mathbf {F}: = f \ mathbf {\ phi}}$

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ text {div}} \ left (f \ mathbf {\ phi} \ right) = \ int _ {\ partial \ Omega} \ left (f \ mathbf {\ phi} \ derecha) \ cdot \ mathbf {n}}

donde es cero en el borde de Ω por definición: ${\ Displaystyle \ mathbf {\ phi}}$

{\ Displaystyle 0 = \ int _ {\ Omega} {\ text {div}} \ left (f \ mathbf {\ phi} \ right) = \ int _ {\ Omega} \ parcial _ {x_ {i}} \ izquierda (f \ mathbf {\ phi} _ {i} \ right) = \ int _ {\ Omega} (\ mathbf {\ phi} _ {i} \ parcial _ {x_ {i}} f + f \ parcial _ {x_ {i}} \ mathbf {\ phi} _ {i}) \, \ Flecha izquierda \, \ int _ {\ Omega} f \ parcial _ {x_ {i}} \ mathbf {\ phi} _ {i} = - \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} _ {i} \ parcial _ {x_ {i}} f \, \ Leftrightarrow \, \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ mathbf {\ phi} = - \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} \ cdot \ nabla f}

Así, se verifica la siguiente igualdad:

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ mathbf {\ phi} = - \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} \ cdot \ nabla f \ leq \ left | \ int _ {\ Omega} \ mathbf {\ phi} \ cdot \ nabla f \ right | \ leq \ int _ {\ Omega} \ left | \ mathbf {\ phi} \ right | \ cdot \ left | \ nabla f \ derecha | \ leq \ int _ {\ Omega} \ izquierda | \ nabla f \ derecha |}

En el último término, se puede descartar, porque por definición, su límite superior esencial es como máximo 1. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ phi}}$

Ahora considere cuándo y si no. Para , a continuación, dejar que sea una aproximación de a cerca de y la misma integral. Esta aproximación es posible porque es densa en L 1 . Ahora, reemplazando en la igualdad del lema anterior: ${\ Displaystyle \ theta (x): = {\ frac {\ nabla f (x)} {\ left | \ nabla f (x) \ right |}}}$ ${\ Displaystyle | \ nabla f (x) | \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ theta (x) = 0}$ $\ varepsilon> 0$ ${\ Displaystyle \ theta _ {\ varepsilon} ^ {*}}$ $\ theta$ $\ varepsilon$ ${\ Displaystyle C_ {c} ^ {1} (\ Omega; \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ Displaystyle C_ {c} ^ {1}}$

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ theta _ {\ varepsilon} ^ {*} = \ lim \ limits _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int _ {\ Omega} \ mathbb {\ theta} _ {\ varepsilon} ^ {*} \ cdot \ nabla f = \ int _ {\ Omega} \ theta \ cdot \ nabla f = \ int _ {\ Omega} \ left | \ nabla f \ right |}

Tenemos así una secuencia convergente de la que tiende hacia donde teníamos , lo que permite concluir. ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ mathbf {\ phi}}$ ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ left | \ nabla f \ right |}$ ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} f {\ text {div}} \ mathbf {\ phi} \ leq \ int _ {\ Omega} \ left | \ nabla f \ right |}$

Decimos que f tiene una variación acotada si su variación total es finita.

Variación total de una medida

La variación total es una norma definida sobre el espacio de medidas de variación acotada. Este espacio en un conjunto σ-álgebra es un espacio de Banach , llamado espacio ca , dotado de su norma. Está contenido en un espacio de Banach más grande, llamado espacio ba , formado por medidas de suma finita (en oposición a suma contable), con la misma norma. La función de distancia asociada al estándar permite dar la variación total de la distancia entre dos medidas μ y ν .

Para mediciones finitas en ℝ, el vínculo entre la variación total de una medición μ y la de una función, como se describió anteriormente, es el siguiente. Con μ , establecemos una función φ : ℝ → ℝ tal que

{\ Displaystyle \ varphi (t) = \ mu ((- \ infty, t]) ~.}

Entonces, la variación total de una medida con signo μ es igual a la variación total de φ . En general, la variación total de una medida con signo se puede definir gracias al teorema de descomposición de Jordan con

{\ Displaystyle \ | \ mu \ | _ {TV} = \ mu _ {+} (X) + \ mu _ {-} (X) ~,}

para cualquier medida con signo μ en el espacio medible ( X , Σ).

Aplicaciones

La variación total puede verse como una funcional positiva de una variable real (para el caso de una sola variable) o en el espacio de funciones integrables (para el caso de varias variables). Como función, la variación total encuentra varias aplicaciones en matemáticas e ingeniería, como el control óptimo , el análisis numérico o el cálculo variacional , donde la solución a un problema debe tener una variación total mínima. Podemos citar dos tipos de problemas comunes:

análisis numérico de ecuaciones diferenciales : encontrar soluciones aproximadas de una ecuación diferencial .
eliminación de ruido de una imagen : en el procesamiento de imágenes , la eliminación de ruido consiste en reducir el ruido electrónico de una imagen reconstruida a partir de datos obtenidos electrónicamente, mediante transmisión o captura de datos .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Variación total " ( consulte la lista de autores ) .

( Jordan 1881 ), según ( Golubov y Vitushkin 2002 ).
( Saks 1937 , p. 10)
( Rudin 1966 )
( Rudin 1966 , p. 139)
( Rudin 1966 , p. 138)

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(en) Boris I. Golubov , “Fréchet variación” , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(en) Boris I. Golubov , "Variación resistente" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(en) Boris I. Golubov , “Pierpont variación” , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(en) Boris I. Golubov , “Vitali variación” , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(en) Boris I. Golubov , "Tonelli plane variación" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
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Camille Jordan , " Sobre la serie de Fourier ", Informes semanales de las sesiones de la Académie des sciences , vol. 92,1881, p. 228–230 ( leer en línea )
(de) Hans Hahn, Theorie der reellen Funktionen , Berlín, Springer Verlag ,1921, VII + 600 p. ( leer en línea [ archivo de31 de diciembre de 2008] ).
(it) Giuseppe Vitali, “ Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (Sobre grupos de puntos y funciones de variables reales) ” , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino , vol. 43,1908, p. 75–92 ( lea en línea [ archivo de31 de marzo de 2009] ).
C. Raymond Adams y James A. Clarkson, " Sobre las definiciones de variación acotada para funciones de dos variables ", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 35,1933, p. 824–854 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1933-1501718-2 , Math Reviews 1501718 , zbMATH 0008.00602 , leer en línea ).
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Stanislaw Saks, " Teoría de lo integral ", Monografías matemáticas , Varsovia - Lwów , GE Stechert & Co., Monografie Matematyczne , vol. 7,1937, p. VI + 347 ( Math Reviews 1556778 , zbMATH 0017.30004 , leer en línea ).
Walter Rudin, Análisis real y complejo , Nueva York, McGraw-Hill ,1966, 1 st ed. , xi + 412 pág. ( Revisiones de matemáticas 210528 , zbMATH 0142.01701 ).

enlaces externos

(en) Función de variación acotada en la Enciclopedia de Matemáticas
( fr ) Eric W. Weisstein , " Variación total " , en MathWorld .
( fr ) Eric W. Weisstein , " Descomposición de Jordan " , en MathWorld .
Descomposición de Jordan en la Enciclopedia de las matemáticas

Aplicaciones

Vincent Caselles, Antonin Chambolle y Matteo Novaga, “ El conjunto de soluciones de discontinuidad del problema de eliminación de ruido de la TV y algunas extensiones ”, Modelado y Simulación Multiescala , SIAM , vol. 6, n o 3,2007( leer en línea ) (aplicación de la variación total en la eliminación de ruido para el procesamiento de imágenes).

Leonid I. Rudin, Stanley Osher y Emad Fatemi, " Algoritmos de eliminación de ruido basados en la variación total no lineal ", Physica D: Fenómenos no lineales , n o 60.1,1992, p. 259-268 ( leer en línea ).

Peter Blomgren y Tony F. Chan, " TV en color: métodos de variación total para la restauración de imágenes con valores vectoriales ", Procesamiento de imágenes, IEEE Transactions , vol. 7, n o 3,1998, p. 304-309 ( leer en línea ).

Tony F. Chan y Jackie (Jianhong) Shen (2005), Procesamiento y análisis de imágenes: métodos variacionales, PDE, wavelet y estocásticos , SIAM , ( ISBN 0-89871-589-X ) (con cobertura en profundidad y amplias aplicaciones de variaciones totales en el procesamiento de imágenes moderno, como lo iniciaron Rudin, Osher y Fatemi).

Variación total (matemáticas)

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