Tube (matemáticas)

En geometría , un tubo es un orientado y parametrizada superficie de , la generalización de los cilindros y toros . Sea c una curva en el espacio y . El tubo de radio r alrededor de c es la superficie barrida por un círculo de radio r dibujado en el plano normal a c . Estrictamente hablando, un tubo no es una superficie sumergida. La parametrización definida a continuación es una incrustación solo para valores pequeños de r . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ $r> 0$

Configuración

Suponga que el arco c no tiene punto de inflexión y está parametrizado por la abscisa curvilínea . El plano normal es el plano vectorial ortogonal al vector velocidad , es decir, el plano vectorial generado por: $c (s)$ ${\ Displaystyle \ tau = c '}$

la unidad normal , el vector unitario único positivamente colineal con , ${\ Displaystyle \ nu (s)}$ ${\ Displaystyle \ tau '(s)}$
y el binormal . ${\ Displaystyle b (s) = \ tau (s) \ wedge \ nu (s)}$

El círculo euclidiano de radio r con centro dibujado en el plano normal se parametriza simplemente por: $c (s)$

{\ Displaystyle u \ mapsto c (s) + r \ cos u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Variando s , obtenemos una parametrización del tubo de radio r alrededor de c :

{\ Displaystyle X (u, s) = u \ mapsto c (s) + r \ cos u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Si la curva c tiene un radio de curvatura constantemente menor que r , la parametrización obtenida es regular. Incluso es una incrustación .

Ejemplos de

No podemos evitar citar los siguientes dos ejemplos básicos:

Si c es la parametrización de una línea afín , id es, con V un vector unitario de , entonces el tubo de radio r alrededor de c es el cilindro de radio r y el eje de simetría de la línea . Desafortunadamente, en este ejemplo, la aceleración es cero y la configuración anterior no es válida. ${\ Displaystyle c (s) = sV + c (0)}$ $R ^ {3}$ ${\ Displaystyle c (\ mathbb {R})}$
Si c es la parametrización de un círculo de radio , id es donde V y W son vectores unitarios ortogonales, el cilindro de radio r alrededor de c es un toro , de eje de simetría rotacional . Los ajustes son los siguientes: ${\ Displaystyle R> r}$ ${\ Displaystyle c (s) = P + R \ cos sV + R \ sin sW}$ ${\ Displaystyle P + R \ cdot V \ wedge W}$

{\ Displaystyle X (s, v) = P + (R \ cos sr \ cos v \ sin s) V + (R \ sin s + r \ cos v \ cos s) W + r \ sin vV \ wedge W}

Otro ejemplo es el del helicoide en círculo .

La noción de tubo no debe considerarse como una figura matemática abstracta. Es solo la representación idealizada parametrizada de muchos objetos reales, como tubos fluorescentes, neumáticos o la serpiente. Al calcular el caudal a través de una superficie, en hidráulica hablamos de un " tubo de corriente ". "

Propiedades métricas

Las propiedades métricas de los tubos se resumen en la siguiente tabla:

Propiedad métrica	Resultado
Primera forma fundamental	${\ Displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = \ left [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Formulario de área	${\ Displaystyle \ omega = rC \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v}$
Segunda forma fundamental	${\ Displaystyle \ left [- \ kappa \ cos vC + r \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Curvas principales	${\ Displaystyle - {\ frac {\ kappa} {C}} \ cos (v)}$ y $\ frac {1} {r}$

Detalles del cálculo

Se supone que la curva c está parametrizada por la longitud del arco. Para abordar las cuestiones métricas de los tubos, es importante recordar las leyes de derivación en los marcos de Frenet :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ tau '\\\ nu' \\ b '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & - \ theta \\ 0 & \ theta & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ tau \\\ nu \\ b \ end {pmatrix}}}

donde está la curvatura y es el giro . Estas leyes de derivadas intervienen directamente en el cálculo de las primeras derivadas de comparadas con los parámetros s y v , necesarios para expresar la primera forma fundamental : $\kappa$ $\ theta$ ${\ Displaystyle X (s, v)}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ X parcial} {\ parcial s}} = (1-r \ kappa \ cos v) \ tau (s) -r \ theta \ sin v \ nu (s) + r \ theta \ cos vb (s)}

;

{\ Displaystyle {\ frac {\ X parcial} {\ V parcial}} = - r \ sin v \ nu (s) + r \ cos vb (s)}

Luego preguntamos:

{\ Displaystyle C (s, v) = 1-r \ kappa (s) \ cos v}

Suponemos que esta cantidad es estrictamente positiva (es la condición para que X sea una incrustación ). La primera forma fundamental está escrita:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = {\ izquierda \ | {\ frac {\ parcial X} {\ parcial s}} \ derecha \ |} ^ {2} \ mathrm {d} s ^ { 2} +2 \ izquierda \ langle {\ frac {\ X parcial} {\ parcial s}} {\ Bigg |} {\ frac {\ parcial X} {\ parcial v}} \ derecha \ rangle \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + {\ izquierda \ | {\ frac {\ parcial X} {\ parcial v}} \ derecha \ |} ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2} = \ izquierda [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}

La forma de volumen en la superficie X se escribe:

{\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ left [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ cdot r ^ {2} - \ left [r ^ {2} \ theta \ right] ^ {2}}} \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v = rC \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v}

Como resultado, el área A de la superficie se deduce por integración : ${\ Displaystyle \ {X (s, v) \} _ {v \ in S ^ {1}, s \ in [0, L]}}$

{\ Displaystyle A = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r (1-r \ kappa (s) \ cos v) \ mathrm {d} v \ mathrm { d} s = 2 \ pi rL}

El cálculo de la segunda forma fundamental requiere el conocimiento del vector unidad normal y la segunda derivadas parciales de X ( s , v ) con respecto a s y v :

{\ Displaystyle \ Gamma (s, v) = - \ cos v \ nu (s) - \ sin vb (s)}

;

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} X} {\ parcial v ^ {2}}} = - r \ cos v \ nu (s) -r \ sin vb (s)}

;

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} X} {\ parcial s \ parcial v}} = r \ kappa (s) \ sin v \ tau (s) -r \ theta (s) \ cos v \ nu (s) -r \ theta (s) \ sin (v) b (s)}

;

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial ^ {2} X} {\ parcial u ^ {2}}} & = r \ left [\ kappa (s) \ theta (s) \ sin v - \ kappa '(s) \ cos v \ right] \ tau (s) \\ & + \ left [\ kappa (s) C (s, v) -r \ theta' (s) \ sin vr \ theta ( s) ^ {2} \ cos (v) \ right] \ nu (s) + r \ left [\ theta '(s) \ cos v- \ theta (s) ^ {2} \ sin v \ right] b (s) \ end {alineado}}}

Por tanto, la segunda forma fundamental de X se escribe:

{\ Displaystyle \ left [- \ kappa (s) \ cos vC (s, v) + r \ theta (s) ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta (s ) \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}

Las principales curvaturas son los valores propios del endomorfismo simétrico :

{\ Displaystyle S (s, v) = {\ begin {pmatrix} C (s, v) ^ {2} + r ^ {2} \ theta (s, v) ^ {2} & r ^ {2} \ theta (s, v) \\ r ^ {2} \ theta (s, v) & r ^ {2} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} - \ kappa (s) C (s, v) \ cos v + r \ theta ^ {2} & r \ theta (s) \\ r \ theta (s) & r \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac { - \ kappa (s) \ cos v} {C (s, v)}} & 0 \\ {\ frac {\ theta (s) \ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos vr & 1 / r \ end {pmatrix}}}

Por tanto, son:

{\ Displaystyle - {\ frac {\ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos v}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {r}}}

Notas

Ver p. Ej. François Rothen, Física general: la física de las ciencias naturales y de la vida , Lausana / París, Pr. Politécnicas y universidades de Romandías,1999, 862 p. ( ISBN 2-88074-396-6 , leído en línea ) , “14. Información general sobre mecánica de fluidos”, p. 312