Aplicación de Gauss

En la geometría diferencial convencional , el mapa de Gauss es una implementación natural diferenciable sobre una superficie de , con valores en la esfera unitaria , y cuyo diferencial permite acceder a la segunda forma fundamental . Toma su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $S ^ {2}$

Aplicación de Gauss

O una superficie orientada en clase de . $\ Sigma$ $C ^ {{k + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Para un punto de , existe un vector normal unitario único compatible con la orientación de . La aplicación de Gauss es la aplicación de clase : $PAG$ $\ Sigma$ ${\ Displaystyle \ Gamma (P)}$ $\ Sigma$ $C ^ k$

{\ Displaystyle \ Gamma: \ Sigma \ rightarrow S ^ {2}}

Tenemos una identificación natural entre el plano tangente a in y el plano tangente a la esfera en el punto correspondiente : $\ Sigma$ $PAG$ $S ^ {2}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (P)}$

{\ Displaystyle T_ {P} \ Sigma = T _ {\ Gamma (P)} S ^ {2}}

Endomorfismo de Weingarten

El diferencial de la vista de mapa de Gauss como un operador lineal de , es un operador simétrico (denominado como operador o endomorphism Weingarten), la forma cuadrática asociada es la segunda forma fundamental de en P . $T_ {P} \ Sigma$ ${\ Displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} _ {P}}$ $\ Sigma$

Más precisamente, para cualquier vector tangente , tenemos: ${\ Displaystyle w \ in T_ {P} \ Sigma}$

{\ Displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} _ {P} (w) = - \ langle d \ Gamma (P) w | w \ rangle}

Los valores propios del endomorfismo de Weingarten en un punto dado de la superficie son las principales curvaturas de la superficie en ese punto, y los vectores propios generan las direcciones principales.