Teorema ergódico

En los sistemas dinámicos , y en particular en la teoría ergódica , muchos teoremas se denominan teoremas ergódicos . Permiten cuantificar en el sentido de la teoría de la medida la densidad de las órbitas de un sistema dinámico medido.

Teorema ergódico de Birkhoff

Es :

$(X, \ mathcal {A}, \ mu)$ un espacio medido limitado.
T : X → X una transformación medible que conserva la medida (es decir que para cualquier conjunto medible A de , tenemos ). $\ mu$ ${\ mathcal {A}}$ $\ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A)$

Entonces :

Para cualquier función de L 1 ( X , μ), la secuencia converge μ-casi en todas partes. $F$ $\ left (\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) \ right) _ {n \ geq 1}$
Además, al señalar (cuando existe), tenemos: limno→∞1no∑k=0no-1F∘Tk(X)=gramo(X){\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ {k} (x) = g (X)} $\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) = g (x)$
- $g \ circ T = g$ , - casi en todas partes . $\ mu$
- ${\ Displaystyle \ | g \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {1}}$ ( está por tanto en ). $gramo$ $L ^ 1 (X, \ mu)$
- La secuencia de funciones converge en L 1 ( X , μ) a . $\ left (\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k \ right) _ {n \ ge1}$ $gramo$
- Para cualquier conjunto medible A lo que tenemos: . Esto se puede reformular de una manera equivalente diciendo que (casi en todas partes), o es la tribu que contiene todos los conjuntos para los cuales y denota la expectativa condicional . $\ mu \ left (T ^ {- 1} (A) \ Delta A \ right) = 0$ $\ int_Ag (x) ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Af (x) ~ \ mathrm d \ mu (x)$ ${\ Displaystyle g = {\ mathsf {E}} (f \ mid {\ mathcal {I}})}$ $\ mathcal I$ $A \ in {\ mathcal A}$ $\ mu \ left (T ^ {- 1} (A) \ Delta A \ right) = 0$ ${\ Displaystyle {\ mathsf {E}} (\ cdot \ mid {\ mathcal {I}})}$

Corolario

Con los mismos supuestos y asumiendo además que es μ-ergódico , tenemos: $T$

\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) = \ int_Xf (t) ~ \ mathrm d \ mu (t)

para μ-casi todo .

X

Observaciones

La suma se llama media de Birkhoff . $\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ {k} (x)$ $F$
El límite cuando existe se llama promedio orbital (o de tiempo) de . $\ lim \ nolimits_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x)$ $F$
La integral es la media espacial de . $\ int_Xf (t) ~ \ mathrm d \ mu (t)$ $F$

Así, el teorema dice que si es una medida de probabilidad para la cual es ergódica, casi todos los promedios temporales de una función integrable coinciden con su promedio espacial. $\ mu$ $T$

Algunas formulaciones de la ley fuerte de los grandes números son casos especiales de este teorema.

Algunas aplicaciones sencillas

Ejemplo 1

Sea B un conjunto medible no despreciable (μ ( B )> 0). Si T es μ-ergódico, a continuación, para casi todos de , tenemos: $X$ $X$

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ operatorname {card} (\ {k \ in \ {0, \ ldots, n-1 \} ~ | ~ T ^ {k} (x) \ in B \}) = {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (X)}}.}

La proporción de tiempo que la órbita de x pasa en B es precisamente μ ( B ) / μ ( X ).

Ejemplo 2

Para casi cualquier real en el intervalo , el número promedio de ceros en la escritura decimal de (es decir, dónde está el dígito de las décimas de , el dígito de las centésimas de , etc.) es igual a . $X$ $[0.1]$ $X$ $x = 0, a_1a_2a_3 ...$ $a_1$ $X$ $a_ {2}$ $X$ $1/10$

Teorema ergódico de von Neumann

Sea un operador unitario en un espacio de Hilbert , o más generalmente una isometría lineal (no necesariamente sobreyectiva ) y la proyección ortogonal en el subespacio de los vectores fijados por . Entonces, para cualquier vector de , tenemos: $U$ $H$ $PAG$ $U$ $X$ $H$

\ lim_ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} U ^ nx = Px,

donde el límite está dentro del significado de la topología de la norma . En otras palabras, la secuencia de promedios converge hacia la topología fuerte de los operadores (en) . $H$ $\ frac1N \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} U ^ n$ $PAG$

Este teorema se aplica en particular al caso donde el espacio de Hilbert es el espacio L 2 de un espacio medido y donde es un operador de la forma , para un cierto endomorfismo del cual conserva la medida, y que puede verse como el cambio de estado. de un sistema dinámico de tiempo discreto. El teorema ergódico dice entonces que el promedio de una función durante un intervalo de tiempo suficientemente grande se aproxima mediante la proyección ortogonal de las funciones que permanecen constantes en el tiempo. $H$ $\ scriptstyle (X, \ mathcal A, \ mu)$ $U$ $Uf (x) = f (Tx)$ $T$ $X$ $F$ $F$

Otra formulación de este teorema ergódico es que si hay un grupo de operadores unitarios fuertemente continuo , entonces el operador $Utah$ $H$

\ frac1T \ int_0 ^ T U_t ~ \ mathrm dt

converge (para la topología fuerte de operadores) cuando tiende al infinito. De hecho, este resultado se extiende a un medio grupo con un parámetro fuertemente continuo de operadores no expansivos en un espacio reflexivo . $T$

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Teoría ergódica " ( ver la lista de autores ) .

(en) Sr. Reed (en) y B. Simon , Análisis funcional , San Diego, Academic Press, 1980 ( ISBN 978-0-12585050-6 )
(en) Peter Walters, Una introducción a la teoría ergódica , Springer, Nueva York, 1982 ( ISBN 0-387-95152-0 )

Ver también

Enlace externo

(en) George D. Birkhoff , Prueba del teorema ergódico , Proc. NAS 17 (1931), 656-660