Cinta de moebius

En topología , la banda de Möbius (también llamada banda de Möbius o bucle de Möbius ) es una superficie compacta cuyo borde es homeomorfo a un círculo . En otras palabras, tiene un solo lado a diferencia de una cinta convencional que tiene dos. La superficie tiene la particularidad de estar regulada y no orientable . Fue descrito de forma independiente en 1858 por los matemáticos August Ferdinand Möbius (1790-1868) y Johann Benedict Listing (1808-1882). El nombre del primero se mantuvo gracias a una tesis presentada a la Academia de Ciencias de París . También encontramos los nombres de “banda”, “anillo” o “cinturón” de Möbius, ya veces escribimos “Mœbius” o “Moebius”.

Es fácil visualizar la tira de Möbius en el espacio: un modelo simple se hace girando una tira larga de papel media vuelta , luego pegando los dos extremos juntos, creando una cinta sin fin que no tiene ni interior ni exterior.

Definición por torsión de una banda en el espacio.

Plan de montaje de la cinta
Haciendo la cinta.
Esquema del montaje: pegue las dos flechas de nuevo respetando la dirección.

Cinta clásica de Möbius

La banda de Möbius se puede generar mediante un segmento pivotante cuyo centro describe un círculo fijo. Un ajuste correspondiente es

{\ begin {cases} x = (1 + {\ frac {t} {2}} \ cos {\ frac {v} {2}}) \ cos v \\ y = (1 + {\ frac {t} {2}} \ cos {\ frac {v} {2}}) \ sin v \\ z = {\ frac {t} {2}} \ sin {\ frac {v} {2}} \ end {cases }} \ qquad {\ begin {matriz} -1 \ leq t \ leq 1 \\ 0 <v \ leq 2 \ pi \ end {matriz}}

o el conjunto de soluciones de la siguiente ecuación:

{\ Displaystyle x ^ {2} y + yz ^ {2} + y ^ {3} -y-2xz-2x ^ {2} z-2y ^ {2} z = 0.}

Las curvas v = v 0 , t variando solas, son de hecho segmentos, conectando a velocidad uniforme el punto v = v 0 , t = –1 y el punto v = v 0 , t = 1. Este segmento es por lo tanto de longitud 2.

La curva t = 0 es un círculo de diámetro 2 en el plano horizontal; representa la trayectoria del centro de los segmentos. El ángulo que forma el segmento con la dirección horizontal es v 0 . Cuando el centro ha dado un giro completo en el círculo horizontal (sumando π a la variable v ), el segmento solo ha realizado un giro en U. Esto provoca la conexión, por ejemplo, del punto t = 1, v = π con t = –1, v = 0.

El borde de la cinta viene dado por la curva t = 1 o t = –1. Pero es la misma curva: el borde de la tira de Möbius es de una sola pieza ( conectado ).

También podemos ver la animación de arriba en visión estereoscópica :

Animación estereoscópica cruzada:
Animación estereoscópica paralela de la misma cinta:

Otras cifras obtenidas por torsión

Pueden obtenerse variantes de la cinta convencional sometiendo la banda de papel a un número impar de medias vueltas hacia adelante o hacia atrás. Todo lo que tienes que hacer es ajustar la configuración anterior:

{\ begin {cases} x = (2 + t \ cos kv) \ cos 2v \\ y = (2 + t \ cos kv) \ sin 2v \\ z = t \ sin kv \ end {cases}} \ qquad {\ begin {matriz} -1 \ leq t \ leq 1 \\ 0 <v \ leq \ pi \ end {matriz}}

con k entero relativo impar .

Las cifras obtenidas para k y - k son enantiomórficas , es decir, imágenes especulares entre sí.

Si se aceptan valores pares de k se obtienen cintas con dos caras, más o menos retorcidas.

Comparación de diferentes cintas.

Nos puede interesar la curva que forma el borde de estas cintas. Tiene una torcedura diferente para cada valor de k . El giro se calcula, por ejemplo, en proyección (vista superior), contando el número de veces que la curva pasa sobre sí misma. No se puede deformar continuamente (es decir, por homotopía ) un tipo de cinta en otro en un espacio tridimensional.

Sin embargo, las distintas cintas son homeomorfas a la clásica tira de Möbius, es decir que no existe una diferencia intrínseca entre ellas. Esto está relacionado con la forma en que están inmersos en el espacio tridimensional.

La banda de Möbius de media vuelta también se puede ver como parte de la superficie de Möbius.

Objetos derivados

Si pegamos dos cintas de Möbius a lo largo de su borde, obtenemos una botella de Klein . Esto solo se puede lograr rasgando la cinta (o usando la cuarta dimensión), porque la botella de Klein no se sumerge en el espacio habitual.

Si pegamos un disco a una tira de Möbius a lo largo de su borde común, obtenemos un plano proyectivo real ; de nuevo, no es posible hacer esto físicamente sin rasgar la cinta.

Si tratamos de cortarlo en tres, es decir siguiendo un eje de un tercio del ancho de una de las aristas, obtenemos dos cintas entrelazadas: una tira de Möbius de un tercio de ancho, correspondiente a la mitad del inicio. cinta, y una cinta de dos caras de un tercio de ancho, a juego con el borde de la cinta inicial, doble de largo y retorcida una vuelta completa.

Hemos visto que si cortamos una cinta de Möbius por su eje mediano, obtenemos una cinta de dos caras, retorcida y de doble longitud. Si cortamos esta cinta a lo largo, obtenemos dos anillos distintos, retorcidos y entrelazados.

Finalmente, si partimos de una cinta de Möbius obtenida por tres medias vueltas antes de pegar (como la del logo de abajo ), y la cortamos por el eje mediano, obtenemos una cinta única, pero atada (en un nudo trébol ).

Elección de la longitud de la cinta

La cinta de Möbius se puede producir con una cinta flexible de una hoja de papel de 70 g / m 2, por ejemplo. Para obtener una cinta sin un doblez brusco, es necesario que, para un ancho de cinta igual a 1, el largo sea mayor a 1.732 - es decir la raíz cuadrada de 3. Se puede ir hacia menor en longitud hasta alcanzar encontrar, con una inversión helicoidal, los lados opuestos de un cuadrado, pero las curvas serán abruptas.

Utilidad de la cinta

Mientras Mobius sólo puede aparecer como una curiosidad matemática o una construcción artística, esta disposición se utiliza a menudo en el mundo industrial del XIX ° siglo cuando las máquinas operaban desde cinturones. Los cinturones se cruzaron en la unión para desgastar "ambos lados" del cinturón al mismo tiempo. De hecho, la descripción de la cinta de Möbius mostrará que el cinturón tenía solo un lado.

Definición por identificación abstracta

La construcción anterior (pegando una tira después de girar media vuelta) se formaliza diciendo que la tira de Möbius es el mapeo del toro del homeomorfismo [–1, 1] → [–1, 1], x ↦ - x , es decir el espacio del producto [–1, 1] × [0, 1] coorientado por la relación de equivalencia ( x , 1) ∼ (- x , 0). Así obtenemos un haz de fibras [–1, 1] en el círculo S 1 .

En comparación, la franja "normal" (tronco de un cilindro) corresponde al homeomorfismo de identidad de [–1, 1] y, por lo tanto, al paquete trivial , el producto [–1, 1] × S 1 .

Esto le permite ver matemáticamente lo que sucede cuando corta la cinta: si p : [–1, 1] × [0, 1] → ([–1, 1] × [0, 1]) / ∼ denota la aplicación de paso al cociente, p ({0} × [0, 1]) es un círculo cuyo complemento está conectado .

También podemos realizar la tira de Möbius como complemento de un disco abierto en el plano proyectivo real .

Representaciones artísticas

La cinta de Möbius aparece en muchas producciones artísticas.

Logo

Una versión esquemática de la tira de Möbius se ha utilizado como símbolo de reciclaje desde el primer Día de la Tierra en 1970 . El bucle de Möbius indica que un producto se puede reciclar o que se ha fabricado a partir de materiales reciclados. De hecho, es una cinta con tres medias vueltas.
Se utiliza una versión de la cinta de Möbius como logotipo para Visual Studio , la herramienta de desarrollo de TI de Microsoft .
También se convirtió en el logotipo de Google Drive , el servicio de almacenamiento de datos en línea de Google .
También es el símbolo del grupo de K-pop Infinite .
El logo del Léman Express , la red regional express de la región Franco-Valdo-Ginebra , tiene como logo esta cinta, que aquí representa el lago Lemán .
El logotipo de la marca de automóviles Renault está inspirado en una cinta de Möbius.

Películas y series

Moebius , película de ciencia ficción argentina de Gustavo Mosquera R., estrenada en 1996.
Thru the Moebius Strip , una película totalmente digital de 80 minutos dirigida por Frank Foster en Global Digital Productions (Hong Kong). La película se estrenó en los Estados Unidos en 2005 .
La cinta de Möbius también se utilizó en el episodio El sillón del olvido de la caricatura Ulises 31 donde los hijos del protagonista se vieron condenados a un paseo interminable sobre la cinta.
Moebius es también el nombre del doble episodio final de la temporada 8 de Stargate SG-1 .
La Carretera Perdida de David Lynch a menudo se compara con una franja de Möbius. Al comienzo de la trama, Fred Madison, desde el interior de su casa, recibe una llamada de intercomunicador. Y al final, es él mismo, quien desde fuera de la casa, habla por el intercomunicador, lo mismo que para Timecrimes .
En la serie Awake , la mente del detective Michael Britten es considerada una cinta de Möbius por uno de los psicoanalistas.
En 2013 , una película de espías dirigida por Eric Rochant ( Les Patriotes ), con Jean Dujardin y Cécile de France , se tituló Möbius .
En un episodio de Futurama , D r Farnsworth hizo una carrera contra Leela en una pista Mobius-conformado.
En la 22 ª entrega de la Universo Marvel cinematográfico , Avengers: Final de partida , que aborda el tema del viaje en el tiempo . Habiendo entendido que este último se comporta como un bucle, Tony Stark utiliza la cinta de Moebius como figura matemática para resolver el problema de la exploración del tiempo.
En el 21 st episodio de Sakura, Tarjeta de Hunter, vemos la tarjeta de "The Lupa" representado por una cinta de Möbius que le permite modificar el espacio deseado en un circuito cerrado e infinito.

Vídeo juegos

"Mobius 1" es el nombre en clave (nombre en clave ) del piloto controlado en el juego Ace Combat 4: Distant Thunder . Su insignia personal es una cinta de Möbius.
"Mobius Ring" es una carrera de los juegos F-Zero AX y F-Zero GX lanzados en Arcade y Gamecube .
“Möbius maze” es una de las ocho ubicaciones ocultas en el juego de rol Light of Oblivion lanzado para PlayStation y PC .
"Möbius" era lo que muchos pensaban que era el nombre mundial de Sonic en Europa y Estados Unidos antes de que se lanzara el juego Sonic Adventure en 1999. En realidad, fue un error de traducción durante una entrevista con Yuji Naka (co-creador de Sonic) que habló precisamente de un motivo de la decoración en espiral, que describió como "cinta de Moebius". El error fue tan bien tomado que encontraremos el nombre de Möbius designando el planeta donde vive Sonic en los cómics de Archie.
En Sonic Riders: Zero Gravity , la carrera final tiene la forma de una tira de Möbius y lleva su nombre en inglés, Mobius Strip.
En STALKER: Clear Sky para PC , el héroe alude a la tira de Möbius para ilustrar el efecto de una “burbuja anormal” que devuelve incansablemente a quienes entran en su punto de partida.
En StarCraft 2 , encontramos la "Fundación Möbius", un grupo misterioso en busca de artefactos Protoss.
En la serie Legacy of Kain , Moëbius es el guardián del tiempo.
En Mario Kart 8 para Wii U , la pista de Mario Circuit tiene la forma de una tira de Möbius, al igual que el "8" en el logo del juego.
En Makoto Mobius, el personaje principal usa una tira de Möbius para retroceder en el tiempo.

Juegos de cartas coleccionables

En Magic: The Gathering, hay una carta llamada "Ribbon of Boesium" ( anagrama de Moebius) que te permite reutilizar ciertos hechizos del cementerio. Su ilustración representa una cinta metálica de una cara.

Novelas

En 2010: Odyssey Two , la aberración del comportamiento de la computadora HAL 9000 se conoce como un “bucle Hofstadter- Moebius”.
En Hyperion de Dan Simmons , el Cube Mobius contiene la energía producida por los ergios.
En L'Anneau de Moebius , 2008, de Franck Thilliez , el anillo es en realidad el esquema de la historia ... (Tienes que leerlo para entenderlo).
En Ángeles y demonios , de Dan Brown , en el párrafo 31.
En la serie Necroscopio de Brian Lumley , Harry Keogh, el héroe, muestra con frecuencia a Mobius para abrir una puerta para navegar en el espacio-tiempo.
En Trap on Zarkass , 1958, de Stéfan Wul, el autor basa el acceso al subespacio a través de tres bandas de Möbius anidadas juntas.
En Cités de Mémoire , 2002, de Hervé Le Tellier , la ciudad de Suibeom ( palíndromo de "Moebius") parece tener la estructura de una franja de Möbius.

Esculturas y gráficos

Max Bill esculpió varias cintas de Möbius, una de las cuales en particular se exhibe en el Museo de Escultura al Aire Libre de Middelheim , en el parque del mismo nombre en Amberes , Bélgica. También puede ver uno de sus Anillos Infinitos de granito en el Centro Pompidou de París .
Wim Delvoye , artista contemporáneo belga, exhibió en el museo del Louvre una serie de crucifijos de metal retorcido en los apartamentos de Napoleón III.
Maurits Cornelis Escher , grabador y dibujante holandés (1898-1972), realizó numerosos estudios sobre la cinta de Möbius.
Para el vigésimo aniversario del sello discográfico Warp Records , Studio YES con el fotógrafo Dan Holdsworth creó una serie de imágenes con cintas de Möbius. Algunos de ellos se utilizaron como ilustraciones para compilaciones .
Alice Pilastre creó una obra llamada Mobius Gymnopedy , que consiste en una caja de música en la que la cinta metálica que lleva la partitura tiene forma de cinta Mobius. Esta cinta contiene las primeras notas de las primeras Gymnopédies de Erik Satie . Cuando recorre la cinta, escucha estas notas, luego las mismas con una inversión de tono .
Un enorme anillo de Möbius está representado en forma de escultura en Lille , en el distrito de Wazemmes . Esta escultura, creada por Marco Slinckaert, ocupa el centro de una rotonda frente al CPAM . También se le llama serpiente por su gran parecido. Otra escultura se encuentra en la Universidad de Rennes I , en el campus de Beaulieu .
Keizo Ushio talla cintas de Möbius cortadas a lo largo de su línea central.
Ellen Heck, artista grabadora, utiliza el motivo de la cinta de Möbius en su serie Fascinators : retratos de chicas jóvenes que llevan la cinta de Möbius, expresando cuestiones abstractas vinculadas a la feminidad.
El diseñador Jean Giraud , alias Moebius, tomó su seudónimo de dicha cinta

En Lacan

En el vocabulario de Jacques Lacan : “1962/63 - Angustia - 09/01/63 - ¿Qué diferencia a una imagen especular de lo que representa? es porque la derecha se convierte en la izquierda y viceversa. - Una superficie de una sola cara no se puede voltear. - Entonces una tira de Moebius, si le das la vuelta a una, siempre será idéntica a sí misma. Esto es lo que yo llamo no tener una imagen especular. "

Desde un punto de vista matemático, la afirmación anterior de Lacan es errónea: hemos visto en las secciones anteriores que la imagen especular de una tira de Möbius corresponde a una inversión (antes de pegar) de una media vuelta en la otra dirección, y por lo tanto no es idéntica a la cinta inicial (más generalmente, si la imagen especular de una figura puede superponerse mediante un desplazamiento es porque la figura tiene un plano de simetría) .

En Patrick Tort

En la epistemología de Patrick Tort , la metáfora topológica de la tira de Möbius ilustra lo que él llama el efecto inverso de la evolución en Darwin : la selección natural, nacida de la lucha por la existencia, selecciona los instintos sociales, cuyo desarrollo en la "civilización" es cada vez más opuesto. a la lucha por la existencia y, por tanto, a la selección natural.

La imagen de la tira de Möbius se utiliza para explicar la operación reversible. Compuesto por una tira (2 lados) cerrada después de girar media vuelta, ahora tiene un solo lado y un solo borde. Si nombramos las dos caras inicialmente opuestas "naturaleza" y "civilización", vemos que pasamos, a mitad de camino, de una a otra sin saltar ni romper (no podría haber una continuidad dentro de la continuidad "genealógica" que aquí sigue siendo fundamental). El continuismo darwiniano en antropología no es simple, sino reversible. El movimiento naturaleza → cultura no produce una ruptura, pero sin embargo impone la evidencia tangible de un “efecto ruptura”, porque gradualmente hemos pasado “al otro lado”.

Notas y referencias

(en) [video] Tadashi Tokieda, Geometría y topología - Lectura 01 Parte 01/02 en YouTube .
Anillo de Möbius y reciclaje .
(in) " Computer Graphic todavía se considera una nueva tecnología en el entretenimiento en China " , 8 de marzo de 2006.
La Minute du geek emitida en el canal de televisión Nolife desde el 20 de mayo de 2009 (se requiere suscripción para ver online) .
http://www.drunkenboat.com/db8/oulipo/feature-oulipo/oulipo/texts/le_tellier/sighted_fr.html#Suibeom .
Alice Pilastre en el sitio web del Festival Kikk 2013.
(in) [PDF] The Newsletter of the International Society of the Arts, Mathematics, and Architecture , septiembre de 2006.

Apéndices

Bibliografía

(en) Udo Hertrich-Jeromin , Introducción a la geometría diferencial de Möbius , CUP ,2003
(en) Jonathan D. Amith , The Möbius Strip: A Spatial History of Colonial Society in Guerrero, Mexico , Stanford University Press ,2005
S. Wane , Africanidad y africanización de Occidente , Le Publieur,2012
(en) Chen Nanxian , Inversión de Mobiüs en Física , World Scientific ,2010
Frank Thilliez , El anillo de Moebius , El pasaje ,2008

enlaces externos

Matemáticas

Pragmático

"Realización de la cinta, particularidades y propiedades de los cortes" (en el Archivo de Internet )

Música

Animación del canon cancrizans de JS Bach en una cinta de Möbius , extracto de La Ofrenda Musical