Principio de mínima acción y relatividad general.

Debemos a David Hilbert , en 1915, el primer uso del principio de mínima acción para obtener las ecuaciones de la relatividad general , en particular las ecuaciones del campo gravitacional.

Para la relatividad general, como para la relatividad especial, las ecuaciones pueden obtenerse sin apelar al principio de mínima acción: el principio de equivalencia , expresado en la forma "siempre podemos encontrar un marco de referencia anulando localmente el campo gravitacional", permite para encontrar directamente las ecuaciones de movimiento de una partícula; y la unicidad de la forma del tensor geométrico que es cancelada por la derivada covariante, unicidad probada por Élie Cartan , permite encontrar las ecuaciones del campo gravitacional, que fue el método original de Einstein (aunque la unicidad en cuestión aún no estaba probado en ese momento).

Si se dan las ecuaciones de la relatividad general, podemos deducir la acción permitiendo aplicar el principio. En particular, con las ecuaciones geodésicas podemos encontrar la métrica asociada. ${\ displaystyle ds ^ {2} \,}$

Partícula

Partícula en un campo gravitacional

En este trabajo utilizamos la hipótesis de que la partícula no modifica su entorno: la masa de la partícula ni su posición no cambia el campo gravitacional , por lo que esta masa debe ser "pequeña".

En virtud del principio de equivalencia de Einstein , la gravedad es localmente equivalente a la elección de un marco de referencia acelerado.

Como parte de la relatividad especial, tomando un marco acelerado (coordenadas ), la percepción local es un campo gravitacional, y el cambio de referencia con respecto a un marco de referencia inercial (coordenada ) impone una métrica con coeficientes no triviales . Es suficiente determinar las ecuaciones de movimiento en este marco de referencia debido al principio de mínima acción en la relatividad especial. ${\ Displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}$ ${\ Displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ Displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}$

El principio de equivalencia permite decir que un campo gravitacional real (no debido a la elección del marco de referencia) también está determinado por la métrica (y la métrica está determinada por el campo gravitacional); aunque el uso de una métrica que no es causada, y por lo tanto no es compensable más allá de un dominio local del espacio-tiempo, por un cambio de marco de referencia implica que el espacio-tiempo no es euclidiano (ver el experimento mental del disco giratorio, descrito en relatividad general ), y que luego salimos del marco de la relatividad especial para construir una nueva teoría: la relatividad general . ${\ Displaystyle \ ds ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}$

Por lo tanto, podemos permanecer en la continuidad de la relatividad especial y afirmar que la acción infinitesimal de una partícula puntual, influenciada únicamente por la gravedad, en la relatividad general es:

${\ Displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$

donde asumimos eso sin quitarle nada a la generalidad. ${\ Displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}$

Usando el hecho de que es el tiempo natural de la partícula, la acción minimizada entre dos puntos en el espacio-tiempo muestra que, como en la relatividad especial, es el tiempo natural para ir del punto A al punto B el que se maximiza (localmente) por el principio . Las geodésicas son los caminos que (localmente) maximizan el tiempo propio de la partícula . ${\ Displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$ ${\ Displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}$

Para mantener la coherencia física, debemos asumir que son continuos; para poder trabajar con herramientas conocidas, es decir derivaciones, pero también para suponer que el campo gravitacional es continuo, hay que suponer que son diferenciables. Posteriormente, para las ecuaciones de Einstein, será fundamental asumir que son C 2 . ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$

Considerando cualquier momento : ${\ Displaystyle \ t_ {0}}$

${\ Displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}$

Siempre se usan las ecuaciones de Euler-Lagrange después de haber dividido por el coeficiente aquí inútil. ${\ Displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ parcial L_ {0}} {\ parcial V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ parcial L_ { 0}} {\ parcial x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}$ ${\ Displaystyle \ -mc}$

Detalles de la demostración

Obtenemos : ${\ Displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ derecha) - \ {\ frac {\ parcial ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ = \ 0 ~~}$

Al tomarnos el tiempo adecuado, podemos usar la igualdad que simplifica la derivación , ${\ Displaystyle t_ {0} =}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}$ ${\ Displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}$

sin cambiar el resultado si avanzamos, y obtenemos

${\ Displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ right) = {\ frac {1} {c}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ punto {V_ {i}}})}$

Observando eso , que usaremos principalmente por razones estéticas, y cambiando los índices para usar solo i, j y k, ${\ estilo de visualización \ parcial ^ {n} sol ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ parcial ^ {n} sol ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ parcial ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange dan: ${\ Displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ parcial ^ {k} g ^ {ij} + \ parcial ^ {i} g ^ {jk} + \ parcial ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}$

Con igualdad y el símbolo de Christoffel : ${\ Displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ parcial ^ {k} g ^ {ij} + \ parcial ^ {i} g ^ {jk} + \ parcial ^ {j} g ^ {ik})}$

Obtenemos la ecuación:

${\ Displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$

que también podemos escribir:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}$

o :

${\ Displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}$

con la "derivada covariante": y , donde para el tiempo adecuado. ${\ Displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}$ ${\ Displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}$ ${\ Displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}$ ${\ Displaystyle \ t_ {0} =}$

El símbolo de Christoffel se destaca como la manifestación de la gravedad en las ecuaciones de movimiento. ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Las ecuaciones de movimiento no dependen de la masa de la partícula (llamada así porque hemos descuidado su extensión espacial y su influencia en su entorno): todas las partículas siguen las mismas trayectorias (bajo idénticas condiciones iniciales), es la ecuación de geodésicas en relatividad general, solo en presencia de gravedad.

Sin embargo, estas ecuaciones de movimiento no son válidas para una partícula de masa cero porque en este caso, tenemos desde el principio , lo que prohíbe todos los cálculos realizados anteriormente; también tenemos porque no transcurre el tiempo adecuado para una partícula de masa cero (ver Relatividad restringida ), el término en ningún caso puede tener significado. Debemos considerar que la onda asociada con la partícula tiene una ecuación que tiene un significado, además, la luz se entendía como una onda (electromagnética) más que como una partícula (el fotón , de masa cero) cuando se escribió la relatividad general. ${\ Displaystyle ~ dS = 0 ~~}$ ${\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}$ ${\ Displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}$

Partícula en un campo electromagnético

Similar a la relatividad especial, la definición de la acción relativista infinitesimal de una partícula puntual de carga en un campo electromagnético es . ${\ Displaystyle \ e}$ ${\ Displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}$

Mediante cálculos perfectamente similares, obtenemos las ecuaciones de movimiento:

${\ Displaystyle m. ({\ dot {V}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}$

que podemos escribir:

${\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}$

o :

${\ Displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}$

Campo de gravitación

Para determinar la densidad lagrangiana, luego las ecuaciones, es necesario desarrollar un poco algunas de las consideraciones discutidas anteriormente, e incluso algunas nuevas.

Densidad lagrangiana en espacio curvo

Debido a la invariancia de la trayectoria del campo con respecto a los marcos de referencia desde los que se observa, la acción que lo caracteriza debe ser invariante por cambio de marco de referencia. ${\ Displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}$

Detalles que justifican la densidad lagrangiana

Sea la acción en dos marcos de referencia diferentes. ${\ Displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}$

Tenemos: y ${\ Displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$ ${\ Displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$

donde es el jacobiano del cambio de variables. ${\ Displaystyle \ J}$

Se tiene : ${\ Displaystyle J = \ izquierda | \ det \ izquierda ({\ frac {\ parcial x '_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} \ derecha) \ derecha | ~}$

O :, tomando los determinantes . ${\ Displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ parciales x '_ {i}} {\ parciales x_ {k}}}. {\ frac {\ parciales x' _ {j}} {\ parciales x_ {l}}} g '^ {ij } \ to g = J ^ {2} .g '}$

Entonces : ${\ Displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}$

Así es una constante del campo con respecto a los cambios de marcos de referencia. ${\ Displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}$

Por tanto, el objetivo es encontrar los escalares del campo, invariantes con respecto a los cambios de los marcos de referencia.

Al notar el escalar del campo, invariante en comparación con los cambios de marcos de referencia, la densidad lagrangiana será: $\ \ Lambda$ ${\ Displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}$

Definiciones de tensores de Riemann y Ricci y curvatura

A la manera de Élie Cartan

En términos matemáticos, el espacio tetradimensional definido por las consideraciones anteriores es una variedad C 2 donde las cuatro velocidades son vectores que pertenecen al espacio vectorial tangente al punto donde hemos derivado, este espacio vectorial se proporciona con la métrica . ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$

Recuerde que las coordenadas son las coordenadas de los puntos de la variedad, provistas de un sistema de coordenadas arbitrario, que representa la elección arbitraria del marco de referencia físico del observador. ${\ Displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

La medición de la gravedad, que influye en las geodésicas, se puede realizar mediante la diferencia de orientación entre dos vectores resultante del transporte de un único vector original por dos trayectorias geodésicas diferentes hacia el mismo punto final.

La ecuación de las geodésicas es equivalente a . ${\ Displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$ ${\ Displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}$

Porque deducimos ; sabiendo que tenemos tal como lo vemos a partir de su definición, también podríamos escribir .

{\ Displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}

{\ Displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}

{\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} = \ Gamma _ {k} ^ {ji}}

{\ Displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}

Del mismo modo, obtenemos

{\ Displaystyle dV ^ {k} = - \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}

Se dice que un vector se transporta en paralelo a lo largo de una geodésica si las variaciones en sus coordenadas verifican cuando se mueve a lo largo de la geodésica. ${\ Displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$ ${\ Displaystyle dA_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}$ ${\ Displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}$

Detalles del método de Elie Cartan

Desde cualquier punto M de la variedad, considere dos variaciones infinitesimales ya lo largo de dos geodésicas cualesquiera, y considere las dos trayectorias distintas que utilizan alternativamente una y luego la otra de estas geodésicas. $\ D$ ${\ Displaystyle \ \ delta}$

1 st ruta:

{\ Displaystyle M (x_ {i}) \ a M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ a M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}

2 e camino:

{\ Displaystyle M (x_ {i}) \ to M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ to M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}

Para que estos dos caminos terminen en el mismo punto, asumimos eso , lo cual se puede lograr porque las geodésicas utilizadas desde los puntos y son arbitrarias.

{\ Displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}

{\ Displaystyle \ M_ {1}}

{\ Displaystyle \ M '_ {1}}

Estudiemos las variaciones de las coordenadas de un vector transportado en paralelo a lo largo de cada uno de los caminos: ${\ Displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$

1 st ruta:

{\ Displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + dV_ {i} \ to A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}

2 e camino:

{\ Displaystyle \ A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} \ to A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}

Se tiene :

{\ Displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}

Después de algunos cálculos, obtenemos:

{\ Displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ parcial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ parcial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ {p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}

Definimos el tensor de Riemann por: ${\ Displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ parcial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ parcial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

La igualdad indica que este tensor mide la diferencia entre dos vectores que resultan del mismo vector original por transporte paralelo por dos caminos diferentes.

{\ Displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}

{\ Displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}

Definimos el tensor de Riemann por:

${\ Displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ parcial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ parcial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

El tensor de Ricci es una contracción del tensor de Riemann: ${\ Displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}$

Su fórmula muestra que es un tensor simétrico:

{\ Displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}

La curvatura de Riemann es el número obtenido por contracción del tensor de Ricci: ${\ Displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

Todas las igualdades utilizadas en los “ detalles del método de Élie Cartan ” son independientes del marco de referencia elegido, y este es también el caso de las definiciones de los tensores de Riemann y Ricci (por eso también nos permitimos llamarlos tensor ). También es el caso de la curvatura que, por tanto, es candidata a ser el escalar invariante del campo de gravitación. $\ R$ $\ \ Lambda$

Élie Cartan demostró que los escalares invariantes por cambio de marco de referencia son de la forma . ${\ Displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}$

{\ Displaystyle ~ \ \ alpha}

simplemente indica que siempre es posible un cambio de unidad, permite introducir la constante cosmológica .

{\ Displaystyle \ \ beta}

Herramientas analiticas

Una aplicación del principio de inercia en el espacio curvo.

Para que nuestro trabajo sea una consecuencia del principio de mínima acción, el método aquí utilizado consiste en determinar las propiedades de la variedad a partir de la métrica de sus espacios tangentes.

Los espacios vectoriales tangentes (de dimensión 4) cuentan con su base "natural" { }: si es el punto donde consideramos el espacio tangente, posamos ; lo que escribimos a menudo . ${\ Displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}$ ${\ Displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ left (~ {\ frac {\ partial x_ {j}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ right) _ {j = 0, 1,2,3}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ parcial ~} {\ parcial x_ {i}}}}$

Las ecuaciones geodésicas son propiedades relativas a las coordenadas o de la cuadrivelocidad a lo largo de esta trayectoria, no dan una indicación de la variación (la derivación) de un cuadrivector de un punto a otro del espacio, ni siquiera de la derivación. del vector de cuatro velocidades .

{\ Displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}

{\ Displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}

{\ Displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}

Para ello, podemos utilizar un principio físico reescrito y hecho a medida para la relatividad general:

Principio de inercia : a lo largo de una geodésica, y en ausencia de intervención externa, el vector de (cuadri-) velocidad de una partícula es constante.

Es decir :

{\ Displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Obtenemos:

{\ Displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}

Siendo arbitraria la velocidad inicial del cuadrivector, se obtiene:

${\ Displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}$

Analizando las ecuaciones de las geodésicas o teniendo en cuenta que los “ejes” de las coordenadas no son necesariamente geodésicas, no podemos afirmar que las coordenadas del vector de cuatro velocidades sean constantes. Sobre la elección

{\ Displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Derivar significa "determinar la línea que indica la dirección del movimiento". Todo el problema es saber qué es una línea recta cuando el sistema de coordenadas es arbitrario, incluso en un espacio curvo; una vez determinadas las líneas, se puede definir la derivación.
En el marco que nos interesa, cuando el experimentador está en un espacio de Minkowski y ha elegido cualquier sistema de coordenadas, que posiblemente induzca la gravedad allí, las líneas de derivación son las del espacio de Minkowski, que son también las del movimiento inercial. A menos que defina una nueva derivación, la igualdad es esencial. ${\ Displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$
Cuando el experimentador se encuentra en un marco de referencia donde hay gravedad, y en ausencia de información sobre las causas de esta gravitación (debido a una masa o debido a un marco de referencia acelerado, o ambos), las únicas líneas rectas a las que tiene acceso, como físico, son los del movimiento inercial: la derivación se define, por tanto, por . ${\ Displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$

Pero esta elección se basa en el supuesto de que, en su marco de referencia, el movimiento inercial sí sigue una línea recta. Si el experimentador elige los ejes de su marco de referencia como líneas rectas, entonces impone , el movimiento “inercial” observado no es recto ( ) y puede interpretarse como debido a una fuerza (de gravitación).

{\ Displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}

{\ Displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}

Estas dos opciones, como otras que uno puede imaginar, sólo son válidas localmente: la primera asimila localmente la gravedad a un marco de referencia acelerado en un espacio de Minkowski, la segunda hipotetiza una fuerza en un espacio inicialmente correcto; dos opciones que enderezan el espacio-tiempo a su manera, lo que solo puede hacerse localmente. La derivada covariante

Sea un cuadrivector en el espacio tangente al punto . ${\ Displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}$ ${\ Displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Se tiene : ${\ Displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ parcial ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ Gamma _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}$

Definiendo la derivada covariante como:

${\ Displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ parcial ^ {j} A_ {i} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k}}$

Propiedad :

${\ Displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ parcial ^ {j} A_ {il} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gamma _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}$

${\ Displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ parcial ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gamma _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}$

Y así sucesivamente con todos los índices de un tensor, según sus posiciones.

Dónde encontramos tensores de Riemann, etc.

El uso de la derivada covariante, y después de algunos cálculos, encontramos: . ${\ Displaystyle \ left (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ right) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}$

Obtenemos así los conceptos ya introducidos “a la manera de Elie Cartan”.

Igualdades y propiedades útiles

Teorema de Ricci: y ${\ Displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}$ ${\ Displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

Al posar , tenemos: ${\ Displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}$ ${\ Displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}$

Teorema de Ostrogradski:, cuando es un tensor. ${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ parcial V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ A ^ {i}}$

Proyecto de manifestaciones de igualdad

La suma, la diferencia y la suma de Einstein de tensores definidos en el mismo espacio tangente dan un tensor; por otro lado, si se trata de tensores definidos en diferentes espacios tangentes, no es seguro que eso dé un tensor.

Por ejemplo: el símbolo de Christoffel se define a partir del tensor métrico. La ecuación geodésica nos muestra que se puede definir usando la cual, aunque tensor, se construye por una diferencia entre dos tensores (los cuadri-vectores y ) definidos en dos espacios tangentes diferentes: el símbolo de Christoffel, él, no es un tensor (excepto casos particulares), como se puede demostrar utilizando su fórmula de definición.

{\ Displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ parcial ^ {j} V_ {i}}

{\ estilo de visualización \ \ parcial ^ {j} V_ {i}}

{\ Displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}

{\ Displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}

Una igualdad tensorial demostrada en cualquier punto, pero usando un marco de referencia particular, es una verdadera igualdad en este punto y para todos los marcos de referencia: este es el interés principal de usar tensores.

Por ejemplo, en cualquier punto existe un marco de referencia en ingravidez (en caída libre en el campo de gravedad), es decir para cuál . En tal marco de referencia, tenemos y cuando es un tensor: que es más simple de usar para justificar una igualdad tensorial que será verdadera cualquiera que sea el marco de referencia.

{\ Displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} = 0}

{\ Displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ parcial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ parcial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk}}

{\ Displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ parcial ^ {j} A_ {i}}

{\ Displaystyle \ A_ {i}}

Ecuaciones de Einstein del campo gravitacional en el caso exterior

Los tensores se utilizan para asegurarse de que las igualdades sean verdaderas sea cual sea el punto de observación del físico y cualquiera que sea su marco de referencia. Los tensores solo transportan información relacionada con el punto de observación y su espacio tangente, de repente, la información que se utiliza allí y que se produce a partir de él es solo local: es información sobre los tensores, además de los datos universalmente válidos como el constante c, G y otras que se pueden encontrar allí.

El primer caso de las ecuaciones del campo es el caso donde no hay materia (localmente): se habla del "caso externo", implicado "con la materia".

En este caso, el único componente de la acción es el componente del campo gravitacional , donde es una constante relacionada con la elección de las unidades: para las unidades MKSA, se toma , siendo el signo debido al principio de minimización de la acción. . ${\ Displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ K}$ ${\ Displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}$ ${\ Displaystyle \ -}$

Para encontrar las ecuaciones del campo gravitacional en forma de tensores de densidad de energía que son simétricos, es más sencillo transformar el Lagrangiano bajo la integral de la acción que usar las ecuaciones de Euler-Lagrange. El principio variacional se aplica variando los términos de la métrica , que es la manifestación lagrangiana de la gravedad, de acuerdo con el principio de equivalencia aplicado anteriormente. ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$

Prueba de las ecuaciones de Einstein en el caso externo

Usando la igualdad , tenemos ${\ Displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

${\ Displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ left ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij} .R ^ {ij} \ right) d \ Omega}$ ${\ Displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij }). R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}$

Tenemos porque ${\ Displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}$ ${\ Displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ to \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}$

Para el 1 st integral era ${\ Displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

El 2 nd lazo se deja sin cambios.

Para el 3 er integral, para simplificar los cálculos, nos situamos en un marco de referencia sin peso y por lo tanto tenemos . (Pero en general porque el símbolo de Christoffel no es un tensor). ${\ Displaystyle \ R ^ {ij} = \ parcial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ parcial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ Displaystyle \ parcial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$

De ahí que suponga que la variación de deje ingrávido el marco de referencia en este punto, lo que todavía les deja una infinidad de variaciones posibles . ${\ Displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ delta \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ delta \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj} = \ parcial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ parcial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$

En cualquier repositorio, donde el símbolo es el símbolo de Christoffel en el mismo punto que pero con términos modificados ${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}$ ${\ Displaystyle \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}$ ${\ Displaystyle \ \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$

tenemos lo que es una diferencia entre dos tensores definidos en el mismo punto, por lo tanto es un tensor (a diferencia del símbolo de Christoffel). ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ parcial ^ {j} V_ {i} \ to \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ izquierda (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ derecha) '. V_ {j} = \ parcial ^ {j} V_ {i} - \ izquierda (\ parcial ^ {j} V_ {i} \ derecha) '}$ ${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Y para este tensor, en el marco de referencia en ingravidez (y dejado como tal, en el punto considerado, por la variación de ), de ahí ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ estilo de visualización \ parcial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ parcial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ parcial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {ij} .D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ left ( g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) -D ^ {i} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} \ right)] }$

porque y tambien ${\ Displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$ ${\ Displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

de donde . ${\ Displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gamma _ {i} ^ {ij} \ right) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}$

Por lo tanto, usando el teorema de Ostrogradski, ${\ Displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}$

La nulidad de la última integral se debe a que se calcula sobre la hipersuperficie que delimita el volumen de integración y a que las variaciones de son nulas en el borde de integración. ${\ Displaystyle \ g ^ {ij}}$

Obtenemos : ${\ Displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ left (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ right) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

El principio de acción mínima que dice eso y las variaciones son cualquiera, se obtiene lo que se escribe (y se demuestra) a menudo bajando los índices. ${\ Displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}$ ${\ Displaystyle \ \ delta g_ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}$

Las ecuaciones deducidas son:

${\ Displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}$

Al hacer la "contracción" obtenemos , lo que no significa que el espacio sea plano, sino que se trata de una superficie mínima de cuatro dimensiones, estirada entre las distintas masas que allí evolucionan. ${\ Displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}$ ${\ Displaystyle \ R = 0}$

Por tanto, las ecuaciones de Einstein en el caso externo son:

${\ Displaystyle \ R_ {ij} = 0}$

Ecuaciones de Einstein del campo gravitacional en el caso interior

El segundo caso de las ecuaciones de campo es el caso donde hay materia (localmente): hablamos del "caso interno", es decir "en la materia".

En este caso, la acción está compuesta por la acción del campo gravitacional y la acción de la materia, incluido el campo electromagnético, que está escrito . ${\ Displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}$

Prueba de las ecuaciones de Einstein en el caso interior.

Utilizando el mismo método variacional, sabiendo que , utilizando la integración por partes, y el teorema de Ostrogradski que permite escribir en un marco de referencia en gravedad cero ${\ estilo de visualización \ \ delta \ parcial = \ parcial \ delta}$ ${\ estilo de visualización \ int \ parcial _ {l} [{\ frac {\ parcial \ izquierda ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ derecha)} {\ parcial \ izquierda (\ parcial _ {l } g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int \ partial _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ {m} \ right) } {\ parcial \ izquierda (\ parcial _ {l} g_ {ik} \ derecha)}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ parcial \ izquierda (\ Lambda _ { m} \ derecha)} {\ parcial \ izquierda (\ parcial _ {l} g_ {ik} \ derecha)}} dS_ {l} = 0}$

Al definir el tensor impulso-energía por la igualdad ${\ Displaystyle \ T ^ {ij}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ parcial \ izquierda ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ derecha)} {\ g_ parcial {ik}}} - \ parcial _ {l} [{\ frac {\ parcial \ izquierda ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ derecha)} {\ parcial \ izquierda (\ parcial _ {l} g_ {ik} \ derecha)}}]}$

Obtenemos : ${\ Displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}$

Por tanto, al plantear , y concluimos de la misma forma que en el caso externo . ${\ Displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}$

Las ecuaciones deducidas son:

${\ Displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}$

Con la contracción similar al caso externo , sabiendo eso y al posar , tenemos . Por tanto, la curvatura principal es proporcional a la densidad de energía total (o traza del tensor ). ${\ Displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}$ ${\ Displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ R = - \ chi T}$ ${\ Displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ T_ {ij}}$

Por tanto, también podemos escribir:

${\ Displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ left (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ right)}$

Notas

Jean-Claude Boudenot data de 1916, página 162 de su libro Électromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ; en Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t. 2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ], §93 nota al pie al principio del párrafo, se dice que este método fue sugerido por Hilbert ya en 1915, lo que confirma Jean-Paul Auffray p. 247 (párrafo Hilbert va a pescar ) de su libro Einstein et Poincaré , edición Le Pommier , 1999, ( ISBN 2746 50015 9 ) .
Elie Cartan, Revista de matemáticas puras y aplicadas, 1, 1922, p. 141-203 .

Fuentes

Jean-Claude Boudenot; Electromagnetismo relativista y gravitación , Elipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
Jean-Louis Basdevant; Principios de variación y dinámica , Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
Edgard Elbaz; Relatividad general y gravitación , elipse (1986).

Bibliografía

Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t. 2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ]
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (en) y Matthew Sands (en) , La La Feynman Lectures on Physics [ publicar detalles ], Electromagnetismo (I) , cap. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; Junco. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
Florence Martin-Robine, Historia del principio de acción menor , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )