El plan de Moore
En matemáticas , el plano de Moore o plano de Niemytzki , llamado así por Robert Lee Moore y Viktor Niemytzki (ru) , es un espacio topológico utilizado como contraejemplo . De hecho, es un semiplano , provisto de una topología estrictamente más fina que la topología habitual.
Definición
En el semiplano superior Γ = {( p , q ) ∈ ℝ 2 | q ≥ 0}, definimos una topología por vecindarios , de la siguiente manera:
- si q > 0, las vecindades de ( p , q ) en Γ son las mismas que sus vecindades en ℝ × ℝ + (provistas de la topología del producto , inducida por la topología habitual de ℝ 2 );
- una base de vecindades de un punto ( p , 0) del eje x se compone de {( p , 0)} ∪ D , para cualquier disco abierto D desde ℝ × ℝ + tangente en ( p , 0) a este eje, es decir, D de la forma {( x , y ) ∈ ℝ 2 | ( x - p ) 2 + ( y - r ) 2 < r 2 } para cualquier r > 0 real .
Propiedades
- El plano de Moore Γ es, por construcción, con bases contables de vecindarios .
- No es de Lindelöf . De hecho, el eje x Γ 0 = ℝ × {0} es un incontable discreto cerrado .
- Por lo tanto, Γ no tiene una base contable ni es σ compacta .
- Es separable : ℚ × ℚ + es denso .
- Por tanto, no es metrizable , ya que el subespacio Γ 0 no es separable.
- No es localmente compacto (mientras que Γ 0 y su complemento lo son claramente).
- Todavía es completamente regular .
- No es normal , ya que es separable y tiene un Γ 0 cerrado discreto que tiene la potencia del continuo o, más directamente, ya que ℚ × {0} y (ℝ \ ℚ) × {0} son dos cerrados separados no disjuntos (adentro) por dos aberturas separadas.
- No es paracompacto (ya que no es normal), ni metacompacto (en) (solo contablemente metacompacto).
Prueba de completa regularidad
Se trata de mostrar que para cualquier punto M = ( p , q ) de Γ y cualquier vecindad V de M , existe una función continua de Γ en [0, 1] que vale 0 en el punto M y 1 en el complementar de V . El único caso complicado es cuando q es cero. Si V = {( p , 0)} ∪ D con D como en la definición anterior , podemos, por ejemplo, definir f en D por: f ( N ) = d ( M , N ) / L , donde L es la longitud de el acorde de D después de M y que pasa por N .
Notas y referencias
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(en) Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , Contraejemplos en topología , Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leer en línea ), " Ejemplo 82: Topología de disco tangente de Niemytzki "
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(in) " ¿Por qué no es el Moore Flat Compact localmente? " En Math Stack Exchange
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(en) C. Wayne Patty , Fundamentos de la topología , Jones & Bartlett,2012, 2 nd ed. , 380 p. ( ISBN 978-1-4496-6865-5 , leer en línea ) , pág. 172
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