Abierto cerrado

En topología , un abierto-cerrado es un subconjunto de un espacio topológico X que está abierto y cerrado . Puede parecer contradictorio que existan tales conjuntos, ya que en el sentido habitual, "abierto" y "cerrado" son antónimos . Pero en el sentido matemático , estas dos nociones no son mutuamente excluyentes : se dice que una parte de X es cerrada si su complemento en X es abierto, por lo tanto, un abierto-cerrado es simplemente un abierto cuyo complemento también es abierto.

Ejemplos de

En cualquier espacio topológico X , el conjunto vacío y todo el espacio X son ambos abiertos-cerrados.

Un espacio es discreto si y solo si todas sus partes están abiertas-cerradas.

En una partición de un espacio abierto, todos los elementos de la partición son abiertos-cerrados, así como cualquier encuentro (posiblemente infinito) de dichos elementos. Por ejemplo :

en el espacio X = ] 0, 1 [ ∪] 2, 3 [(provisto de la topología inducida por la topología habitual de ℝ ), los dos abiertos] 0, 1 [y] 2, 3 [son complementarios entre sí , por lo tanto, también están cerrados;
en el espacio racional ℚ (dotado de la topología inducida por la de ℝ), los dos conjuntos y son abiertos-cerrados; ${\ Displaystyle \ {r \ in \ mathbb {Q} \ mid r ^ {2}> 2 \}}$ ${\ Displaystyle \ {r \ in \ mathbb {Q} \ mid r ^ {2} <2 \}}$
en un espacio X conectado localmente , cualquier unión de componentes conectados de X es un abierto-cerrado;
en un grupo topológico , cualquier subgrupo abierto también está cerrado.

En una partitura cerrada (como componentes conectados), si la partitura es finita , las partes siguen estando abiertas-cerradas. Por ejemplo: en un grupo topológico, cualquier subgrupo cerrado de índice finito es un abierto-cerrado.

Propiedades

Un espacio X se llama conectado si su abierto-cerrado sólo son ∅ y X .
Se dice que un espacio no vacío es de dimensión cero si su forma abierta-cerrada forma una base abierta .
Una parte está abierta-cerrada si y solo si su límite está vacío.
Cualquier abierto-cerrado X es una reunión (posiblemente infinitas) componentes relacionados X .
El abierto-cerrado X forman un sub álgebra de Boole del conjunto de subconjuntos de X . De acuerdo con un teorema de Stone , cualquier álgebra de Boole puede obtenerse de esta manera, para un cierto espacio compacto X y de dimensión cero (por lo tanto, completamente discontinua ).

Notas y referencias

( fr ) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Clopen set " ( ver la lista de autores ) .

Además, una pieza no suele estar abierta ni cerrada.
N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, libro III: Topología general [ detalle de ediciones ], p. I.5 , vista previa en Google Books .

Enlace externo

(en) Sidney A. Morris, " Topología sin lágrimas " ,2011