Espacio totalmente discontinuo

En matemáticas , más precisamente en topología , un espacio totalmente discontinuo es un espacio topológico que es "el menos conectado posible" en el sentido de que no tiene una parte conectada no trivial: en cualquier espacio topológico, el conjunto vacío y los singletons son . relacionados; en un espacio totalmente discontinuo, estas son las únicas partes conectadas.

Un ejemplo popular de un espacio totalmente discontinuo es el conjunto Cantor . Otro ejemplo, importante en la teoría algebraica de números , es el campo Q p de números p-ádicos .

Definición

Un espacio topológico X es totalmente discontinuo si el componente conectado de cualquier punto x de X es el singleton { x }.

Ejemplos de

Los siguientes espacios son completamente discontinuos:

• todos los espacios totalmente separados (es decir, en los que dos puntos distintos siempre pueden estar separados por un abierto-cerrado ), en particular
  • todos los espacios T 0 de dimensión cero (por lo tanto regular ), como:
    • los espacios discretos  ;
    • las partes no vacías de R con interior vacío;
    • el anillo Z p de números enteros p -ádicos , o más generalmente, cualquier grupo profina  ;
    • el derecho Sorgenfrey (este espacio, a diferencia de los anteriores, no es localmente compacto ).
  • los siguientes dos espacios (totalmente separados pero sin dimensión cero):
    • espacio de Erdős de series cuadradas sumables de racional y sus generalizaciones (cuya dimensión es 1);
    • El enrejado de Roy privado de su parte superior.
• el tipi Cantor privado de su parte superior (totalmente desconectado pero no completamente separado).

Propiedades

• Los subespacios, espacios de producto y coproductos de espacios totalmente discontinuos son totalmente discontinuos.
• Un espacio totalmente discontinuo es siempre T 1 , ya que sus singletons son cerrados.
• Una imagen continua de un espacio totalmente discontinuo no es necesariamente totalmente discontinua (por ejemplo: cualquier compacto metrizable es una imagen continua del espacio de Cantor).
• Un espacio localmente compacto es completamente discontinuo si y solo si es de dimensión cero.
• Un espacio compacto es totalmente discontinuo si y solo si está totalmente separado, y si y solo si es el espacio de Stone S ( B ) de un álgebra de Boole B (los puntos de S ( B ) son los ultrafiltros en B que no contienen 0 , y una base abierta consiste en { x ∈ S ( B ) | b ∈ x }, para el elemento b de B ); S ( B ) es extremadamente discontinuo  ( es decir, la adhesión de todos los abiertos es abierta) si y solo si B es completo  ;
• Cualquier espacio metrizable totalmente discontinuo es homeomorfo a un subespacio de un producto contable de espacios discretos.
• Para cualquier espacio topológico X , el espacio de componentes conectados de X es el cociente "mayor" de X que es totalmente discontinuo, en el sentido de que es inicial entre dichos cocientes.

Notas y referencias

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Espacio totalmente desconectado  " ( ver la lista de autores ) .
• (en) Stephen Willard , Topología general , Dover ,2012( 1 st  ed. 1970), 384  p. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , leer en línea )

1. (en) Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , contraejemplos en la topología , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978) ( leer en línea ) , p.  32-33.
2. (en) P. Erdős, "  La dimensión del punto racional en el espacio de Hilbert  " , Ann. Matemáticas. , 2 nd series, vol.  41,1940, p.  734-736 ( leer en línea ).
3. (in) Michel Coornaert, Dimensión topológica y sistemas dinámicos , Springer,2015( DOI  10.1007 / 978-3-319-19794-4 , leer en línea ) , cap.  5.1.
4. (in) Jan J. Dijkstra, "  Un criterio para los espacios de Erdős  " , Proc. Edinb. Matemáticas. Soc. , 2 nd series, vol.  48, n o  3,2005, p.  595-601 ( leer en línea ).
5. Steen y Seebach , Contraejemplos 127 (subespacio de celosía de Roy) .
6. (en) Andrew M. Gleason , "  Espacios topológicos proyectivos  " , Illinois J. Math. , vol.  2, n o  4A,1958, p.  482-489 ( leer en línea ).

Artículo relacionado

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