Operador diferencial

En matemáticas , y más precisamente en análisis , un operador diferencial es un operador que actúa sobre funciones diferenciables .

Cuando la función tiene solo una variable, el operador diferencial se construye a partir de las derivadas ordinarias.
Cuando la función tiene varias variables, el operador diferencial se construye a partir de las derivadas parciales .

Ejemplos de

La operación diferencial más común consiste simplemente en tomar la derivada de la cantidad considerada. Las notaciones habituales para denotar la primera derivada con respecto a una variable $x$ son, por ejemplo:

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}}}

o , o incluso o .

{\ estilo de visualización \ parcial _ {x}}

D

{\ Displaystyle D_ {x}}

La notación D se atribuye a Oliver Heaviside , quien la introdujo en su estudio de ecuaciones diferenciales para notar operadores diferenciales de la forma:

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}}

Para derivadas de orden superior n , estos mismos operadores se pueden escribir:

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}}}

, o de nuevo

{\ estilo de visualización \ parcial _ {x ^ {n}} ^ {n}}

{\ Displaystyle D_ {x} ^ {n}}

La notación "prima" se usa más bien para expresar el valor que toma una función derivada f para un argumento x :

{\ Displaystyle f '(x) \, \!}

, o :

{\ Displaystyle [f (x)] '\, \!}

Dos operadores diferenciales particularmente frecuentes son el operador nabla , definido en base cartesiana , por: ${\ Displaystyle (\ mathbf {i} _ {1}, ..., \ mathbf {i} _ {n})}$

{\ Displaystyle \ nabla = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ parcial \ sobre \ parcial x_ {k}} \ mathbf {i} _ {k},}

así como el operador laplaciano , definido por:

{\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}.}

Otro operador utilizado en física es el operador Θ, cuyos vectores propios son los monomios homogéneos, definidos por

{\ Displaystyle \ Theta = z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

o, en el caso de varias variables,

{\ Displaystyle \ Theta = \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}.}

Notaciones

Dejar ser un abierto de , y un punto de . Introducimos las coordenadas . Supongamos que tenemos una función de las variables . $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $X$ $\Omega$ $no$ $x_ {k} {\ mbox {}} (k = 1, ..., n)$ $no$ $x_k$

Derivadas de primer orden

Para simplificar las escrituras, generalmente se observa la primera derivada parcial en comparación con la coordenada del símbolo: $x_k$

\ parcial _ {k} \ = \ {\ frac {\ parcial ~~} {\ parcial x_ {k}}}

También tenemos que introducir el operador diferencial de primer orden definido por: ${\ mathrm D} _ {k}$

{\ mathrm D} _ {k} \ = \ - \ i \ \ parcial _ {k} \ = \ - \ i \ {\ frac {\ parcial ~~} {\ parcial x_ {k}}}

En esta definición, es el complejo "raíz de la unidad" . El interés de definir este operador aparecerá más adelante, en relación con la transformada de Fourier . $I$ $yo ^ 2 = -1$ ${\ mathrm D} _ {k}$

Usamos notaciones en forma de índices múltiples: un índice múltiple es una tupla de enteros $\alfa$ $no$

\ alpha \ = \ \ left (\ alpha _ {1}, \ \ dots, \ \ alpha _ {n} \ right) \; \ quad \ \ alpha _ {k} \, \ in \, {\ mathbb { NO}}

Su longitud se define como la suma de y finalmente definimos el multifactorial : $| \ alpha |$ $\ alpha_i$

\ alpha \ ,! \ = \ \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} (\, \ alpha _ {k} \ ,! \,) \ = \ \ alpha _ {1} \ ,! \ \ veces \ \ puntos \ \ veces \ \ alpha _ {n} \,!

Derivados de órdenes superiores

La derivada parcial de orden con respecto a la coordenada corresponde al símbolo: $\ alpha_k$ $x_k$

\ parcial _ {k} ^ {{\ alpha _ {k}}}

Luego definimos las derivadas parciales, de orden global : $| \ alpha |$

\ parcial ^ {{\ alpha}} \ = \ \ parcial _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ \ puntos \ \ parcial _ {n} ^ {{\ alpha _ {n}}}

Y los operadores diferenciales , de orden global : ${\ mathrm D} ^ {{\ alpha}}$ $| \ alpha |$

{\ mathrm D} ^ {{\ alpha}} \ = \ {\ mathrm D} _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ \ dots \ {\ mathrm D} _ {n} ^ { {\ alpha _ {n}}}

Definición de operador diferencial

Definición

Un operador diferencial lineal de orden se define por: $metro$

{\ mathfrak {D}} \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ {\ mathrm D} ^ {{\ alpha }}

donde son funciones de variables, llamadas coeficientes del operador . $a _ {{\ alpha}} (x)$ $no$ ${\ mathfrak {D}}$

Propiedad de la localidad

Un operador diferencial es local en el sentido de que, para determinar sus efectos sobre una función suficientemente diferenciable, solo es necesario el conocimiento de la función en la vecindad del punto . ${\ mathfrak {D}}$ ${\ mathfrak {D}} \, f (x)$ $f (x)$ $X$

Transformada de Fourier

Introducción de la transformada de Fourier

Definimos aquí la transformada de Fourier de la función de variables por: $f (x)$ $no$ $x_ {k} {\ mbox {}} (k = 1, ..., n)$

{\ hat {f}} (\ xi) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} x \ e ^ {{- \, i \, < \, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ f (x)

En esta definición:

hay una tupla que consta de las variables . $\ xi$ $no$ $\ xi _ {k} {\ mbox {}} (k = 1, ..., n)$
la medida es: . ${\ mathrm d} x = \ prod _ {{k = 1}} ^ {{n}} {\ mathrm d} x_ {k}$
El factor de la exponencial oscilante denota el producto escalar: . $<\ xi \ ,, \, x>$ $<\ xi \ ,, \, x> = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} x_ {k} \, \ xi _ {k}$

Luego se escribe la fórmula de transformación inversa:

f (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, < \, \ xi, \, x \,>}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

donde la medida es: con . ${\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ = \ {\ frac {{\ mathrm d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ quad$ ${\ mathrm d} \ xi = \ prod _ {{k = 1}} ^ {{n}} {\ mathrm d} \ xi _ {k}$

Aplicación a operadores diferenciales

Apliquemos el operador diferencial a la representación de Fourier de la función . Suponiendo que podemos invertir la derivación y la integración, obtenemos: ${\ mathrm D} _ {k} = - \, i \, \ parcial _ {k}$ $F$

{\ mathrm D} _ {k} \, f (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ \ izquierda (\ - \ i \ \ parcial _ {k} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ derecha) \ {\ hat { f}} (\ xi) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ xi _ {k} \ {\ hat {f}} (\ xi)

podemos escribir: . Deducimos que: $(\ widehat {{\ mathrm D} _ {k} \, f}) (\ xi) = \ xi _ {k} \ {\ hat {f}} (\ xi)$

(\ widehat {{\ mathrm D} ^ {{\ alpha}} \, f}) (\ xi) \ = \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

donde: . Por tanto, el operador de orden diferencial verifica la relación: $\ xi ^ {{\ alpha}} = \ xi _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ \ veces \ \ puntos \ \ veces \ \ xi _ {n} ^ {{\ alpha _ { no}}}$ ${\ mathfrak {D}}$ $metro$

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \ , x \,>}} \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Podemos invertir la suma y la integral para escribir:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ left (\ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a_ {{\ alpha}} (x) \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ \ right) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Símbolo de un operador diferencial

Llamamos al símbolo del operador diferencial de orden la función de las variables polinomiales en grados : ${\ mathfrak {D}}$ $metro$ $\ sigma (x, \ xi)$ $2n$ $(x, \ xi)$ $\ xi$ $metro$

\ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ xi ^ {{\ alpha}}

de tal manera que :

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Se puede ver que esta fórmula podría permitir definir el operador a partir de su símbolo . Esta idea se utilizará bien en la teoría de operadores pseudo-diferenciales . ${\ mathfrak {D}}$ $\ sigma$

Advertencia : para un operador diferencial cuyos coeficientes no son constantes, el símbolo depende de las coordenadas del espacio , y la expresión no es la transformada de Fourier de , es decir que: $a _ {{\ alpha}} (x)$ $\ sigma (x, \ xi)$ $X$ $\ sigma (x, \ xi) \, {\ hat {f}} (\ xi)$ $({\ mathfrak {D}} \, f) (x)$

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ \ neq \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

La fórmula correcta de la transformada de Fourier se calcula en el párrafo “ Caso general ” .

Símbolo principal de un operador diferencial

Llamamos función al símbolo principal del operador diferencial de orden : ${\ mathfrak {D}}$ $metro$

\ sigma _ {m} (x, \ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = m}} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ xi ^ {{\ alpha}}

Clasificación de operadores diferenciales

Operador elíptico

Se dice que el operador diferencial es elíptico en el punto si y solo si: ${\ mathfrak {D}}$ $x \ \ in \ \ Omega$

\ forall \ \ xi \ \ in \ \ mathbb {R} ^ {n} \ barra invertida \ {0 \} \, \ quad \ sigma _ {m} (x, \ xi) \ \ neq \ 0

${\ mathfrak {D}}$ se dice que es elíptica en si es elíptica para cualquier punto . $\Omega$ $x \ \ in \ \ Omega$

Operador hiperbólico

Se dice que el operador diferencial es hiperbólico en la dirección en el punto si y solo si: y si, para todo lo que no sea colineal con , las raíces de la ecuación: ${\ mathfrak {D}}$ $\ eta$ $x \ \ in \ \ Omega$ $\ sigma _ {m} (x, \ eta) \ neq 0$ $\ xi$ $\ eta$ $\ lambda _ {i}$

\ sigma _ {m} (x, \ \ xi \ + \ \ lambda \, \ eta) \ = \ 0

son todos reales. Si, además, las raíces reales son todas distintas, se dice que el operador es estrictamente hiperbólico en la dirección . $metro$ ${\ mathfrak {D}}$ $\ eta$

${\ mathfrak {D}}$ se dice que es (estrictamente) hiperbólico en la dirección de si es estrictamente hiperbólico en la dirección de cualquier punto . $\ eta$ $\Omega$ $\ eta$ $x \ \ in \ \ Omega$

Ejemplos importantes de física teórica

La física teórica hace un uso abundante de tres operadores de orden 2:

Operador laplaciano

El operador laplaciano es un operador elíptico, que se escribe:

en coordenadas cartesianas en : $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ Delta \ = \ \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ {\ frac {\ parcial ^ {2} ~~} {\ parcial x_ {k} ^ {2}}}$
ya sea en coordenadas cartesianas tridimensionales: $\ Delta \ = \ {\ frac {\ parcial ^ {2} ~~} {\ parcial x ^ {2}}} \ + \ {\ frac {\ parcial ^ {2} ~~} {\ parcial y ^ { 2}}} \ + \ {\ frac {\ parcial ^ {2} ~~} {\ parcial z ^ {2}}}$

Este operador se utiliza en particular en la mecánica newtoniana , en el electromagnetismo y en la mecánica cuántica no relativista.

Operador alambertiano

El operador Alembertian es un operador hiperbólico, que está escrito en coordenadas cartesianas en : $(x, t)$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$

\ Box \ = \ {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ {\ frac {\ parcial ^ {2} ~~} {\ parcial t ^ {2}}} \ - \ \ Delta

donde es el laplaciano con variables espaciales, es el tiempo, y una constante positiva, homogénea a una velocidad . Este operador se utiliza para describir la propagación de ondas a velocidad en el espacio-tiempo. Se utiliza en particular en acústica , electromagnetismo y teoría cuántica de campos . $\Delta$ $no$ $t$ $vs$ $vs$

Operador de calor

El operador de calor, que está escrito en coordenadas cartesianas en : $(x, t)$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$

{\ frac {\ parcial ~} {\ parcial t}} \ - \ {\ tilde {D}} \ \ Delta

donde es el laplaciano con variables espaciales, es el tiempo, y aquí hay una constante, llamada coeficiente de difusión . Se dice que este operador es parabólico . $\Delta$ $no$ $t$ ${\ tilde {D}}$

Operador diferencial con coeficientes constantes

Si los coeficientes son independientes de las variables espaciales , el símbolo del operador diferencial de orden es solo una función de las variables polinómicas en : $a _ {{\ alpha}}$ $no$ $x ^ {k}$ ${\ mathfrak {D}}$ $metro$ $\ sigma (\ xi)$ $no$ $\ xi$ $\ xi$

\ sigma (\ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} \ \ xi ^ {{\ alpha}}

de tal manera que :

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ = \ \ sigma (\ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

El símbolo principal del operador diferencial de orden de coeficiente constante es la función de las variables : ${\ mathfrak {D}}$ $metro$ $no$ $\ xi$

\ sigma _ {m} (\ xi) = \ sum _ {{| \ alpha | = m}} \ a _ {{\ alpha}} \ \ xi ^ {{\ alpha}}

Caso general

Vimos eso arriba:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Para un operador diferencial cuyos coeficientes no son constantes, el símbolo depende de las coordenadas del espacio , y tenemos: $a _ {{\ alpha}} (x)$ $\ sigma (x, \ xi)$ $X$

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ \ neq \ \ sigma (x, \ xi) \ {\ hat {f}} (\ xi)

Expresión de la transformada de Fourier

Empecemos por la relación general:

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ a _ {{\ alpha}} (x) \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \ , x \,>}} \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Si introducimos la transformada de Fourier de los coeficientes:

a _ {{\ alpha}} (x) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ eta}} \ e ^ {{ + \, i \, <\, \ eta \ ,, \, x \,>}} \ {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} (\ eta)

obtenemos :

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ eta}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ eta \ ,, \, x \,>}} \ {\ hat {a }} _ {{\ alpha}} (\ eta) \ \ times \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, \ xi \ ,, \, x \,>}} \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

es :

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ eta}} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, (\ xi + \ eta) \ ,, \, x \,>}} \ {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} (\ eta) \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Con fijo, hacemos el cambio de variable :, que da: $\ xi$ $\ eta \ to t = \ xi + \ eta$

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {t}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, t \ ,, \, x \,>}} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} (t- \ xi) \ \ xi ^ { {\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

Reconocemos el producto de convolución :

\ left (\, {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} \ * \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} \, \ right) (t) \ = \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {\ xi}} \ {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} (t- \ xi) \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} (\ xi)

de donde :

({\ mathfrak {D}} \, f) (x) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ { n}}} {\ mathrm d} {\ tilde {t}} \ e ^ {{+ \, i \, <\, t \ ,, \, x \,>}} \ \ left (\, {\ hat {a}} _ {{\ alpha}} \ * \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} \, \ right) (t)

que podemos reescribir:

(\ widehat {{\ mathfrak {D}} \, f}) (\ xi) \ = \ \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {m} \ \ left (\, {\ hat { a}} _ {{\ alpha}} \ * \ \ xi ^ {{\ alpha}} \ {\ hat {f}} \, \ right) (\ xi)

Notas y referencias

(en) EW Weisstein, " Theta Operator " (consultado el 12 de junio de 2009 )

Ver también

Bibliografía

(en) Lars Hörmander , El análisis de operadores diferenciales parciales lineales , Springer-Verlag, 1983-1985. Tratado de referencia en cuatro volúmenes, del ganador de la Medalla Fields de 1962. El volumen I está subtitulado: Teoría de la distribución y análisis de Fourier , y el volumen II: Operadores diferenciales con coeficientes constantes . Los volúmenes III y IV están dedicados a la teoría moderna a través de operadores pseudo-diferenciales .
(en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators , Springer-Verlag, 1963. Este libro contiene obras por las que el autor recibió la medalla Fields en 1962.
(in) Yu. V. Egorov y MA Shubin (en) , Fundamentos de la teoría clásica de Ecuaciones en derivadas parciales , Springer-Verlag, 2 ª ed., 1998 ( ISBN 3-540-63825-3 ) . Primer volumen de una serie de nueve partes escrita para la Enciclopedia de Ciencias Matemáticas . Los siguientes volúmenes están dedicados a la teoría moderna a través de operadores pseudo-diferenciales .
(en) Michael E. Taylor (en) , Ecuaciones diferenciales parciales - Teoría básica , coll. "Textos en Matemáticas Aplicadas" ( n o 23), Springer-Verlag, 2 ª ed. 1999 ( ISBN 0-387-94654-3 ) . Primer volumen de una serie que incluye tres. Los siguientes volúmenes están dedicados a la teoría moderna a través de operadores pseudo-diferenciales .