Operador pseudo-diferencial
En el análisis matemático , un operador pseudo-diferencial es una extensión del concepto familiar de operador diferencial , permitiendo notablemente la inclusión de órdenes de derivación no enteras . Estos operadores pseudo-diferenciales se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y en la teoría cuántica de campos .
Recordatorios y calificaciones
Las notaciones introducidas en el artículo del operador diferencial se repiten a continuación .
Operador diferencial
Recuerde que un operador diferencial lineal de orden se escribe:
metro{\ Displaystyle m}![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
D=∑|α|=0metroaα(X)Dα{\ Displaystyle {\ mathfrak {D}} = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha}}
donde los , llamados coeficientes del operador , son funciones de las variables espaciales .
aα(X){\ Displaystyle a _ {\ alpha} (x)}
D{\ Displaystyle {\ mathfrak {D}}}
no{\ Displaystyle n}
Xk,k=1,...,no{\ Displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ dots, n}![{\ Displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ dots, n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf63167914833edc7a7def170ad42c8d3e5119f)
Introducción de la transformada de Fourier
Definición
Definimos aquí la transformada de Fourier de la función de variables por:
F{\ Displaystyle f}
no{\ Displaystyle n}![no](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
F^(ξ)=∫mi-Iξ⋅XF(X)DX{\ Displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} f (x) \; \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} f (x) \; \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b7e8609c94a768e48b1d8aebc06bf9b600865b)
.
Luego se escribe la fórmula de transformación inversa:
F(X)=1(2π)no∫mi+Iξ⋅XF^(ξ)Dξ{\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}![{\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c3a412a4fbf46e46383006fcde60d7c72fe518)
.
Aplicación a operadores diferenciales
El símbolo del operador diferencial de orden es la función de las variables polinómicas en :
D{\ Displaystyle {\ mathfrak {D}}}
metro{\ Displaystyle m}
σ(X,ξ){\ Displaystyle \ sigma (x, \ xi)}
2no{\ Displaystyle 2n}
(X,ξ){\ Displaystyle (x, \ xi)}
ξ{\ Displaystyle \ xi}![\ xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
σ(X,ξ)=∑|α|=0metroaα(X)ξα{\ Displaystyle \ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}}![{\ Displaystyle \ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accf5a3a5fd7dd7eb1c4ebbb5ecea953ca2644d9)
.
El operador diferencial lineal de orden luego verifica la relación:
D{\ Displaystyle {\ mathfrak {D}}}
metro{\ Displaystyle m}![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
(DF)(X)=∫Dξ(2π)nomi+Iξ⋅Xσ(X,ξ)F^(ξ){\ Displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} \ sigma (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ Displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} \ sigma (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124ba776be5fbee4555b41367e5445070464211e)
.
Se puede ver que esta fórmula podría permitir definir el operador a partir de su símbolo . Daremos un buen uso a esta idea en el siguiente párrafo.
D{\ Displaystyle {\ mathfrak {D}}}
σ(X,ξ){\ Displaystyle \ sigma (x, \ xi)}![\ sigma (x, \ xi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1252e8314cc834fcc67f22d1be6863fcdcea2889)
Introducción: operador pseudo-diferencial con coeficientes constantes
Operador diferencial con coeficientes constantes
Si los coeficientes del operador diferencial de orden son independientes de las variables espaciales , su símbolo es solo una función de las variables polinómicas en :
aα{\ Displaystyle a _ {\ alpha}}
D{\ Displaystyle {\ mathfrak {D}}}
metro{\ Displaystyle m}
no{\ Displaystyle n}
Xk{\ Displaystyle x ^ {k}}
σ(ξ){\ Displaystyle \ sigma (\ xi)}
no{\ Displaystyle n}
ξ{\ Displaystyle \ xi}
ξ{\ Displaystyle \ xi}![\ xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
σ(ξ)=∑|α|=0metroaαξα{\ Displaystyle \ sigma (\ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} \ xi ^ {\ alpha}}
de tal manera que :
(DF)(X)=∫Dξ(2π)nomi+IξXσ(ξ)F^(ξ){\ Displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi x} \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}
o nuevamente, usando la transformada inversa de Fourier:
(DF^)(ξ)=σ(ξ)F^(ξ){\ Displaystyle ({\ widehat {{\ mathfrak {D}} f}}) (\ xi) = \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ Displaystyle ({\ widehat {{\ mathfrak {D}} f}}) (\ xi) = \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ef714ba6ad99bdc638228b1d9d3ef2fbd028c7)
.
Definición: operador pseudo-diferencial con coeficientes constantes
Sea una función de las variables . Nos asociamos con esta función un operador de pseudo-diferenciales con coeficientes constantes, cuya acción sobre una función está definida por la siguiente integral:
pag{\ Displaystyle p}
no{\ Displaystyle n}
ξ{\ Displaystyle \ xi}
PAGD{\ Displaystyle P_ {D}}
F{\ Displaystyle f}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
(PAGDF)(X)=∫Dξ(2π)nomi+Iξ⋅Xpag(ξ)F^(ξ){\ Displaystyle (P_ {D} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ Displaystyle (P_ {D} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20910cdd04feed1d5ff178172fd4129936323a85)
.
Para que la integral tenga significado, el símbolo debe tener algunas propiedades "buenas":
pag(ξ){\ Displaystyle p (\ xi)}![{\ Displaystyle p (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722a5061e1a6b168527e738b8419a82fa7a770cb)
- la función debe ser fluida ;pag(ξ){\ Displaystyle p (\ xi)}
![{\ Displaystyle p (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722a5061e1a6b168527e738b8419a82fa7a770cb)
- la función debe tener un crecimiento templado cuando , este crecimiento templado también debe mejorar por derivación. Por analogía con el caso de un operador diferencial de orden , donde este crecimiento es polinomio , nos vemos llevados a preguntar aquí si existe un número tal que:pag(ξ){\ Displaystyle p (\ xi)}
|ξ|→∞{\ Displaystyle | \ xi | \ to \ infty}
metro{\ Displaystyle m}
metro{\ Displaystyle m}![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
∀α|∂ξαpag(ξ)|≤VSα(1+|ξ|)metro-|α|{\ Displaystyle \ forall \ alpha \ quad \ left | \ partial _ {\ xi} ^ {\ alpha} p (\ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha} \ left (1+ | \ xi | \ derecha) ^ {m- | \ alpha |}}
donde son constantes, de las que puede depender .
VSα{\ Displaystyle C _ {\ alpha}}
α{\ Displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Cálculo simbólico exacto
Sean y dos operadores pseudo-diferenciales con coeficientes constantes, definidos respectivamente por los símbolos y . Entonces, el operador sigue siendo un operador pseudo-diferencial con coeficientes constantes, cuyo símbolo es el producto .
PAG1{\ Displaystyle P_ {1}}
PAG2{\ Displaystyle P_ {2}}
pag1(ξ){\ Displaystyle p_ {1} (\ xi)}
pag2(ξ){\ Displaystyle p_ {2} (\ xi)}
PAG=PAG1PAG2{\ Displaystyle P = P_ {1} P_ {2}}
pag1(ξ)pag2(ξ){\ Displaystyle p_ {1} (\ xi) p_ {2} (\ xi)}![{\ Displaystyle p_ {1} (\ xi) p_ {2} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3247197c9b35fca3cbf7583f0206e049434db1f1)
Operador pseudo-diferencial: caso general
Definición
Sea una función de las variables . Nos asociamos con esta función un operador de pseudo-diferencial , cuya acción sobre una función está definida por la siguiente integral:
pag(X,ξ){\ Displaystyle p (x, \ xi)}
2no{\ Displaystyle 2n}
(X,ξ){\ Displaystyle (x, \ xi)}
PAGD{\ Displaystyle P_ {D}}
F{\ Displaystyle f}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
(PAGDF)(X)=1(2π)no∫mi+Iξ⋅Xpag(X,ξ)F^(ξ)Dξ{\ Displaystyle (P_ {D} f) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}![{\ Displaystyle (P_ {D} f) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9de730f8d85fa5e0c55222a194bbdbc37872f89)
.
Nota: Tenga en cuenta que a veces pseudo-operador diferencial de su símbolo de la siguiente manera: .
PAGD=pag(X,D){\ Displaystyle P_ {D} = p (x, D)}![{\ Displaystyle P_ {D} = p (x, D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee12a759b9364bb4d8148c412587fa6a2de359e8)
Propiedades de símbolo requeridas
Para que la integral tenga significado, el símbolo debe tener algunas propiedades "buenas", que se enumeran a continuación:
pag(X,ξ){\ Displaystyle p (x, \ xi)}![{\ Displaystyle p (x, \ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657d9ea5d51566bab68b4df5eb1c2c68167a851e)
- la función debe tener un crecimiento templado cuando , este crecimiento templado también debe mejorar por derivación. Por analogía con el caso de un operador diferencial de orden , donde este crecimiento es polinomio , nos vemos llevados a preguntar aquí si existe un número tal quepag(X,ξ){\ Displaystyle p (x, \ xi)}
|ξ|→∞{\ Displaystyle | \ xi | \ to \ infty}
metro{\ Displaystyle m}
metro{\ Displaystyle m}
∀α|∂ξαpag(X,ξ)|≤VSα(1+|ξ|)metro-|α|{\ Displaystyle \ forall \ alpha \ quad \ left | \ partial _ {\ xi} ^ {\ alpha} p (x, \ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha} \ left (1+ | \ xi | \ right) ^ {m- | \ alpha |}}
donde son constantes, de las que puede depender ;VSα{\ Displaystyle C _ {\ alpha}}
α{\ Displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
- la función debe tener una variación lenta en las variables espaciales . Pedimos explícitamente quepag(X,ξ){\ Displaystyle p (x, \ xi)}
X{\ Displaystyle x}
∀α,|∂Xαpag(X,ξ)|≤VSα(1+|ξ|)metro{\ Displaystyle \ forall \ alpha, \ quad \ left | \ partial _ {x} ^ {\ alpha} p (x, \ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha} \ left (1+ | \ xi | \ derecha) ^ {m}}
.
Estas dos condiciones se pueden combinar en una, que se utiliza a continuación para definir mejor la clase de símbolos de orden .
metro{\ Displaystyle m}![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
Clase de símbolos de orden m
Sea un compacto y una función suave de . Sea cualquier número real. La clase de símbolos de orden se define por:
Ω⊂Rno{\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}
pag(X,ξ){\ Displaystyle p (x, \ xi)}
VS∞(Ω×Rno){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
metro{\ Displaystyle m}
Smetro(Ω×Rno){\ Displaystyle S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
metro{\ Displaystyle m}![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
Smetro(Ω×Rno)={pag(X,ξ)∣|∂ξα∂Xβpag(X,ξ)|≤VSα,β,Ω(1+|ξ|)metro-|α|}{\ Displaystyle S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n}) = \ left \ {p (x, \ xi) \ mid \ left | \ parcial _ {\ xi} ^ {\ alfa} \ parcial _ {x} ^ {\ beta} p (x, \ xi) \ derecha | \ leq C _ {\ alpha, \ beta, \ Omega} \ izquierda (1+ | \ xi | \ derecha) ^ {m- | \ alpha |} \ right \}}
para todos ,, y para todos los multi-índices . El son constantes, que pueden depender de y .
X∈Ω{\ Displaystyle x \ in \ Omega}
ξ∈Rno{\ Displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
α,β{\ Displaystyle \ alpha, \ beta}
VSα,β,Ω{\ Displaystyle C _ {\ alpha, \ beta, \ Omega}}
α,β{\ Displaystyle \ alpha, \ beta}
Ω{\ Displaystyle \ Omega}![\Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Nota: Cuando la mención compacto es indiferente, sino que simplemente señala: .
Ω{\ Displaystyle \ Omega}
Smetro=Smetro(Ω×Rno){\ Displaystyle S ^ {m} = S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}![{\ Displaystyle S ^ {m} = S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6549637b08e556fbf2edcb3be9f012bee46018ba)
A menudo denotamos el conjunto de operadores pseudo-diferenciales con símbolo enΨmetro{\ Displaystyle \ Psi ^ {m}}
Smetro{\ Displaystyle S ^ {m}}
Propiedad de pseudo-localidad
Soporte singular de una distribución
Llamamos al soporte singular de una distribución el complemento del conjunto de puntos en cuya vecindad es una función .
tu{\ Displaystyle u}
tu{\ Displaystyle u}
VS∞{\ Displaystyle C ^ {\ infty}}![{\ Displaystyle C ^ {\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
Cálculo simbólico
Sean elementos de . Entonces el operador es también un operador pseudo-diferencial, cuyo símbolo, al que pertenece, está dado por una suma asintótica cuyo primer término espagj,(j=1,2){\ Displaystyle p_ {j}, (j = 1,2)}
Smetroj(Rno×Rno){\ Displaystyle S ^ {m_ {j}} (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
pag1(X,D)∘pag2(X,D){\ Displaystyle p_ {1} (x, D) \ circ p_ {2} (x, D)}
Smetro1+metro2{\ Displaystyle S ^ {m_ {1} + m_ {2}}}
pag1(X,ξ)pag2(X,ξ){\ Displaystyle p_ {1} (x, \ xi) p_ {2} (x, \ xi)}
Continuidad en los espacios de Sobolev
Denotamos el espacio de orden estándar de Sobolev en . Sean y sean dos números reales. Un operador pseudo-diferencial de orden en ( es decir, un elemento de ) es continuo desde adentro .
Hs(Rno){\ Displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}
s{\ Displaystyle s}
Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
s{\ Displaystyle s}
metro{\ Displaystyle m}
metro{\ Displaystyle m}
Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Ψmetro{\ Displaystyle \ Psi ^ {m}}
Hs(Rno){\ Displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}
Hs-metro(Rno){\ Displaystyle H ^ {sm} (\ mathbb {R} ^ {n})}![{\ Displaystyle H ^ {sm} (\ mathbb {R} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6d8ba0f270b4ca68c143c3bc057d71aae80bc6)
Propiedad de pseudo-localidad
Cualquiera de los dos, el núcleo de . Así es para . En particular, para cualquier distribución templada , suministre suministro .
a∈Smetro{\ Displaystyle a \ en S ^ {m}}
K{\ Displaystyle K}
a(X,D){\ Displaystyle a (x, D)}
K{\ Displaystyle K}
VS∞{\ Displaystyle C ^ {\ infty}}
X≠y{\ Displaystyle x \ neq y}
tu{\ Displaystyle u}
a(X,D)tu⊂{\ Displaystyle a (x, D) u \ subconjunto}
tu{\ Displaystyle u}![tu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
Biblioteca virtual
(en) MS Joshi, Conferencias sobre operadores pseudo-diferenciales , curso disponible en arXiv .
Bibliografía
- Serge Alinhac y Patrick Gérard, Operadores pseudo-diferenciales y teorema de Nash-Moser , coll. “Conocimientos actuales”, EDP Sciences / CNRS éditions, 1991 ( ISBN 2-86883-363-2 ) . Resultado de un curso impartido en la École normale supérieure como parte del magistère en matemáticas, este libro está dirigido a estudiantes de posgrado en matemáticas que deseen adquirir una formación básica en análisis.
- Jacques Chazarain y Alain Piriou, Introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales , Gauthier-Villars, 1981 ( ISBN 2-04-012157-9 ) .
-
(in) Yu. V. Egorov y MA Shubin (en) , Elementos de la teoría moderna de Ecuaciones en derivadas parciales , Springer-Verlag, 2 ª ed. 1999 ( ISBN 3-540-65377-5 ) . Este libro sigue el volumen de introducción: Fundamentos de la teoría clásica de Ecuaciones en derivadas parciales , Springer-Verlag, 2 ª ed., 1998 ( ISBN 3-540-63825-3 ) .
-
(en) Lars Hörmander , El análisis de operadores diferenciales parciales lineales , Springer-Verlag, 1983-1985. Tratado de referencia de cuatro volúmenes, por el recipiente de la Medalla Fields de 1962. El Volumen III está titulado: Operadores Pseudo-Diferenciales y Volumen IV: Operadores Integrales de Fourier .
-
(en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators , Springer-Verlag, 1963. Este libro contiene obras por las que el autor recibió la medalla Fields en 1962.
-
(en) MA Shubin, Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral , Springer-Verlag, 2001 ( ISBN 3-540-41195-X ) .
-
(en) Michael E. Taylor (en) , Operadores pseudodiferenciales , Princeton Univ. Prensa, 1981 ( ISBN 0-691-08282-0 ) .
-
(en) Michael E. Taylor, Ecuaciones diferenciales parciales II - Estudios cualitativos de ecuaciones lineales , coll. "Applied Mathematical Sciences" ( n o 116), Springer-Verlag, 2 ª ed., 1997 ( ISBN 0-387-94651-9 ) . Este libro es una continuación del volumen introductorio: Ecuaciones diferenciales parciales - Teoría básica , coll. "Textos en Matemáticas Aplicadas" ( n o 23), Springer-Verlag, 2 ª ed. 1999 ( ISBN 0-387-94654-3 ) .
-
(fr) Michael E. Taylor, Ecuaciones diferenciales parciales III - Ecuaciones no lineales , coll. "Applied Mathematical Sciences" ( n o 117), Springer-Verlag, 2 ª ed., 1997 ( ISBN 0-387-94652-7 ) .
-
(en) François Treves , Introducción a los operadores pseudodiferenciales e integrales de Fourier , coll. "University Series in Mathematics", Plenum Publ., 1981 ( ISBN 0-306-40404-4 ) .
Nota
-
Esta fórmula es falsa cuando los coeficientes del operador diferencial no son constantes.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">