Independencia lineal

En álgebra lineal , dada una familia de vectores del mismo espacio vectorial , los vectores de la familia son linealmente independientes , o forman una familia libre , si la única combinación lineal de estos vectores que es igual al vector cero es aquella de la cual todos los coeficientes son cero. Esto equivale a decir que ninguno de los vectores de la familia es una combinación lineal de los demás.

En el caso de que los vectores no sean linealmente independientes, decimos que son linealmente dependientes o que forman una familia vinculada .

Definiciones

Sea E un espacio vectorial y K su campo de escalares .

Se dice que una familia (finita o infinita) de vectores de E es libre, o nuevamente, la familia consiste en vectores "linealmente independientes" , si la única combinación lineal de los vectores igual al vector cero 0 E es aquella de la cual todos los coeficientes son cero (en otras palabras: si alguna combinación lineal de los coeficientes no todo cero es diferente del vector cero). (vI)I∈I{\ Displaystyle (v_ {i}) _ {i \ in I}}vI{\ Displaystyle v_ {i}}vI{\ Displaystyle v_ {i}}

• Cuando se trata de una familia finita , esta condición se escribe:(vI)1≤I≤no{\ Displaystyle (v_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}∀(a1,...,ano)∈Kno,(a1v1+⋯+anovno=0mi⇒a1=a2=⋯=ano=0K).{\ Displaystyle \ forall (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in K ^ {n}, \ quad \ left (a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ { n} = 0_ {E} \ Rightarrow a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0_ {K} \ right).}
• Cuando la familia es arbitraria (finita o no), la condición se escribe:(vI)I∈I{\ Displaystyle (v_ {i}) _ {i \ in I}}∀(aI)∈K(I),(∑aIvI=0mi⇒∀I∈I, aI=0),{\ Displaystyle \ forall (a_ {i}) \ in K ^ {(I)}, \ quad \ left (\ sum a_ {i} v_ {i} = 0_ {E} \ Rightarrow \ forall i \ in I, ~ a_ {i} = 0 \ right),}donde un elemento de K ( I ) es una familia, indexada por I , de escalares todos cero excepto un número finito.

De lo contrario, se dice que los vectores son linealmente dependientes, o se dice que la familia está vinculada. Por lo tanto, es una familia vinculada de vectores si existe una familia de elementos de K todos cero excepto un número finito distinto de cero , tal que (vI)I∈I{\ Displaystyle (v_ {i}) _ {i \ in I}}(aj)j∈I{\ Displaystyle (a_ {j}) _ {j \ in I}}

∑I∈IaIvI=0mi.{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} v_ {i} = 0_ {E}.}

Con base en los conceptos de familia libre o ligada, éstos se definen en parte libre o ligada: una parte A de E se llama libre si la familia (resp ligada) es. (a)a∈A{\ Displaystyle (a) _ {a \ in A}}

Ejemplos de

Ejemplo 0

En el espacio vectorial ℝ 3 , los tres vectores (2, –1, 1), (1, 0, 1) y (3, –1, 2) forman una familia relacionada porque (2, –1, 1) + ( 1, 0, 1) - (3, –1, 2) = (0, 0, 0).

Ejemplo 1

En el espacio vectorial ℝ 4 , los tres vectores (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) y (6, 2, 4, –3) son linealmente independientes porque sus coordenadas, dispuestas en yuxtaposición columnas, forman una matriz

(42620213430-3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}

cuyo rango es igual al número de vectores. De hecho, el 3-menor

|20213430-3|=-36{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {vmatrix}} = - 36}

es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz es 3.

Ejemplo 2

Cualquier base es (por definición) una familia libre, en particular la base canónica del K- espacio vectorial K n .

Ejemplo 3

En el espacio vectorial real de funciones en ℝ ℝ , el conjunto infinito no contables funciones para real es gratuita. Fλ:t↦miλt{\ Displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ Displaystyle \ lambda}

Demostración

O tal que (aλ)λ∈R∈R(NO){\ Displaystyle (a _ {\ lambda}) _ {\ lambda \ in \ mathbb {R}} \ in \ mathbb {R} ^ {(\ mathbb {N})}}

∑aλFλ=0.{\ Displaystyle \ sum a _ {\ lambda} f _ {\ lambda} = 0.}

Si el número n de los reales para los cuales es distinto de cero, anotándolos y anotando los coeficientes asociados, se reescribe la ecuación: λ{\ Displaystyle \ lambda}aλ≠0{\ Displaystyle a _ {\ lambda} \ neq 0}λ1,...,λno{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}a1,...,ano{\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}

∑k=1noakFλk=0.{\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} f _ {\ lambda _ {k}} = 0.}

Al establecer y evaluar la ecuación anterior en los reales 0, 1, 2,…, n - 1, obtenemos que la matriz de VandermondeXk=miλk{\ Displaystyle x_ {k} = {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {k}}}

(1X1X12...X1no-11X2X22...X2no-11X3X32...X3no-1⋯⋯⋯⋯⋯1XnoXno2...Xnono-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ dots & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ dots & x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {3} & x_ {3} ^ {2} & \ dots & x_ {3} ^ {n-1} \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ {2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \ end { pmatrix}}}

asociado con la n- tupla tiene sus líneas relacionadas por coeficientes . Como su determinante es distinto de cero, esto es absurdo, entonces n = 0, es decir, todos son cero. (X1,...,Xno){\ Displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}ak{\ Displaystyle a_ {k}}aλ{\ Displaystyle a _ {\ lambda}}

También demostramos que, de manera más general, en el espacio vectorial complejo de funciones de ℝ a ℂ, el conjunto de funciones para complejo es libre. Fλ:t↦miλt{\ Displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ Displaystyle \ lambda}

Propiedades

• La familia ( v ) y la parte { v } son libres si y solo si el vector v no es cero.
• La familia ( v 1 , v 2 ) está relacionada si y solo si v 1 y v 2 son colineales (en particular, la familia ( v , v ) siempre está relacionada, ya sea que v sea ​​cero o no).
• Si una de las subfamilias de una familia está relacionada (en particular si dos de sus vectores son colineales o si uno de ellos es cero), entonces esta familia está relacionada. En otras palabras , si una familia es libre, entonces todas sus subfamilias son libres.
• Una familia está vinculada si y solo si uno de sus elementos es una combinación lineal de los demás.
• Como una combinación lineal se relaciona con un número finito de términos, una familia infinita es libre si y solo si todas sus subfamilias finitas son libres.
• La familia vacía y la parte vacía son gratis.
• Si K es el campo de las fracciones de un anillo integral A (por ejemplo, si K = ℚ y A = ℤ ), una familia de vectores de E está libre de K si y solo si está libre de A (en E, visto como Módulo A ).

Espacio proyectivo de dependencias lineales

Una relación de dependencia lineal de los vectores puede ser representado por un - tupla de escalares, no todos cero, de tal manera que no{\ Displaystyle n}v1,...,vno{\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}no{\ Displaystyle n} (a1,...,ano){\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}no{\ Displaystyle n}

a1v1+⋯+anovno=0mi.{\ Displaystyle a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} = 0_ {E}.}

Si existe tal relación de dependencia lineal, entonces los vectores son linealmente dependientes. Entonces es posible identificar dos relaciones de dependencia lineal si una es un múltiplo distinto de cero de la otra relación, porque en este caso ambas corresponden a la misma dependencia lineal de los vectores entre ellas. Bajo esta identificación, el conjunto de -uplas que describen las dependencias lineales de los vectores es un espacio proyectivo . no{\ Displaystyle n}no{\ Displaystyle n}v1,...,vno{\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}

Notas y referencias

1. (en) Serge Lang , Álgebra ,1965[ detalle de ediciones ], 1965, pág. 81.
2. N. Bourbaki , Álgebra , p. A-II-26, propuesta 18.
3. (en) Michael Artin , Álgebra [ detalles de publicación ], 3.14, pág. 92.

Ver también

Artículos relacionados

• Independencia algebraica
• Independencia afín
• Lema de Steinitz
• Matroid (párrafo generalización del concepto)
• Ortogonalidad

Enlace externo

Christine Graffigne y Avner Bar-Hen, "  Cours L1, S1, Notion de famille libre  " , en la Universidad de París 5