Reducción de Gauss
En álgebra , la reducción gaussiana es un algoritmo que permite escribir cualquier forma cuadrática como una combinación lineal de cuadrados de formas lineales linealmente independientes (una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado 2 con cualquier número de variables ; una forma lineal es una combinación lineal de estas variables).
El método utilizado se acerca a la forma canónica de una ecuación cuadrática . Este algoritmo lleva el nombre del matemático Carl Friedrich Gauss .
Caso de dos variables
Es
q(X,y)=aX2+BXy+vsy2{\ Displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}
tal polinomio, se supone que no es idénticamente cero. Si el coeficiente a no es cero, procedemos completando el cuadrado :
q(X,y)=a(X2+BaXy)+vsy2=a(X+B2ay)2+(4avs-B24a)y2{\ Displaystyle q (x, y) = a \ left (x ^ {2} + {\ tfrac {b} {a}} xy \ right) + cy ^ {2} = a \ left (x + {\ tfrac {b} {2a}} y \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}} \ right) y ^ {2}}
Si a es cero yc no es cero, procedemos de la misma forma con c . Si una y c son ambos cero, nos damos cuenta de que
BXy=B4((X+y)2-(X-y)2).{\ displaystyle bxy = {\ tfrac {b} {4}} \ left ((x + y) ^ {2} - (xy) ^ {2} \ right).}
Caso general
Vamos a mostrar por inducción fuerte en n que para cualquier forma cuadrática q con n variables de, existen n lineal combinaciones l i de las variables (en otras palabras n formas lineales) linealmente independientes y n números c i tal que
q=∑I=1novsIlI2{\ Displaystyle q = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}}.
Si n = 0 , no hay nada que probar.
Ahora suponga que n > 0 . Si q es cero, c i = 0 coincide , con (por ejemplo) l i ( x ) = x i . Entonces suponga q no es cero y escríbalo en la forma:
q(X1,...,Xno)=∑I≤noaIIXI2+2∑1≤I<j≤noaIjXIXj{\ Displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i \ leq n} a_ {ii} x_ {i} ^ {2} +2 \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}.
Hay dos casos.
1) Uno de los coeficientes de los términos cuadrados es distinto de cero.
aII{\ Displaystyle a_ {ii}}
Podemos, incluso si eso significa permutar los vectores base, suponer eso . Escribimos por separado los términos donde ocurre:
a11≠0{\ Displaystyle a_ {11} \ neq 0}X1{\ Displaystyle x_ {1}}
q(X)=a11X12+2∑I=2noa1IX1XI+∑2≤I,j≤noaIjXIXj{\ Displaystyle q (x) = a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} + \ sum _ {2 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}.
Los escribimos en forma canónica:
a11X12+2∑I=2noa1IX1XI=a11(X1+∑I=2noa1Ia11XI)2-1a11(∑I=2noa1IXI)2{\ Displaystyle a_ {11} x_ {1} ^ {2} +2 \ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {1} x_ {i} = a_ {11} \ left (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {a_ {11}}} \ left (\ sum _ {i = 2} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ right) ^ {2}}.
Así obtenemos que
q(X)=a11(X1+∑I=2noa1Ia11XI)2+q′(X)=vs1l12(X)+q′(X){\ Displaystyle q (x) = a_ {11} \ left (x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ { i} \ right) ^ {2} + q ^ {\ prime} (x) = c_ {1} l_ {1} ^ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)},
o
-
vs1=a11{\ Displaystyle c_ {1} = a_ {11}}y ;l1(X)=X1+∑I=2noa1Ia11XI{\ Displaystyle l_ {1} (x) = x_ {1} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {a_ {1i}} {a_ {11}}} x_ {i}}
-
q′{\ Displaystyle q ^ {\ prime}}es un polinomio homogéneo de grado 2 con respecto a .X2,...Xno{\ Displaystyle x_ {2}, \ ldots x_ {n}}
La hipótesis de inducción nos dice que
q′=∑I=2novsIlI2{\ Displaystyle q ^ {\ prime} = \ sum _ {i = 2} ^ {n} c_ {i} l_ {i} ^ {2}},
donde son combinaciones lineales de , independientes. La coordenada no aparece en su escritura y aparece en la de . Como resultado, las formas siguen siendo independientes, de ahí el resultado.
l2,...,lno{\ Displaystyle l_ {2}, \ dots, l_ {n}}X2,...,Xno{\ Displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}X1{\ Displaystyle x_ {1}}l1{\ Displaystyle l_ {1}}(lI)1≤I≤no{\ Displaystyle (l_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
2) Todos son cero.
aII{\ Displaystyle a_ {ii}}
Dado que se supone que q es distinto de cero, existen enteros distintos i y j tales que . Como en el primer caso, podemos asumir que lo es . Escribimos
aIj≠0{\ Displaystyle a_ {ij} \ not = 0}a12{\ Displaystyle a_ {12}}q(X)=2a12X1X2+2X1(∑I=3noa1IXI)+2X2(∑I=3noa2IXI)+∑3≤I,j≤noaIjXIXj{\ Displaystyle q (x) = 2a_ {12} x_ {1} x_ {2} + 2x_ {1} \ left (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ right ) + 2x_ {2} \ left (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ right) + \ sum _ {3 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij } x_ {i} x_ {j}}.
La suma de los términos en o también se escribe
X1{\ Displaystyle x_ {1}}X2{\ Displaystyle x_ {2}}2(a12X1+∑I=3noa2IXI)(X2+1a12∑I=3noa1IXI)-2a12(∑I=3noa2IXI)(∑I=3noa1IXI){\ Displaystyle 2 \ left (a_ {12} x_ {1} + \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ right) \ left (x_ {2} + {\ frac {1} {a_ {12}}} \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ right) - {\ frac {2} {a_ {12}}} \ left ( \ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {2i} x_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {i = 3} ^ {n} a_ {1i} x_ {i} \ right)}.
Vemos que es de la forma
q(X){\ Displaystyle q (x)}2l1(X)l2(X)+q′(X){\ Displaystyle 2l_ {1} (x) l_ {2} (x) + q ^ {\ prime} (x)},
donde solo depende de . Concluimos aplicando la hipótesis de inducción a y notando eso . La independencia de las formas se muestra como en el primer caso.
q′{\ Displaystyle q ^ {\ prime}}X3,...Xno{\ Displaystyle x_ {3}, \ ldots x_ {n}}q′{\ Displaystyle q ^ {\ prime}}4l1l2=(l1+l2)2-(l1-l2)2{\ Displaystyle 4l_ {1} l_ {2} = (l_ {1} + l_ {2}) ^ {2} - (l_ {1} -l_ {2}) ^ {2}}lI{\ Displaystyle l_ {i}}
Ejemplos de
- Esq(X)=X12+X22+X32-2X1X2-2X2X3-2X3X1.{\ Displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -2x_ {1} x_ {2} -2x_ {2} x_ { 3} -2x_ {3} x_ {1}.}Entonces .q(X)=(X1-X2-X3)2-4X2X3=(X1-X2-X3)2-(X2+X3)2+(X2-X3)2{\ Displaystyle \ quad q (x) = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} -4x_ {2} x_ {3} = (x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} - (x_ {2} + x_ {3}) ^ {2} + (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2}}
- Otro ejemplo :q(X)=X1X2+X2X3+X1X3.{\ Displaystyle q (x) = x_ {1} x_ {2} + x_ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {3}.} Entonces tenemosq(X)=(X1+X3)(X2+X3)-X32=14(X1+X2+2X3)2-14(X1-X2)2-X32.{\ Displaystyle q (x) = (x_ {1} + x_ {3}) (x_ {2} + x_ {3}) - x_ {3} ^ {2} = {\ frac {1} {4}} (x_ {1} + x_ {2} + 2x_ {3}) ^ {2} - {\ frac {1} {4}} (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} -x_ {3 } ^ {2}.}
Observaciones
- Estos cálculos son válidos para cualquier campo con una característica distinta de 2.
- El número de cuadrados es igual al rango de la forma cuadrática estudiada.
- Si los coeficientes son reales, el número de cuadrados positivos, como los cuadrados negativos, no depende del método utilizado ( ley de inercia de Sylvester ).
Referencia
Marcel Berger , Geometry [ detalle de ediciones ], Vuelo. 2, Nathan, 1990, 13.4.8
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