Conejo de Douady

El conejo Douady es el conjunto de Julia lleno de ciertos polinomios cuadráticos cuyo punto crítico es periódico del período 3. Fue nombrado en homenaje a Adrien Douady , un matemático francés que murió en 2006 .

Definición

El conejo de Douady es el conjunto de Julia relleno con el polinomio cuadrático $P c ( z ) = z 2 + c$ , donde c es tal que:

El punto crítico 0 no es fijo pero es periódico con el período 3,
El parámetro c no es real.

El primer punto se reformula en:

${\ Displaystyle P (0) \ neq 0, \, P (P (0)) \ neq 0, \, P (P (P (0))) = 0}$ ,

es decir, después de exactamente tres aplicaciones de P , el punto 0 vuelve a sí mismo.

Explicaciones

Mostramos que el estudio dinámico de polinomios cuadráticos complejos equivale al estudio de polinomios complejos $P c ( z )$ de la forma $P c ( z ) = z 2 + c$ . De hecho, cualquier polinomio cuadrático se conjuga , mediante una transformación afín compleja, a un único polinomio de la forma anterior. Por tanto, el número complejo c es un parámetro que determina las propiedades dinámicas de todos los polinomios cuadráticos holomórficos (refinamiento) conjugados con $P c$ .

En la dinámica holomórfica , el comportamiento dinámico del punto crítico de la función considerada es un determinante importante de la dinámica global. El único punto crítico (finito) del polinomio $P c$ es el punto 0. Por tanto, la definición del conejo Douady se basa en el aspecto de la dinámica global del conjunto de Julia.

Parámetros correspondientes

Hay dos valores distintos de c que satisfacen las condiciones de la definición, uno es conjugado del otro, sin embargo, los conjuntos de Julia correspondientes se deducen entre sí por simetría con respecto al eje real . Estos valores se encuentran de la siguiente manera.

Los valores de c para los cuales el punto crítico del polinomio $P c ( z ) = z 2 + c$ es periódico con período 3 son soluciones de la ecuación

{\ Displaystyle P_ {c} (P_ {c} (P_ {c} (0))) = 0}

{\ Displaystyle (c ^ {2} + c) ^ {2} + c = 0.}

Cuando el parámetro c es tal que el punto crítico es fijo, también satisface la ecuación anterior. Sin embargo, el único valor de c para el que se fija el punto crítico es c = 0. Lo que nos devuelve a la ecuación:

{\ Displaystyle c ^ {3} + 2c ^ {2} + c + 1 = 0.}

Vemos así que existe una solución real y dos soluciones complejas conjugadas que son los valores de los parámetros correspondientes al conejo de Douady:

{\ Displaystyle c \ aproximadamente -0,123 \ pm 0,745i}

El conjunto de Julia de la solución del parámetro real de la ecuación anterior (para ) se llama "plano". En cuanto al conejo de Douady, el punto crítico es periódico con el período 3, sin embargo su órbita es completamente real y la apariencia de este conjunto de Julia difiere significativamente de la del conejo. ${\ Displaystyle c \ approx -1.755}$

Algunos aspectos de la dinámica del conejo.

Siendo el punto crítico periódico, el interior del conejo Douady está formado por tres componentes conectados que contienen la órbita del punto crítico, que juntos forman la cuenca de atracción inmediata de la órbita del punto crítico y sus preimágenes . Este también es el caso del avión.

Lo que caracteriza al conejo Douady es el hecho de que los bordes de los tres componentes de la cuenca inmediata de la órbita crítica se cruzan en un solo punto. Este es el punto donde se unen las orejas o las patas del conejo (según la elección del entorno).

Galería

Laminación (en) del conjunto de Julia del conejo de Douady.
Una copia del conejo de Douady en la familia exponencial .
Sección (con respecto al plano "xy") del conjunto de cuaterniones de Julia con parámetro c = −0,123 + 0,745i. El conejo de Douady es visible en la sección.
El conejo Douady (curvas de nivel del número de iteraciones antes de "escapar").

Notas y referencias

Adrien Douady, John H. Hubbard con la colaboración de Pierre Lavaurs, Tan Lei y Pierrette Sentenac, " Estudios dinámicos de polinomios complejos " [PDF] , en math.cornell.edu , Sociedad Matemática de Francia,2007(consultado el 12 de abril de 2017 )

Ver también

Enlace externo

Autor: Adrien Douady, productor: Escuche a Voir, directores: François Tisseyre y Dan Sorensen, " La dinámica del conejo " , en Canal-U ,1996