Contrarrestar

En matemáticas , el inverso de un elemento $x$ (si existe) es el elemento que, multiplicado por $x$ , da uno . Lo denotamos $x$ −1 o . $\ scriptstyle {\ frac 1x}$

Por ejemplo, en , el inverso de es , ya que . $\ mathbb {R}$ $3$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} 333 \ dots}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {3}} \ times 3 = 1}$

Definición

Sea un monoide , es decir un conjunto provisto de una ley de composición interna asociativa , que denotamos , y un elemento neutro por denotado . $S$ $\ veces$ $\ veces$ $1$

Se dice que un elemento es invertible si hay un elemento como . $x \ en S$ ${\ Displaystyle y \ in S}$ ${\ Displaystyle x \ times y = y \ times x = 1}$

El tel , que entonces es único, se denomina inverso de y se anota . $y$ $X$ $x ^ {{- 1}}$

En resumen: el reverso es el nombre que se le da al elemento simétrico , cuando la ley se anota multiplicativamente .

Casos principales

La mayoría de las veces, cuando hablamos de elementos invertibles, nos colocamos en un grupo o en un anillo .

Grupo

En un grupo , la ley de composición interna considerada es y por definición todos los elementos de son invertibles. $(G, \ veces)$ $\ veces$ $GRAMO$

Anillo (o cuerpo)

En un anillo , la ley de composición interna considerada es y no todos los elementos son necesariamente invertibles. $(A, +, \ veces)$ $\ veces$

Los elementos invertibles del anillo forman un grupo para la multiplicación del anillo, llamado grupo de invertibles de este anillo, y a menudo se indica como U ( A ) o A × .

Un anillo en el que todos los elementos son invertibles, salvo el neutro de la ley (que se menciona a menudo ), es por definición un campo . $+$ ${\ displaystyle 0}$

Ejemplos de

Anillos y cuerpos

En el anillo de los números enteros relativos , solo 1 y –1 tienen un inverso: ellos mismos respectivamente. ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ times)}$
En el campo de los números reales y en el campo de los números racionales , el inverso de 2 es 1 ⁄ 2 = 0.5 y el inverso de 4 es 0.25. La función inversa es la aplicación que asocia su inversa con cualquier real distinto de cero. ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, +, \ times)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Q}, +, \ times)}$
En el campo de los números complejos , la inversa de la unidad imaginaria $i$ es $-i$ porque $i \times (-i) = 1$ . De manera más general, el inverso de un número complejo distinto de cero es el número ${\ Displaystyle (\ mathbb {C}, +, \ times)}$ ${\ Displaystyle z = a + \ mathrm {i} b}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ bar {z}} {z {\ bar {z}}}} = {\ frac {\ bar {z}} {\ | z \ | ^ {2}}} = {\ frac {a-bi} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2} }} - {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} i}$
En el campo de los cuaterniones , el inverso de un cuaternión distinto de cero es el cuaternión , donde es el conjugado cuaterniónico de $q$ , es decir . Cuidado, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa. ${\ Displaystyle (\ mathbb {H}, +, \ times)}$ ${\ Displaystyle q = a + \ mathrm {i} b + \ mathrm {j} c + \ mathrm {k} d}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ | q \ | ^ {2}}} {\ bar {q}}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ | q \ | ^ {2}}} {\ bar {q}} = {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} \ times (a- \ mathrm {i} b- \ mathrm {j} c- \ mathrm {k} d)}$
En el anillo (ℤ / n ℤ, +, ×) , donde $n \geq 2$ , los invertibles son exactamente los elementos como GCD . En particular, si $n$ es primo, entonces este anillo es un campo. Por ejemplo, en el anillo ℤ / 10ℤ, el inverso de 3 es 7 (porque 3 × 7 = 21 es congruente con 1 módulo 10), pero 2 no tiene inverso . ${\ Displaystyle {\ overline {m}}}$ ${\ Displaystyle (m, n) = 1}$
En el anillo de matrices cuadradas reales , donde $n$ es un natural fijo, se denota el conjunto de invertibles . Por ejemplo, en el anillo de matrices 2 × 2, la matriz ${\ Displaystyle (\ operatorname {M} _ {n} (\ mathbb {R}), +, \ times)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {R})}$ $A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}$ tiene para matriz inversa $B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}$ porque A × B es igual a la matriz identidad de orden 2.

Otro

En el monoide (para la composición ) de las asignaciones de un conjunto fijo en sí mismo, las asignaciones que tienen inversas a la izquierda son las inyecciones y las que tienen inversas a la derecha son las sobreyecciones . Lo mismo ocurre en el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial .

Observaciones

Tenga cuidado, cuando $f$ es tanto una función numérica como una biyección , no confundir su inversa con su biyección recíproca $f$ −1 :

{\ Displaystyle (f (x)) ^ {- 1} \ neq f ^ {- 1} (x)}

Ejemplo : . ${\ Displaystyle \ cos: [0, \ pi] \ a [-1,1]}$ ${\ Displaystyle (\ cos x) ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ cos x}}, \ quad \ cos ^ {- 1} (x) = \ arccos x}$

Suma infinita de inversas y propiedades interesantes.

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ longrightarrow + \ infty}$ ( serie armónica ).

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ dots = \ ln (2)}$ ( serie armónica alterna ).

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) ^ {2} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ { 2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ dots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$ , y más generalmente, la función zeta de Riemann , donde es el valor absoluto del número de Bernoulli . ${\ Displaystyle \ zeta (2m) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {k ^ {2m}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ { 2k}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2k}}} + \ cdots = {\ frac {| B_ {2m} | (2 \ pi) ^ {2m}} {2 (2m)!} }, m \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle | B_ {2m} |}$

Sólo dos números complejos se oponen a su inverso (es decir ): i y –i (porque son las soluciones de ). ${\ Displaystyle {\ frac {1} {x}} = - x}$ $x ^ {2} = - 1$

Dividir por un número b es equivalente a multiplicar por la inversa de b , . ${\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} = a {\ frac {1} {b}} (b \ neq 0)}$