Grupo de simetría
El grupo de simetría de un objeto ( imagen , señal , etc.) es el grupo de todas las isometrías bajo las cuales este objeto es globalmente invariante , siendo la operación de este grupo la composición . Es un subgrupo del grupo euclidiano , que es el grupo de isometrías del espacio afín euclidiano ambiental.
(Si no se indica, aquí consideramos los grupos de simetría en la geometría euclidiana , pero el concepto también se puede explorar en contextos más amplios, ver más abajo ).
Los "objetos" pueden ser figuras geométricas, imágenes y patrones, como patrones de papel tapiz . La definición puede hacerse más precisa especificando qué se entiende por imagen o patrón, por ejemplo, una función de posición con valores en un conjunto de colores. Para la simetría de cuerpos en 3D, por ejemplo, también se puede querer tener en cuenta la composición física. El grupo de isometrías del espacio induce una acción grupal sobre los objetos que contiene.
El grupo de simetría a veces se denomina grupo de simetría completo para enfatizar que incluye isometrías que invierten la orientación (como reflejos , reflejos deslizados y rotaciones incorrectas ) bajo las cuales la figura es invariante. El subgrupo de isometrías que conservan la orientación (es decir , traslaciones , rotaciones y composiciones de las mismas) y que dejan la figura invariante se denomina grupo de simetría propiamente dicho . El grupo de simetría adecuado de un objeto es igual a su grupo de simetría completo si y solo si el objeto es quiral (y, por lo tanto, no hay isometrías que inviertan la orientación bajo la cual es invariante).
Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tengan un punto fijo común, lo cual es cierto para todos los grupos de simetría de figuras acotadas, se puede representar como un subgrupo del grupo ortogonal O (n) eligiendo un punto fijo como origen. El grupo de simetría adecuado es entonces un subgrupo del grupo especial ortogonal SO (n), por lo que también se le llama grupo de rotación de la figura.
Hay tres tipos de grupos de simetría discretos :
- los grupos de puntos de simetría terminados, que solo incluyen rotaciones, reflexiones, inversiones y rotaciones no aptas, que en realidad son subgrupos terminados de O (n),
- grupos de red infinitos, que incluyen solo traducciones, y
- el espacio agrupa infinitos que combinan elementos de ambos tipos anteriores, y también pueden incluir cambios adicionales como tornillos o reflejos deslizados.
También hay grupos de simetría continua (en) , que contienen rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños o traslaciones de distancias arbitrariamente pequeñas. El grupo de todas las simetrías de una esfera O (3) es un ejemplo de esto y, en general, estos grupos de simetrías continuas se estudian como grupos de Lie .
A la clasificación de subgrupos del grupo euclidiano corresponde una clasificación de grupos de simetría.
Decimos que dos figuras geométricas tienen el mismo tipo de simetría si sus respectivos grupos de simetría H 1 , H 2 son subgrupos conjugados del grupo euclidiano E ( n ), es decir, si existe una isometría g de R n tal que H 1 = g -1 H 2 g . Por ejemplo :
- dos figuras en 3D tienen simetría de espejo, pero con respecto a un plano de espejo diferente;
- dos figuras 3D tienen simetría rotacional de orden 3, pero con respecto a un eje diferente;
- dos patrones 2D tienen simetría de traslación, cada uno en una dirección; los dos vectores de traslación tienen la misma longitud pero una dirección diferente.
A veces, se utiliza un concepto más amplio, "el mismo tipo de simetría", por ejemplo, en los 17 grupos de papel tapiz .
Cuando consideramos los grupos isométricos, podemos limitarnos a aquellos donde para todos los puntos, el conjunto de imágenes bajo las isometrías está topológicamente cerrado . Esto excluye, por ejemplo, en la dimensión 1, el grupo de traducciones por un número racional. Una "figura" que tenga este grupo de simetría es imposible de dibujar y homogénea a un nivel de detalle arbitrario, sin ser realmente homogénea.
Dimensión 1
Los grupos de isometrías en la dimensión 1 donde, para todos los puntos, el conjunto de imágenes bajo las isometrías está topológicamente cerrado son:
- el grupo trivial C 1
- los grupos de dos elementos generados por una simetría central ; son isomorfos al grupo cíclico de orden 2, C 2
- los infinitos grupos discretos generados por una traducción; son isomorfos al grupo cíclico infinito, Z
- Los infinitos grupos discretos generados por una traslación y una simetría central; son isomorfos al grupo diedro generalizado de Z , Dih ( Z ), o más directamente al grupo diedro infinito D ∞ (que es un producto semidirecto de Z por C 2 ).
- El grupo generado por todas las traducciones (isomorfo a R ); este grupo no puede ser el grupo de simetría de un "patrón": sería homogéneo, por lo que también podría reflejarse. Sin embargo, un campo vectorial unidimensional uniforme tiene este grupo de simetría.
- El grupo generado por todas las traducciones y reflexiones en todos los puntos; es isomorfo al grupo diedro generalizado de R , Dih ( R ).
Dimensión 2
A excepción de la conjugación , los grupos de puntos discretos en un espacio bidimensional pertenecen a las siguientes clases:
- los grupos cíclicos C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , etc. donde C n está formado por todas las rotaciones, alrededor de un punto fijo, por múltiplos del ángulo 360 ° / n
- los grupos diedros D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , etc. donde D n (de orden 2 n ) es el grupo de simetría de un polígono regular con n lados. Está formado por las rotaciones pertenecientes a C n y por n simetrías con respecto a los ejes que pasan por el centro común a estas rotaciones.
C 1 es el grupo trivial que contiene sólo la operación de identidad, que aparece cuando la figura no tiene simetría en absoluto, por ejemplo la letra F . C 2 es el grupo de simetría de la letra Z , C 3 el de un triskele , C 4 de una esvástica y C 5 , C 6, etc. son los grupos de simetría de figuras similares a la esvástica con cinco, seis, etc. brazos en lugar de cuatro.
D 1 es los 2 elementos de grupo que contiene la identidad y una sola operación de reflexión, que aparece cuando la figura tiene sólo un eje de simetría bilateral , por ejemplo la letra A . D 2 , que es isomorfo al grupo de Klein , es el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado.
Los grupos de simetría del hormigón en cada uno de estos casos tienen dos grados de libertad para el centro de rotación, y en el caso de los grupos diedros, uno más para las posiciones de los espejos.
Los restantes grupos isométricos en 2D con punto fijo, donde para todos los puntos, el conjunto de imágenes bajo las isometrías está topológicamente cerrado, son:
- el grupo ortogonal especial SO (2) formado por todas las rotaciones alrededor de un punto fijo; es isomorfo al grupo circular S 1 , que es el grupo multiplicativo de números complejos de módulo 1. Es el grupo de simetría propio de un círculo y el equivalente continuo de C n . Ninguna figura tiene este grupo de círculos como un grupo de simetría completo , pero para un campo vectorial esto puede suceder (ver el caso 3D a continuación),
- el grupo ortogonal O (2) compuesto por todas las rotaciones alrededor de un punto fijo y las reflexiones de cualquier eje que pase por este punto. Es el grupo de simetría de un círculo. También se le llama Dih (S 1 ) porque es el grupo diedro generalizado de S 1 .
Para figuras ilimitadas, los grupos isométricos adicionales pueden incluir traducciones; los que están cerrados son:
- los 7 grupos de frisos ,
- los 17 grupos de fondos de pantalla ,
- para cada grupo de simetría en 1D, la combinación de todas las simetrías de este grupo en una dirección y de todas las traslaciones en la dirección perpendicular,
- lo mismo ocurre sumando las reflexiones con respecto a un eje en la primera dirección.
Dimensión 3
Excepto por la conjugación, el conjunto de grupos de puntos de simetría 3D (ver el artículo: Grupos de puntos de simetría en dimensión 3 (in) ) consta de 7 series infinitas y 7 independientes. En cristalografía, están restringidos para ser compatibles con las simetrías de traslación discretas de una red cristalina. Esta restricción cristalográfica de la familia infinita de grupos de puntos generales da como resultado 32 grupos de puntos cristalográficos (27 de las 7 series infinitas y 5 de las otras 7).
Los grupos de puntos de simetría continua incluyen:
- simetría cilíndrica sin una reflexión desde un plano perpendicular al eje, esto a menudo se aplica a una botella , por ejemplo.
- simetría cilíndrica con reflejo de un plano perpendicular al eje
- simetría esférica
Para objetos y campos escalares , la simetría cilíndrica implica planos verticales de reflexión. Este no es el caso de los campos vectoriales : en coordenadas cilíndricas relativas a un determinado eje, tiene una simetría cilíndrica con respecto a este eje si y solo si y tienen esta simetría, es decir, no dependen de φ. También hay una reflexión si y solo si .
Para la simetría esférica, no existe tal distinción, implica planos de reflexión.
Los grupos de simetría continua sin un punto fijo incluyen aquellos con conexiones roscadas , como el grupo de una hélice infinita .
Generalización
En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformación o grupo de automorfismo . Una vez que sabemos con qué tipo de estructura matemática estamos tratando, podemos determinar qué aplicaciones la preservan. Por el contrario, al especificar la simetría, podemos definir la estructura, o al menos aclarar lo que entendemos por invariante , un lenguaje geométrico que permite aprehenderlo; esa es una forma de ver el programa Erlangen .
Por ejemplo, los grupos de automorfismos de algunos modelos de geometría finita (en) no son "grupos de simetría" en el sentido habitual, aunque conservan la simetría. Lo hacen manteniendo las familias de conjuntos de puntos en lugar de los conjuntos de puntos u "objetos" en sí mismos.
Como antes, el grupo de automorfismos del espacio induce una acción grupal sobre los objetos que contiene.
Para una figura geométrica dada en un espacio geométrico dado, consideramos la siguiente relación de equivalencia: dos automorfismos del espacio son equivalentes si las dos imágenes de la figura son iguales (aquí "lo mismo" no significa algo como "lo mismo excepto para una traducción y una rotación ", pero significa" exactamente lo mismo "). Entonces, la clase de equivalencia de la identidad es el grupo de simetría de la figura y cada clase de equivalencia corresponde a una versión isomórfica de la figura.
Existe una biyección entre dos clases de equivalencia cualesquiera: la inversa de un representante de la primera clase de equivalencia, compuesta por un representante de la segunda.
En el caso de un grupo de automorfismos finitos de espacio completo, su orden es el orden del grupo de simetría de la figura multiplicado por el número de versiones isomorfas de la figura.
Ejemplos:
- Isometrías del plano euclidiano, la figura es un rectángulo: hay infinidad de clases de equivalencia; cada uno contiene 4 isometrías.
- El espacio es un cubo con métrica euclidiana, las figuras incluyen los cubos del mismo tamaño que el espacio, con colores o patrones en las caras, los automorfismos del espacio son 48 isometrías; la figura es un cubo cuya cara tiene un color diferente, su grupo de simetría contiene 8 isometrías; hay 6 clases de equivalencia de 8 isometrías, para 6 versiones isomorfas de la figura.
Notas
- Descripción general de los 32 grupos de puntos cristalográficos en el sitio de la Universidad de Exeter
- (en) Steven H. Cullinane, Pattern Groups en el sitio finitegeometry.org
- Comparar con el teorema de Lagrange
- (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Symmetry group " ( ver la lista de autores ) .
Ver también
- Grupo simétrico y permutación
- Agrupa puntos fijos de isometría en el espacio euclidiano ( pulg )
- Sistema de cristal
- Lista de grupos espaciales
- Lista de grupos de simetría del plano
- Teoría de grupos
- Simetría molecular