Coordenadas cilíndricas

Un sistema de coordenadas cilíndrico es un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales que generaliza al espacio el de las coordenadas polares del plano agregando una tercera coordenada, generalmente denotada $z$ , que mide la altura de un punto con respecto al plano identificado por las coordenadas polares ( de la misma manera que se extiende el sistema de coordenadas cartesianas de dos a tres dimensiones). $(r, \ theta)$

Las coordenadas cilíndricas se utilizan para indicar la posición de un punto en el espacio. Las coordenadas cilíndricas no se utilizan para vectores. Cuando se utiliza coordenadas cilíndricas para localizar puntos, vectores propios son generalmente vistos en una marca vectorial perfectamente el punto en que se aplican: . ${\ Displaystyle ({\ vec {u}} _ {r}, {\ vec {u}} _ {\ theta}, {\ vec {u}} _ {z})}$

Conversión entre sistema cartesiano y cilíndrico

A partir de coordenadas cartesianas , podemos obtener las coordenadas cilíndricas (generalmente llamadas respectivamente radio o módulo , acimut y dimensión ) utilizando las siguientes fórmulas: $(X y Z)$ $(r, \ theta, z)$

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ derecha) \\ z & = z \ end {alineado}} \ derecha.}

También podemos convertir coordenadas cilíndricas en coordenadas cartesianas usando las siguientes fórmulas: $(r, \ theta, z)$ $(X y Z)$

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ z & = z \ end {alineado}} \ right.}

Propiedades diferenciales

Diferencial

Diferencial de r (vector infinitesimal):

Dr→=∑I=1noDtuI∂r→∂tuI=Drtur→+rDθtuθ→+Dztuz→{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} u_ {i} {\ partial {\ vec {r}} \ over \ parcial {u} _ {i}} = \ mathrm {d} r \, {\ vec {u_ {r}}} + r \ mathrm {d} \ theta \, {\ vec {u _ {\ theta}} } + \ mathrm {d} z \, {\ vec {u_ {z}}}}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} u_ {i} {\ partial {\ vec {r}} \ over \ parcial {u} _ {i}} = \ mathrm {d} r \, {\ vec {u_ {r}}} + r \ mathrm {d} \ theta \, {\ vec {u _ {\ theta}} } + \ mathrm {d} z \, {\ vec {u_ {z}}}}

Elemento de volumen

El volumen infinitesimal se escribe:

D3V=rDrDθDz{\ Displaystyle {\ text {d}} ^ {3} V = r \, {\ text {d}} r \, {\ text {d}} \ theta \, {\ text {d}} z}

{\ Displaystyle {\ text {d}} ^ {3} V = r \, {\ text {d}} r \, {\ text {d}} \ theta \, {\ text {d}} z}

Elemento de superficie infinitesimal

Los elementos de superficie infinitesimales se escriben:

{D2Sr=rDθDzD2Sθ=DrDzD2Sz=rDrDθ{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {r} = r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S _ {\ theta} = \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {z} = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \\\ end {alineado}} \ right.}

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {r} = r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S _ {\ theta} = \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} z \\ & \ mathrm {d} ^ {2} S_ {z} = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \\\ end {alineado}} \ right.}

Cinematográfico

Las coordenadas cilíndricas se utilizan en particular en muchos problemas mecánicos en los que un objeto se considera en un marco giratorio. Entonces se pueden necesitar las relaciones entre la velocidad y la aceleración.

En un punto, el vector unitario radial y el vector unitario ortoradial son respectivamente: ${\ Displaystyle (r, \ theta, z)}$

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} {\ overrightarrow {u_ {r}}} & = \ cos \ theta \, {\ vec {u_ {x}}} + \ sin \ theta \, {\ vec {u_ {y}}} \\ {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} & = - \ sin \ theta \, {\ vec {u_ {x}}} + \ cos \ theta \, {\ vec {u_ {y}}} \ end {alineado}} \ right.}

donde está la base cartesiana (ver figura). ${\ Displaystyle \ left ({\ vec {u_ {x}}}, {\ vec {u_ {y}}}, {\ vec {u_ {z}}} \ right)}$

Notaremos , y . ${\ Displaystyle \ {\ dot {r}} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} \}$ ${\ Displaystyle \ {\ dot {\ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \}$ ${\ Displaystyle \ {\ dot {z}} = {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} \}$

Entonces :

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u_ {r}}})} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac { \ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u_ {r}}})} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} \\ {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u _ {\ theta}}})} {\ mathrm { d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u _ {\ theta}}})} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = - {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {u_ {r}}} \\ {\ frac {\ mathrm {d} ({\ overrightarrow {u_ { z}}})} {\ mathrm {d} t}} & = {\ overrightarrow {0}} \ end {alineado}} \ right.}

Ya notaremos que las cantidades cinemáticas, posición, velocidad, aceleración vienen dadas por:

{\ begin {alineado} \ overrightarrow {OM} & = r \ overrightarrow {u_ {r}} + z \ overrightarrow {u_ {z}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = \ overrightarrow { V_ {M}} = {\ dot r} \ overrightarrow {u_ {r}} + r {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + {\ dot z} \ overrightarrow {u_ {z} } \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = \ overrightarrow {\ Gamma _ {M}} = ({\ ddot r} -r {\ dot \ theta} ^ {2}) \ overrightarrow {u_ {r}} + (r {\ ddot \ theta} +2 {\ dot r} {\ dot \ theta}) \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + {\ ddot z} \ overrightarrow {u_ {z} } = ({\ ddot r} -r {\ dot \ theta} ^ {2}) \ overrightarrow {u_ {r}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {d (r ^ {2 } {\ dot \ theta})} {dt}} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + {\ ddot z} \ overrightarrow {u_ {z}} \ end {alineado}}

Cabe señalar que estos resultados se pueden encontrar de la siguiente manera:

{\ begin {align} {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ frac {d \ overrightarrow {OM}} {dt}} = {\ frac {d (r \ overrightarrow {u_ {r}} + z \ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} = {\ frac {d (r \ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ frac {d (z \ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} \\ & = {\ frac {dr} {dt}} \ overrightarrow {u_ {r}} + r {\ frac {d (\ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ frac {dz} {dt}} \ overrightarrow {u_ {z}} + z {\ frac {d (\ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} \\\\ { \ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = {\ frac {d ({\ dot {\ overrightarrow {OM}}})} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} (\ overrightarrow {OM })} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d ({\ dot {r}} \ overrightarrow {u_ {r}} + r {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta} } + {\ dot z} \ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} = {\ frac {d ({\ dot r} \ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ frac {d (r {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}})} {dt}} + {\ frac {d ({\ dot z} \ overrightarrow {u_ {z}})} { dt}} \\ & = {\ ddot r} \ overrightarrow {u_ {r}} + {\ dot r} {\ frac {d (\ overrightarrow {u_ {r}})} {dt}} + {\ dot r} {\ dot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + r {\ ddot \ theta} \ overrightarrow {u _ {\ theta}} + r {\ dot \ theta} {\ frac {d (\ overrightarrow {u _ {\ theta}})} {dt}} + {\ ddot z} \ overrightarrow {u_ {z}} + {\ dot z} { \ frac {d (\ overrightarrow {u_ {z}})} {dt}} \\\\\ end {alineado}}

etc.

Notas y referencias

Notas

No existe unicidad de las coordenadas cilíndricas en la especie.

Referencias

Denizet , 2008 , p. 70.
Noirot, Parisot y Brouillet 2019 , p. 87.
El Jaouhari , p. 80.

Ver también

Bibliografía

[Bert 2019] (en + fr) Jacques Bert , léxico científico inglés-francés: 25.000 entradas , Malakoff, Dunod , hors coll. ,Mayo de 2019, 5 ª ed. ( 1 st ed. Ene. De 2000), 1 vol. , VI -362 pág. , 14,1 × 22 cm ( ISBN 978-2-10-079360-0 , EAN 9782100793600 , OCLC 1101087170 , aviso BnF n o FRBNF45725288 , SUDOC 235716839 , presentación en línea , leer en línea ) , sv cylindric (al).
[Denizet 2008] Frédéric Denizet , Álgebra y geometría: MPSI , París, Nathan , coll. "Clase de preparación. / 1 st años",junio 2008, 1 st ed. , 1 vol. , 501 p. , enfermo. y fig. , 18,5 × 24,5 cm ( ISBN 978-2-09-160506-7 , EAN 9782091605067 , OCLC 470844518 , aviso BnF n o FRBNF41328429 , SUDOC 125304048 , presentación en línea , leer en línea ) , cap. 3 , secc. 1 , ss-sec. 1.2 ("Coordenadas cilíndricas"), pág. 69-70.
[El Jaouhari 2017] Noureddine El Jaouhari , Cálculo diferencial y cálculo integral , Malakoff, Dunod , coll. "Ciencias Sup. / Matemáticas ",Mayo de 2017, 1 st ed. , 1 vol. , IX -355 p. , enfermo. y fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-076162-3 , EAN 9782100761623 , OCLC 987791661 , aviso BnF n o FRBNF45214549 , SUDOC 200872346 , presentación en línea , leer en línea ) , cap. 4 , secc. 2 , § 2.1 (“Coordenadas cilíndricas”), pág. 80-82.
[Gautron et al. 2015] Laurent Gautron (director), Christophe Balland , Laurent Cirio , Richard Mauduit , Odile Picon y Éric Wenner , Física , París, Dunod , coll. "Todo el curso en archivos",junio 2015, 1 st ed. , 1 vol. , XIV -570 p. , enfermo. y fig. , 19,3 x 25 cm ( ISBN 978-2-10-072407-9 , EAN 9782100724079 , OCLC 913572977 , aviso BnF n o FRBNF44393230 , SUDOC 187110271 , presentación en línea , leer en línea ) , la hoja n o 2, § 2 ( "The cilíndrica coordenadas "), pág. 4-5.
[Noirot, Parisot y Brouillet 2019] Yves Noirot , Jean-Paul Parisot y Nathalie Brouillet ( pref. Por Michel Combarnous ), Matemáticas para la física , Malakoff, Dunod , coll. "Ciencias Sup. ",agosto 1997( repr. Nov. De 2019), 1 st ed. , 1 vol. , X -229 pág. , enfermo. y fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-080288-3 , EAN 9782100802883 , OCLC 492916073 , aviso BnF n o FRBNF36178052 , SUDOC 241085152 , presentación en línea , leer en línea ) , cap. 3 , secc. 1 , ss-sec. 1.2 , § 1.2.3 (“Ejemplo de coordenadas curvilíneas: coordenadas cilíndricas”), pág. 86-27.
[Taillet, Villain y Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain y Pascal Febvre , Diccionario de física , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , exterior coll. ,Ene. De 2018, 4 ª ed. ( 1 st ed. Mayo de 2008), 1 vol. , X -956 pág. , enfermo. y fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , aviso BnF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224228161 , presentación en línea , leer en línea ) , coordenadas cilíndricas sv , p. 159.

enlaces externos

[ Enciclopedia Larousse ] “ Coordenadas de un punto M : coordenadas cilíndricas ” , Enciclopedia Larousse , § 3 y fig. 4 .
[E ncyclopædia Universalis ] " Coordenadas cartesianas, polos esféricos y polos cilíndricos " , Encyclopædia Universalis .