El Möbius fórmula de inversión clásico se introdujo en la teoría de los números durante el XIX XX siglo por August Ferdinand Möbius . Más tarde se generalizó a otras "fórmulas de inversión de Möbius".
La versión clásica declara que para todas las funciones aritméticas f y g , tenemos
si y solo si f es la transformada de Möbius de g , es decir
donde μ es la función de Möbius y las sumas se refieren a todos los divisores estrictamente positivos d de n .
La equivalencia permanece verdadera si las funciones f y g (definidas en el conjunto ℕ * de enteros estrictamente positivos ) tienen valores en un grupo abeliano (visto como ℤ - módulo ).
Nos ubicamos en el anillo conmutativo F de funciones aritméticas, definido como sigue. El conjunto F de funciones aritméticas está naturalmente provisto de una adición que lo convierte en un grupo abeliano . Cuenta con una segunda ley interna , la convolución de Dirichlet , asociando con dos elementos f y g de F la función f ✻ g definida por:
Esta ley de F es asociativa , conmutativa y distributiva con respecto a la suma, y existe un elemento neutro : la función señalada aquí δ 1 y definida por δ 1 (1) = 1 y para cualquier número entero n > 1, δ 1 ( n ) = 0.
El grupo de invertibles ( F × , ✻) de este anillo es el grupo abeliano formado por funciones f tales que f (1) ≠ 0 (las funciones multiplicativas forman un subgrupo ).
Al notar 1 la función constante 1 ( n ) = 1, se reescribe la fórmula de inversión:
.Esta equivalencia resulta de la definición de μ como la inversa de 1 para la convolución ✻ :
,que da bien:
y
.Estos cálculos siguen siendo válidos para f y g con valores en un grupo abeliano ( G , +) porque el subanillo de F formado por las asignaciones de enteros contiene μ y 1 , y las asignaciones de ℕ * en G forman una derecha módulo en este anillo, siendo la ley externa la convolución definida por las mismas fórmulas.
Un enfoque combinatorio permite generalizar el estudio anterior. Sea A un conjunto parcialmente ordenado cuya relación de orden se observa ≤. Definimos las cadenas por:
Deje una y b sea dos elementos de A tales que un ≤ b . Para cualquier número natural p , llamamos "cadena de longitud p que une a con b ", cualquier secuencia finita ( x 0 , x 1 , ..., x p ) tal que:
y denotamos por c p ( a , b ) el número de estas cadenas.
Suponiendo que el orden en A es localmente finito (en) , es decir, que existe sólo un número finito de elementos situados entre un y b , Gian-Carlo Rota construye entonces una nueva función de Möbius , que señala μ A , caracterizado por :
Deje una y b sea dos elementos de A tales que un < b :
Generaliza la función clásica de Möbius μ :
Para A = ℕ *, ordenado por " a ≤ b cuando a es un divisor de b ", tenemos
La función μ A satisface la siguiente fórmula de inversión, que generaliza la de μ:
De hecho, el producto de la convolución de Dirichlet se generaliza, lo que permite asociar con cualquier orden localmente finito A su álgebra de incidencia (in) , y μ A se interpreta entonces como un inverso en este anillo unitario . En última instancia, esto proporciona una prueba muy breve, similar a la dada anteriormente para μ , de la fórmula de inversión anterior, pero requiere que esta teoría se desarrolle primero, mientras que es posible un cálculo directo:
Demostración directaSegún la caracterización de μ A , los términos de la derecha son todos cero, excepto si c es igual ab ; a es entonces también igual ab y μ A ( a , a ) es igual a 1, lo que muestra el resultado.
Aplicando esta fórmula a otros conjuntos localmente finitos parcialmente ordenados que no sean enteros estrictamente positivos ordenados por divisibilidad, obtenemos otras fórmulas de inversión de Möbius, incluyendo entre otros el principio de inclusión-exclusión de Moivre .
Cuando el orden utilizado es el habitual en enteros naturales distintos de cero, obtenemos la siguiente fórmula, útil en combinatoria :
si F y G son dos funciones definidas en el intervalo [1, + ∞ [ de ℝ con valores complejos y si α y β son dos funciones aritméticas inversas entre sí para la convolución de Dirichlet (en particular si α = 1 y β = μ ), luego
.Se dan ejemplos en el artículo Función multiplicativa .
El índice de Euler φ comprueba :
.La fórmula de inversión entonces da:
.La fórmula de inversión de Möbius es válida para cualquier función f de N * en un grupo abeliano. Si este grupo se denota por multiplicación, la fórmula se convierte en:
Tomando, como grupo multiplicativo, el de las fracciones racionales distintas de cero con coeficientes racionales y, como función f , el que asocia con cualquier número entero n > 0 el n - ésimo polinomio ciclotómico Φ n , obtenemos, en virtud de la igualdad
una forma de calcular el n - ésimo polinomio ciclotómico:
Estas dos ecuaciones especifican las del párrafo anterior, que corresponden al grado de los polinomios en juego.
Algunos códigos correctivos , como los códigos cíclicos, se construyen utilizando el anillo de polinomios con coeficientes en el campo finito F q con q elementos y un polinomio irreducible y unitario de grado n , donde n es primo con q . Ésta es una de las razones por las que nos interesa el número m n ( q ) de polinomios unitarios irreducibles de grado n con coeficientes en F q . Esta pregunta es un ejemplo de un problema de conteo que involucra la función de Möbius.
Demostramos algebraicamente que
Por inversión de Möbius, deducimos: