Espacio Schwartz

En matemáticas , el espacio de Schwartz es el espacio de funciones en declive (es decir, de funciones indefinidamente diferenciables que disminuyen rápidamente, así como sus derivadas de todos los órdenes). El dual de este espacio es el espacio de distribuciones templadas . Los espacios y juegan un papel fundamental en la teoría de la transformada de Fourier . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Definición

Una función $f$ es parte del espacio cuando es indefinidamente diferenciable, y si $f$ y todas sus derivadas están disminuyendo rápidamente , es decir, su producto por cualquier función polinomial está infinitamente ligado. Se dice que las funciones que pertenecen a están disminuyendo . ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

Para dos índices múltiples , definimos las normas por ${\ Displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

donde es el orden derivado de $f$ . Entonces el espacio de Schwartz se puede describir como ${\ Displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\beta$

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Si no hay ambigüedad, el espacio se puede representar simplemente con la letra . ${\ mathcal {S}}$

Propiedades

Topología

El espacio de Schwartz puede estar provisto de una topología, la topología inicial asociada a la familia de semi-normas , equivalente a la asociada por la familia de filtrado de semi-normas definida por: $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ in \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ in \ mathbb {N}.

El espacio de Schwartz es, provisto de esta topología, un espacio de Fréchet . Al estar definido por una familia de filtrado contable de semi-normas, es de hecho un espacio localmente convexo , separado y metrizable , y además demostramos que está completo .

Por tanto, la convergencia de una secuencia de se define de la siguiente manera. Una secuencia de funciones converge en una función si y si ${\ mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Su dual topológico es el espacio de distribuciones templadas ${\ mathcal {S}} '$ .

Ejemplos de

El espacio contiene el espacio de funciones C ∞ con soporte compacto . Este espacio, también señalado , es denso en el sentido de la (fuerte) convergencia definida anteriormente. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
También contiene otros elementos como las funciones de la forma producto de un polinomio y un gaussiano:

x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ in {\ mathcal {S}}

para cualquier α multi-índice y cualquier real .

a> 0

El espacio es un subespacio vectorial de los diferentes espacios $L$ $p$ para $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ . Además, es denso en cada uno de estos conjuntos, excepto $L$ $\infty$ . ${\ mathcal {S}}$

Operaciones espaciales de Schwartz

El espacio es estable por adición interna y por derivación, y estas operaciones definen operadores continuos. ${\ mathcal {S}}$
El espacio es estable por multiplicación interna, o incluso por multiplicación por cualquier función de, en particular, es estable por multiplicación por una función polinomial. Para cualquier función de , el operador definido por es continuo de dentro de sí mismo. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $F$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Multiplicadores de :

{\ mathcal {S}}

Definimos el espacio de multiplicadores de como el subconjunto de las funciones de cuyas derivadas son todas con crecimiento polinomial, es decir ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ existe C _ {\ alpha}> 0, \ existe N _ {\ alpha} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alpha}}}.

Al espacio de crecimiento lento lo llamamos funciones indefinidamente diferenciables. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

La transformación de Fourier induce un automorfismo topológico de . Este automorfismo está dado por ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ donde el automorfismo inverso está dado por $\ xi x = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ El teorema de Plancherel-Parseval dice que si dotamos a la estructura prehilbertiana inducida por la transformación de Fourier es un operador unitario de en sí mismo. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
La clase Schwartz es absorbente para el producto de convolución con ${\ mathcal {E}} '$ : para cualquier distribución con soporte compacto y función Schwartz tenemos $T \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

T \ ast \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).

De manera más general, denotamos el conjunto de convolors de, es decir, el conjunto de distribuciones como enviado continuamente en Este conjunto es un subespacio vectorial de (es decir, del espacio de distribuciones templadas ) que contiene las distribuciones con soporte compacto y las funciones de decaimiento rápido integrables localmente . Por eso llamamos al espacio de distribuciones rápidamente decrecientes. Equipado con el producto de convolución, es además un álgebra asociativa , conmutativa y unificada en la que y son módulos unitarios. ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Notas y referencias

Nota

Referencias

(en) Harish-Chandra , “ Serie discreta para grupos de Lie semisimple. II. Determinación explícita de los personajes ” , Acta Math. , vol. 116,1966, p. 1-111
L. Schwartz , " Teoría de distribuciones y transformación de Fourier ", Annales de l ' Université de Grenoble , vol. 23, 1947-1948, pág. 7-24 ( leer en línea )
Laurent Schwartz , Teoría de las distribuciones , París, Hermann,1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , Distribuciones, análisis de Fourier, ecuaciones diferenciales parciales , École polytechnique, 2012, folleto del curso