Flux (matemáticas)
En el análisis vectorial , llamamos flujo de un campo vectorial a dos cantidades escalares análogas, dependiendo de si se calcula a través de una superficie o una curva .
Fluir a través de una superficie
Hacemos un llamado flujo (o integral de superficie ) del campo vectorial de a través del orientado superficie de la cantidad escalar
F{\ Displaystyle \ mathbf {F}}R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} Σ{\ Displaystyle \ Sigma}
Φ≡∫ΣF⋅DS{\ Displaystyle \ Phi \ equiv \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}
donde representa un vector normal elemental y el producto escalar . Si la superficie viene dada por la parametrización (donde y varían en un abierto ), este vector lo proporciona
DS{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}⋅{\ Displaystyle \ cdot}σ(tu,v){\ Displaystyle \ sigma (u, v)}tu{\ Displaystyle u}v{\ Displaystyle v}Ω{\ Displaystyle \ Omega}
DS=[∂σ∂tu×∂σ∂v]DtuDv{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ izquierda [{\ frac {\ parcial \ sigma} {\ parcial u}} \ veces {\ frac {\ parcial \ sigma} {\ parcial v}} \ derecha] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
y el flujo es entonces
Φ=∬ΩF(σ(tu,v))⋅[∂σ∂tu×∂σ∂v]DtuDv=∬Ωdet(F,∂σ∂tu,∂σ∂v)DtuDv{\ Displaystyle \ Phi = \ iint _ {\ Omega} \ mathbf {F} {\ bigl (} \ sigma (u, v) {\ bigr)} \ cdot \ left [{\ frac {\ partial \ sigma} { \ parcial u}} \ veces {\ frac {\ parcial \ sigma} {\ parcial v}} \ derecha] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v = \ iint _ {\ Omega} \ det \ izquierda (\ mathbf {F}, {\ tfrac {\ parcial \ sigma} {\ parcial u}}, {\ tfrac {\ parcial \ sigma} {\ parcial v}} \ derecha) \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
Si es una superficie cerrada (también llamada tablero libre ) que rodea un volumen, entonces el flujo se puede determinar de otra manera, invocando el teorema de divergencia de flujo :
Σ{\ Displaystyle \ Sigma}V{\ Displaystyle V}
Φ=∮ΣF⋅DS=∭VdivFD3V{\ Displaystyle \ Phi = \ anint _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ mathcal {V}} \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} \; {\ rm {d}} ^ {3} V}
Fluir a través de una curva
De la misma manera, definimos el flujo del campo a través de la curva la cantidad
F=(PAG,Q){\ Displaystyle \ mathbf {F} = (P, Q)}R2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Γ{\ Displaystyle \ Gamma}
Ψ=∫ΓF⋅Dno=∬Γ(PAGDy-QDX){\ Displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {n} = \ iint _ {\ Gamma} (P \, \ mathrm {d} yQ \, \ mathrm {d} x)}
donde representa un vector normal elemental. Eso equivale a definir el flujo de como la circulación (o integral curvilínea ) del campo ortogonal :
Dno=(Dy,-DX){\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {n} = (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}F{\ Displaystyle \ mathbf {F}}GRAMO=(-Q,PAG){\ Displaystyle \ mathbf {G} = (- Q, P)}
Ψ=∫ΓGRAMO⋅Dr{\ Displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {G} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}
con . El flujo de un campo a través de una curva, a diferencia de su circulación, depende solo de su componente normal a la curva.
Dr=(DX,Dy){\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y)}
Ver también
Notas
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es entonces el borde de y denotamos .Σ{\ Displaystyle \ Sigma}V{\ Displaystyle V}∂V=Σ{\ Displaystyle \ V parcial = \ Sigma}