Una función gaussiana es una función exponencial del opuesto del cuadrado de la abscisa (una función en exp (- x 2 ) ). Tiene una curva característica en forma de campana.
El ejemplo más conocido es la densidad de probabilidad de la distribución normal.
donde μ es la expectativa matemática y σ es la desviación estándar .
Las funciones gaussianas son analíticas , con límite cero en el infinito.
Ancho a media alturaEl ancho a media altura H es
la mitad de la anchura a la mitad de la altura es, por tanto, aproximadamente 1,177 · σ .
DerivaciónLa función gaussiana es infinitamente diferenciable en todas partes. Las sucesivas derivadas de la función gaussiana revelan los polinomios de Hermit .
IntegraciónSi bien es fácil calcular las derivadas de una función gaussiana, no podemos escribir sus primitivas usando funciones elementales (esto es una consecuencia del teorema de Liouville ); se expresan mediante la función de error . Sin embargo, podemos calcular la integral de un gaussiano en la línea real, mediante la integral gaussiana :
y en general:
Por lo tanto, esta integral vale 1 si y solo si , y entonces, el gaussiano tiene las propiedades de una densidad de probabilidad de una variable aleatoria de acuerdo con una ley normal de expectativa μ y de varianza σ 2 .
Las funciones gaussianas centradas en 0 minimizan el principio de incertidumbre de Fourier .
Sean dos funciones gaussianas y .
Suma de dos funciones gaussianasLa suma de estas dos funciones no se simplifica más.
Por otro lado, si X 1 y X 2 son variables aleatorias gaussianas independientes con densidad de probabilidad f 1 ( x ) y f 2 ( x ) respectivamente, entonces la variable aleatoria X = X 1 + X 2 también es gaussiana y su densidad de la probabilidad viene dada por el producto de convolución de f 1 ( x ) y f 2 ( x ) .
Producto de convolución de dos funciones gaussianasEl producto de convolución f = f 1 * f 2 de dos funciones gaussianas es nuevamente una función gaussiana, de media y desviación estándar . En el marco de las probabilidades, es la densidad de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes que siguen distribuciones normales.
Producto de dos funciones gaussianasEl producto de dos funciones gaussianas sigue siendo una función gaussiana, sin embargo, el producto no conserva las propiedades de densidad de probabilidad (el factor de normalización a no es necesariamente tal que la integral sea 1). Por ejemplo, el producto de dos funciones gaussianas con el mismo parámetro b = b 1 = b 2, tiene para los parámetros a = a 1 a 2 , b y . En el marco de las probabilidades, la densidad de probabilidad del producto de dos distribuciones normales tiene una expresión analítica que involucra una función de Bessel .
Como la función gaussiana es una función propia de la transformada de Fourier continua, obtenemos mediante la suma de la fórmula de Poisson :
En dos dimensiones, la función exponencial puede ser cualquier forma cuadrática definida negativa. Deducimos que cualquier curva de isovalores será una elipse.
Una forma particular de una función gaussiana 2D es:
donde A es la amplitud, x 0 , y 0 es el centro y σ x , σ y definen la separación a lo largo de x y y .
En general, una función gaussiana 2D tendrá la forma:
donde la matriz
será positivo definido .
Al tomar nuevamente las notaciones de la forma general, se nota que A indica la altura de la parte superior de la curva y ( x 0 , y 0 ) sus coordenadas.
Definiendo:
luego la campana gira en el sentido de las agujas del reloj en un ángulo θ (para el sentido contrario a las agujas del reloj , basta con tomar lo contrario de b ). Esto se puede ver en los siguientes ejemplos:
Las funciones gaussianas se utilizan ampliamente en física . De hecho, muchos fenómenos físicos siguen una distribución de tipo gaussiana, explicada por el teorema del límite central . El interés de las funciones gaussianas en la física también se debe a algunas de sus notables propiedades matemáticas. Por ejemplo, la transformada de Fourier de una función gaussiana es una función gaussiana , lo que en particular da como resultado el hecho de que los rayos láser son rayos gaussianos .