Núcleo de calor

En matemáticas , el núcleo de calor es una función de Green (también llamada solución elemental) de la ecuación de calor en un dominio específico, opcionalmente con condiciones de contorno apropiadas. También es una de las principales herramientas para estudiar el espectro laplaciano . El grano de calor representa el cambio de temperatura igual a una unidad de calor en un punto en el momento inicial.

Núcleo de calor en el espacio libre

El núcleo de calor en el espacio libre R d tiene la expresión

K(t,X,y)=1(4πt)D/2mi-|X-y|2/4t{\ Displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}

y es la solución de la ecuación del calor

∂K∂t(t,X,y)=ΔXK(t,X,y){\ Displaystyle {\ frac {\ parcial K} {\ parcial t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}

para todo  t  > 0 y  x , y  ∈  R d , con la condición inicial

limt→0K(t,X,y)=δ(X-y)=δX(y){\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}

donde δ es la distribución de Dirac y el límite se toma en el sentido de las distribuciones , es decir, para cualquier función de prueba φ

limt→0∫RDK(t,X,y)φ(y)Dy=φ(X).{\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (X).}

Teoría espectral

Definiciones generales

O un área compacta de a bordo . En este campo, se considera el operador positivo , donde está el Laplaciano , provisto de condiciones de contorno en el borde del campo (Dirichlet, Neumann, mixto) que solucionan completamente el problema. Ω{\ Displaystyle \ Omega}Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}H^=- Δ{\ Displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}Δ{\ Displaystyle \ Delta}∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}

El operador positivo es el generador de un semigrupo continuo en . Entonces podemos escribir para cualquier función cuadrada sumable f : H^=- Δ{\ Displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}L2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}

mi-tH^ F(X) = mi+tΔ F(X) = ∫ΩDy K(X,y,t) F(y){\ Displaystyle e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}

La función K ( x , y , t ) se llama "  núcleo de calor  ". De hecho, la función:

F(X,t) = mi+tΔ F(X){\ Displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}

es claramente una solución de la ecuación del calor  :

∂F(X,t)∂t = Δ F(X,t){\ estilo de visualización {\ frac {\ f parcial (x, t)} {\ t parcial}} \ = \ \ Delta \ f (x, t)}

Además, el semigrupo tiende a la identidad cuando el tiempo t tiende a cero:

F(X,t) =  mi+tΔ F(X) →t→0+ F(X){\ Displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ to _ {t \ to 0 ^ {+}} \ f (x)}

de modo que el núcleo de calor K debe tener el comportamiento asintótico:

K(X,y,t) →t→0+ δ(X-y){\ Displaystyle K (x, y, t) \ \ to _ {t \ to 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}

donde está la distribución de Dirac . Por tanto, el núcleo de calor K ( x , y , t ) parece ser una función de Green , o solución elemental, de la ecuación del calor. δ(X){\ Displaystyle \ delta (x)}

Teoría espectral

Cuando el campo es compacto, el operador positivo tiene un espectro discreto de autovalores con el que se asocia una base de Hilbert de autovectores (aquí se usan las notaciones de Dirac ): Ω{\ Displaystyle \ Omega}H^=- Δ{\ Displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}

H^ |ψno⟩ = λno |ψno⟩,0≤λ1≤λ2≤⋯≤λno≤⋯≤+∞{\ Displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}

Entonces podemos escribir introduciendo dos veces la relación de cierre:

K(X,y,t) = ⟨y|mi-tH^|X⟩ = ∑no,metro=1+∞ ⟨y|ψmetro⟩ ⟨ψmetro|mi-tH^|ψno⟩ ⟨ψno|X⟩{\ Displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | x \ rangle \ = \ \ sum _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m} | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}

se convierte en :

K(X,y,t) = ∑no=1+∞ ⟨y|ψno⟩ ⟨ψno|X⟩ mi-t λno = ∑no=1+∞ ψno¯(y) ψno(X) mi-tλno{\ Displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}

Traza de núcleo de calor

La traza del núcleo de calor se define por:

Tr mi-tH^ = ∑no=1+∞ mi-tλno{\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}

Siendo los estados propios ortonormales, se nota que se puede escribir:

∫ΩDX K(X,X,t) = ∑no=1+∞ mi-tλno ∫ΩDX |ψno(X)|2 = ∑no=1+∞ mi-tλno{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}

Por tanto, tenemos la relación fundamental:

Tr mi-tH^ = ∫ΩDX K(X,X,t){\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}

Esta relación está ligada a muchas “fórmulas de trazas” como la de Selberg en geometría hiperbólica o la de Gutzwiller con aproximación semiclásica.

Funciones espectrales

Definimos la función de conteo de los autovalores:

NO(λ) = Tr θ(H^-λ) = ∑no=1+∞ θ(λno-λ){\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}

donde está la distribución de Heaviside . La función de conteo es una función de escalera positiva creciente que da el número total de valores propios menores o iguales a . Su derivada es la densidad espectral de valores propios: θ(X){\ Displaystyle \ theta (x)}λ{\ Displaystyle \ lambda}

ρ(λ) = Tr δ(H^-λ) = ∑no=1+∞ δ(λno-λ){\ Displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}

La traza del núcleo de calor está relacionada con estas funciones mediante una transformación de Laplace  :

Tr mi-tH^ = ∑no=1+∞ mi-tλno = ∫0+∞mi-tλ ρ(λ) Dλ = ∫0+∞mi-tλ DNO(λ){\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}

Función zeta espectral

Asumimos aquí que el fundamental . Por analogía con la función zeta de Riemann , introducimos la función zeta espectral mediante la serie de tipos de Dirichlet  : λ1≠0{\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}

ζ(s) = ∑no=1+∞ 1λnos{\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}

que converge para lo suficientemente grande. Esta función zeta está vinculada a la traza del núcleo de calor mediante una transformada de tipo Mellin  : ℜmi[s]{\ Displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ left [\, s \, \ right]}

ζ(s) = 1Γ(s) ∫0+∞Dt ts-1 Tr mi-tH^{\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}

La función zeta se utiliza en particular para regularizar los determinantes de los operadores  (en) que aparecen durante los cálculos de integrales de caminos en la teoría cuántica de campos . De hecho, el determinante del operador H está definido por:

Dmit H^ = ∏no=1+∞ λno{\ Displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}

Con la identidad:

en⁡ Dmit H^ = en⁡ (∏no=1+∞ λno) = ∑no=1+∞ en⁡λno = Tr en⁡ H^{\ Displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ derecha) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}

demostramos fácilmente la relación formal:

Dmit H^ = Exp[- ζ′(0)]{\ Displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ left [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}

donde la derivada de la función zeta se evalúa en s = 0.

Ampliación a colectores compactos de Riemann

Todas las definiciones anteriores se extienden de forma bastante natural al caso del operador de Laplace-Beltrami en una variedad compacta de Riemann , que luego también tiene un espectro discreto. En una variedad compacta , la función constante se puede normalizar a la unidad, de modo que el estado fundamental se asocie con el valor propio cero, que no está degenerado.

Entonces conviene preguntar :, y tenemos: λ0=0{\ Displaystyle \ lambda _ {0} = 0}

H^ |ψno⟩ = λno |ψno⟩,0=λ0 <λ1≤λ2≤⋯≤λno≤⋯≤+∞{\ Displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}

También se puede asociar una función zeta con este espectro con la condición de eliminar el valor propio cero "a mano".

Desarrollo asintótico del núcleo de calor.

El término diagonal del núcleo de calor admite un desarrollo asintótico en poco tiempo.

Variedad compacta de Riemann sin borde

Para una variedad Riemanniana compacta M de dimensión d sin borde, tenemos el desarrollo de Minakshisundaram-Pleijel (1949):

K(X,X,t) ∼ 1tD/2 ∑no=0+∞ano(X) tno(t→0+){\ Displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ to 0 ^ {+})}

donde los coeficientes son funciones suaves en M , que dependen de la métrica y sus derivadas en x . Por integración en todos los puntos x , deducimos que la traza del núcleo de calor también admite un desarrollo asintótico en poco tiempo: ano(X){\ Displaystyle a_ {n} (x)}

Tr mi-tH^ ∼ 1tD/2 ∑no=0+∞Ano tno(t→0+){\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ to 0 ^ {+})}

donde las constantes están definidas por: Ano{\ Displaystyle A_ {n}}

Ano = ∫METROano(X) Dμ(X){\ Displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}

para la medida inducida por la métrica. Estas constantes revelan ciertas características geométricas globales de M  ; por ejemplo, la constante es proporcional al hipervolumen de la variedad:, donde: A0{\ Displaystyle A_ {0}}metromis(METRO){\ Displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}

metromis(METRO) = ∫METRO Dμ(X){\ Displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}

Variedades a bordo

La existencia de tal desarrollo asintótico puede extenderse a variedades con bordes suficientemente regulares. El operador de Laplace-Beltrami debe contar con las condiciones de contorno adecuadas.

Espectro y geometría

El desarrollo de la traza del núcleo de calor está relacionado con el de la función de recuento de valores propios (o su derivada, densidad espectral).

Artículos relacionados

• Laplaciano
• Operador Laplace-Beltrami .
• Geometría espectral
• Fórmula de suma de Poisson
• Fórmula de trazas de Selberg
• Fórmula de seguimiento de Gutzwiller
• Caos cuántico
• Regularización zeta
• Core Mehler  (en)

Bibliografía

Libros de referencia

• Marcel Berger, Paul Gauduchon y Edmond Mazet; El espectro de una variedad riemaniana , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag (1971).
• Isaac Chavel; Eigenvalues ​​in Riemannian Geometry , Pure and Applied Mathematics 115 , Academic Press ( 2 edición electrónica 1984) ( ISBN  0121706400 ) .

Algunos articulos

• S Minakshisundaram y A Pleijel; Algunas propiedades de las funciones propias del operador de Laplace en variedades de Riemann , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.
• HP McKean & IM Singer; La curvatura y los valores propios del laplaciano , Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
• Peter B. Gilkey; La geometría espectral de una variedad de Riemann , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
• Yves Colin de Verdière; Propiedades asintóticas de la ecuación de calor en una variedad compacta, según P. Gilkey , Seminario de Bourbaki (Noviembre de 1973).
• Yves Colin de Verdière; Espectro laplaciano y longitudes de geodésicas periódicas (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), p.  83-106 . Numdam .
• Yves Colin de Verdière; Espectro laplaciano y longitudes de geodésicas periódicas (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), p.  159-184 . Numdam .
• María Teresa Arede; Geometría del núcleo térmico en colectores , Tesis de posgrado, Universidad de Marsella (1983).
• Teresa Arede; Manifolds para los que el núcleo de calor se da en términos de longitudes geodésicas , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
• Peter B. Gilkey; Asintóticas de ecuaciones de calor , Proc. Lindo. Matemática pura y aplicada. V54 (1993), 317-336.
• Klaus Kirsten; Funciones espectrales en matemáticas y física , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN  1-58488-259-X ) .
• Peter B. Gilkey; Fórmulas asintóticas en geometría espectral , Estudios de Matemáticas Avanzadas, vol. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN  1-58488-358-8 )

Biblioteca virtual

• Claude Bardos y Olivier Laffite; Una síntesis de resultados antiguos y recientes sobre el comportamiento asintótico de los valores propios laplacianos en una variedad de Riemann , (1998). PostScript .
• M. van den Berg, S. Desjardins y PB Gilkey; Asintóticas del contenido de calor de las variedades de Riemann , en: Geometría diferencial y sus aplicaciones , O. Kowalski & D. Krupka (eds), actas de la 5a conferencia internacional de 1992 sobre geometría diferencial y sus aplicaciones en la Universidad de Silesia (1993), ( ISBN  80-901581 -0-2 ) , pág.  61-64 . PostScript .
• DV Vassilevich; Expansión del núcleo de calor: manual del usuario , Physics Report 388 (2003), 279-360. ArXiv: hep-th / 0306138 .
• Arlo Caine; El núcleo de calor en una variedad de Riemann , pdf .
• Daniel Grieser; Notas sobre el núcleo de calor en colectores con límite , pdf .

Notas

1. En física estadística , es la función de partición canónica Z (t) del sistema para la “temperatura inversa” t .
2. Subbaramiah Minakshisundaram y Åke Pleijel; Algunas propiedades de las funciones propias del operador de Laplace en variedades de Riemann , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.

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