Integral gaussiana

En matemáticas , una integral gaussiana es la integral de una función gaussiana sobre el conjunto de números reales . Su valor está relacionado con la constante π por la fórmula

∫-∞+∞mi-αX2DX=πα,{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}},}

donde α es un parámetro real estrictamente positivo. Interviene en la definición de la ley de probabilidad llamada ley de Gauss o ley normal .

Esta fórmula se puede obtener mediante una integral doble y un cambio de variable polar. Su primera demostración conocida la da Pierre-Simon de Laplace .

Entonces tenemos, por ejemplo, con notaciones clásicas:

∫-∞+∞1|σ|2πmi-(X-μ)22σ2DX=1{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {| \ sigma | {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = 1}.

Si trabajamos en n dimensiones, la fórmula se generaliza de la siguiente forma:

∫Rnomi-α‖X‖2DX=(πα)no2 con X=(X1,...,Xno) y ‖X‖=X12+⋯+Xno2.{\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, \ | x \ | ^ {2}} \ mathrm {d} x = \ left ({ \ frac {\ pi} {\ alpha}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} {\ text {with}} x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) {\ texto {y}} \ | x \ | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}

Integrabilidad de la función

Como el integrando es par , basta con demostrar que es integrable en , para demostrar que es integrable en . Esto resulta del hecho de que es positivo, continuo y despreciable en el infinito antes, por ejemplo, de la función x ↦ x −2 , integrable sobre [1, + ∞ [ . R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

Cálculo de la integral gaussiana

Un teorema de Liouville muestra que el integrando de la integral de Gauss no admite ninguna primitiva expresada utilizando las funciones habituales (exponencial, etc.). Esto obliga a calcular esta integral a recurrir a métodos más o menos “indirectos”, de los cuales el más clásico y directo es el que utiliza integrales dobles; existen otros métodos clásicos incluyendo uno elemental, pero mucho más extenso, que usa integrales de Wallis y otro que usa una función definida por una integral.

Caso especial α = 1

El método clásico de cálculo utiliza una integral doble que se expresa en coordenadas cartesianas y luego en coordenadas polares.

Una variante usa una función definida por una integral. Este segundo método solo usa resultados en las integrales simples habituales (con solo una variable ) (en un intervalo cerrado acotado) y, por lo tanto, es más elemental. Sin embargo, es más técnico.

Cualquiera que sea la técnica que se utilice, lo demuestra . ∫-∞+∞mi-X2DX=π{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ pi}}}

Caso genérico

De esta fórmula, podemos deducir cambiando la variable la fórmula genérica para cualquier integral gaussiana:

∫-∞+∞Exp⁡(-aX2+BX+vs)DX=πaExp⁡(B24a+vs){\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp (-ax ^ {2} + bx + c) \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a }}} \ exp \ left ({\ frac {b ^ {2}} {4a}} + c \ right)}(donde a , b , c son reales y a > 0).

La integral gaussiana como valor particular de la función Gamma

El valor en 1/2de la función Gamma de Euler es

Γ(12)=∫0+∞t12-1mi-tDt=2∫0+∞mi-tu2Dtu=∫-∞+∞mi-tu2Dtu{\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {{\ frac {1} {2}} - 1} \ mathrm {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t = 2 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u}.

Transformada de Fourier de una función gaussiana

Sea la función gaussiana

F:R→R,X↦mi-αX2, con α>0.{\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \, x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} {\ text {, con}} \ alfa> 0.}

Es integrable en ℝ. Su transformada de Fourier

F=F(F):R→VS{\ Displaystyle F = {\ mathcal {F}} (f): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}

definido por

F(ξ)=∫-∞+∞F(X)mi-IξXDX=∫-∞+∞mi-αX2mi-IξXDX{\ Displaystyle F (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {- i \, \ xi \, x} \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- i \, \ xi \, x} \ mathrm {d} x}

es tal que

∀ξ∈RF(ξ)=παmi-ξ24α.{\ Displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad F (\ xi) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {4 \ alpha}}}.}

A continuación se proponen dos demostraciones de este resultado.

Por una ecuación diferencial lineal

Usamos una ecuación diferencial verificada por la función f .

Por definición : F(0)=∫-∞+∞mi-αX2DX Entonces F(0)=πα.{\ Displaystyle F (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {d} x {\ text { entonces}} F (0) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}.}

Por otro lado, f es (al menos) de clase C 1 y satisface la ecuación diferencial lineal

∀X∈RF′(X)=-2αXF(X)=-2αgramo(X), notando gramo:R→R,X↦XF(X).{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad f '(x) = - 2 \ alpha \, xf (x) = - 2 \ alpha g (x), {\ text {notando}} g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto xf (x).}

Justificamos (como antes) que g (por tanto, f ' ) es integrable en ℝ. Por tanto (propiedades de la transformación de Fourier relativas a la derivación):

• Dado que f , f ' son integrables y f tiende a 0 en el infinito,

∀ξ∈RF(F′)(ξ)=IξF(ξ).{\ Displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad {\ mathcal {F}} (f ') (\ xi) = \ mathrm {i} \ xi \, F (\ xi).}

• Como f y g son integrables, F es diferenciable y

∀ξ∈RF(gramo)(ξ)=IF′(ξ).{\ Displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad {\ mathcal {F}} (g) (\ xi) = \ mathrm {i} F '(\ xi).}

De la ecuación diferencial anterior, deducimos eso , que está escrito: F(F′)=-2αF(gramo){\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (f ') = - 2 \ alpha {\ mathcal {F}} (g)}

∀ξ∈RIξF(ξ)=-2αIF′(ξ){\ Displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad \ mathrm {i} \ xi F (\ xi) = - 2 \ alpha \ mathrm {i} F '(\ xi)}, o : ∀ξ∈RF′(ξ)=-2βξF(ξ), con β=14α.{\ Displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad F '(\ xi) = - 2 \ beta \, \ xi \, F (\ xi), {\ text {con}} \ beta = { \ frac {1} {4 \ alpha}}.}

Así, F satisface una ecuación diferencial análoga a la anterior: existe K , constante tal que

∀ξ∈RF(ξ)=Kmi-βξ2.{\ Displaystyle \ forall \ xi \ in \ mathbb {R} \ quad F (\ xi) = K \, \ mathrm {e} ^ {- \ beta \, \ xi ^ {2}}.}

Concluimos señalando que K=F(0)=πα.{\ Displaystyle K = F (0) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}.}

Por el teorema integral de Cauchy para funciones holomórficas

También denotamos por f la prolongación holomórfica a ℂ de la función gaussiana f  :

F:VS→VS,z↦mi-αz2.{\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, z ^ {2}}.}

Calculamos F (ξ) asumiendo ξ> 0 (el caso donde ξ <0 se trata igual o con paridad; el caso donde ξ = 0 es inmediato).

Considere tres reales x 1 , x 2 , h tales que x 1 < x 2 y h > 0 , luego en el plano complejo el rectángulo de vértices A=X1,B=X2,VS=X2+Ih,D=X1+Ih{\ Displaystyle A = x_ {1}, B = x_ {2}, C = x_ {2} + \ mathrm {i} h, D = x_ {1} + \ mathrm {i} h} (desde lados paralelos a los ejes).

Según el teorema de la integral de Cauchy, la integral de f en el borde orientado del rectángulo es cero:

∫[A,B]F(z)Dz+∫[B,VS]F(z)Dz+∫[VS,D]F(z)Dz+∫[D,A]F(z)Dz=0.{\ Displaystyle \ int _ {[A, B]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[C, D]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[D, A]} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0.}

Sin embargo, tenemos la siguiente igualdad:

∫[A,B]F(z)Dz=∫X1X2mi-αX2DX{\ Displaystyle \ int _ {[A, B]} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x} y ∫[VS,D]F(z)Dz=-∫X1X2mi-α(X+Ih)2DX=-miαh2∫X1X2mi-αX2mi-2IαhXDX{\ Displaystyle \ int _ {[C, D]} f (z) \, \ mathrm {d} z = - \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ { - \ alpha \, (x + \ mathrm {i} h) ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = - \ mathrm {e} ^ {\ alpha h ^ {2}} \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ mathrm {i}} \ alpha \, hx } \, \ mathrm {d} x} (parametrizamos el segmento [ C , D ] por donde ).z=X+Ih,{\ Displaystyle z = x + \ mathrm {i} h,}X∈[X1,X2]{\ Displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}]}

Entonces :

∫X1X2mi-αX2DX-miαh2∫X1X2mi-αX2mi-2IαhXDX+∫[B,VS]F(z)Dz+∫[D,A]F(z)Dz=0.{\ Displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x- \ mathrm {e } ^ {\ alpha h ^ {2}} \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ mathrm {i}} \ alpha \, hx} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z + \ int _ {[D, A]} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0.}

La integral de f sobre [ B , C ] (resp. [ D , A ]) tiende a 0 cuando x 2 tiende a + ∞ (resp. X 1 tiende a –∞ ) (ver más abajo). De donde :

∫-∞+∞mi-αX2mi-2IαhXDX=mi-αh2∫-∞+∞mi-αX2DX=παmi-αh2 por todo h>0.{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ mathrm {i} } \ alpha \, hx} \, \ mathrm {d} x = \ mathrm {e} ^ {- \ alpha h ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e } ^ {- \ alpha \, x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} \, \ mathrm {e} ^ {- \ alpha h ^ {2}} {\ text {para todo}} h> 0.}

La elección en la relación anterior (re) da la expresión buscada de F (ξ) . h=ξ2α{\ Displaystyle h = {\ frac {\ xi} {2 \ alpha}}}

Queda por mostrar que la integral de f en [ B , C ] tiende a 0 cuando x 2 tiende a + ∞  :

∫[B,VS]F(z)Dz=∫0hmi-α(X2+Iy)2IDy=Imi-αX22∫0hmiαy2mi-2IαX2yDy{\ Displaystyle \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {h} \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, (x_ {2} + {\ mathrm {i}} y) ^ {2}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = \ mathrm {i} \, \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \ , x_ {2} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {h} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, y ^ {2}} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i } \ alpha \, x_ {2} y} \, \ mathrm {d} y} (parametrizamos el segmento [ B , C ] por , con ).z=X2+Iy{\ Displaystyle z = x_ {2} + {\ mathrm {i}} y}y∈[0,h]{\ Displaystyle y \ en [0, h]}

De ahí el aumento:

|∫[B,VS]F(z)Dz|≤mi-αX22∫0h|miαy2||mi-2IαX2y|Dy=mi-αX22∫0hmiαy2Dy,{\ Displaystyle {\ Big |} \ int _ {[B, C]} f (z) \, \ mathrm {d} z {\ Big |} \ leq \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x_ {2} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {h} | \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, y ^ {2}} || \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm { i} \ alpha \, x_ {2} y} | \, \ mathrm {d} y = \ mathrm {e} ^ {- \ alpha \, x_ {2} ^ {2}} \ int _ {0} ^ {h} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \, y ^ {2}} \, \ mathrm {d} y,}

lo que permite concluir (la integral del segundo miembro no depende de x 2 ). Lo mismo ocurre con la integral en [ D , A ].

Notas y referencias

1. Ver, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .
2. Vea este ejercicio corregido o, para una variación más básica, esta asignación corregida en Wikiversity .

Bibliografía

• (en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalle de la edición ] ( leer en línea ), Cap. 26
• (en) HM Antia, Métodos numéricos para científicos e ingenieros ,2012, 3 e  ed. ( 1 st  ed. 1991) ( leer en línea ) , p.  211

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">