Función de error

En matemáticas , la función de error (también llamada función de error gaussiana ) es una función entera que se usa en el análisis . Esta función se denota por erf y es parte de las funciones especiales . Está definido por:

{\ Displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t.}

La función erf interviene regularmente en el campo de las probabilidades y la estadística , así como en los problemas de difusión (de calor o de materia ).

Interés de esta función

Probabilidades y estadísticas

La probabilidad de que una variable normal centrada reducida X tome un valor en el intervalo $[- z , z ]$ es:

\ operatorname {erf} \ left ({\ frac z {{\ sqrt 2}}} \ right) = {\ mathbb {P}} (X \ in [-z, z]).

La función de distribución de X , o función de distribución de la ley normal , generalmente denotada Φ, está relacionada con la función de error, erf designada por la relación:

{\ Displaystyle \ Phi (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {z} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \, \ pi}}} \, \ mathrm {e} ^ {- { \ frac {t ^ {2}} {2}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatorname {erf} \ left ({\ frac { z} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right] = \ mathbb {P} (X \ leq z),}

o incluso :

{\ Displaystyle \ operatorname {erf} (z) = 2 \, \ Phi \! \! \ left (z {\ sqrt {2}} \ right) -1.}

Problemas de difusión

La función de error está involucrada en la expresión de soluciones de la ecuación de calor o la ecuación de difusión , como cuando las condiciones iniciales están dadas por la función de Heaviside .

Considere en particular un medio espacio x ≥ 0 ocupado por un sólido con difusividad térmica κ y temperatura inicialmente uniforme T 1 . Si en el tiempo t = 0 se lleva su borde x = 0 y luego se mantiene a la temperatura T 2 , la temperatura T ( x , t ) en cualquier momento t> 0 y en cualquier punto x > 0 viene dada por:

{\ Displaystyle T (x, t) = T_ {2} - (T_ {2} -T_ {1}) \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {\ kappa t} }}} \ derecho).}

Cálculo numérico

La integral no se puede obtener a partir de una fórmula cerrada sino mediante una expansión de series enteras (de radio infinito de convergencia) integrado término por término,

\ quad \ operatorname {erf} (z) = {\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n }} {(2n + 1) \ times n!}} \, Z ^ {{2n + 1}} = {\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}} \ left (z - {\ frac {z ^ {3}} 3} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} - {\ frac {z ^ {7}} {42}} + O (z ^ {9}) \ right).

Hay tablas que dan valores de integrales como funciones de z , pero hoy en día, la mayoría del software numérico ( hojas de cálculo , Scilab ) o CAS (como Maple o MuPAD ) incorporan una rutina de cálculo de erf (x) y su biyección recíproca , inverf (x), que es aún más útil para calcular probabilidades .

Sin embargo, las siguientes aproximaciones pueden ser útiles:

In (con un error inferior a 6 × 10 –4 para x <0,5) $v (0), \ quad \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {{\ sqrt \ pi}}} e ^ {{- x ^ {2}}} \ left (x + {\ frac {2} {3}} \, x ^ {3} + {\ frac {4} {15}} \, x ^ {5} \ right) + o (x ^ {6} \, e ^ {{ - x ^ {2}}})$
In (con un error inferior a 2 × 10 –4 para x > 1,75) $v (+ \ infty), \ quad \ operatorname {erf} (x) = 1-e ^ {{- x ^ {2}}} {\ frac 1 {{\ sqrt \ pi}}}. \ left ({ \ frac 1x} - {\ frac 1 {2x ^ {3}}} + {\ frac 3 {4x ^ {5}}} - {\ frac {15} {8x ^ {7}}} \ right) + o (x ^ {{- 8}} e ^ {{- x ^ {2}}})$
Para $x> 0, \ quad {\ sqrt {1-e ^ {{- x ^ {2}}}}} \ leq \ operatorname {erf} (x) \ leq {\ sqrt {1-e ^ {{- 4x ^ {2} / \ pi}}}}$

(marco propuesto por JT Chu, 1955; el límite superior se aproxima a la función erf en todas partes dentro de 7 × 10 −3 ).

Para $x> 0, \ quad \ operatorname {erf} (x) \ simeq 1-e ^ {{- 1,9x ^ {{1,3}}}}$

(aproximación propuesta por E. Robert, 1996; se aproxima a la función erf en todas partes dentro de 2.2 × 10 −2 . La aproximación mejora para ser menor que 10 −2 para ). $x \ geq 1$

La función es la solución de la ecuación diferencial que tiene valor 0 en 0 y derivada en 0. $x \ mapsto \ operatorname {erf} (x) \ times e ^ {{x ^ {2}}}$ $y '' - 2x \, y'-2y = 0$ ${\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}}$

Extensiones

Sucede que la función más general definida por: $En$

E_ {n} (z) = n! \ Int _ {0} ^ {z} e ^ {{- \ zeta ^ {n}}} \, {\ mathrm d} \ zeta

se utiliza y E 2 se llama error integral.

Otras funciones de error utilizadas en el análisis, que incluyen:

La función de error complementaria anotó erfc y se definió por:

\ operatorname {erfc} (z) = 1- \ operatorname {erf} (z) = {\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}} \ int _ {z} ^ {{\ infty}} e ^ {{ - \ zeta ^ {2}}} \, {\ mathrm d} \ zeta

La función ierfc , (opuesta a la) integral de la función de error complementaria erfc :

\ operatorname {ierfc} (z) = {\ frac {e ^ {{- z ^ {2}}}} {{\ sqrt \ pi}}} - z \ cdot \ operatorname {erfc} (z)

La función de error imaginario anotada como erfi se define por:

\ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {\ operatorname {erf} (iz)} i} = {\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {{\ zeta ^ {2}}} \, {\ mathrm d} \ zeta

A menudo, solo se define en algunos programas informáticos de álgebra, como Mathematica y Maple . No obstante, se puede describir mediante una expansión de serie entera :

\ quad \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac 1 {(2n + 1) \ veces n!}} \, z ^ {{2n + 1}} = {\ frac 2 {{\ sqrt \ pi}}} \ left (z + {\ frac {z ^ {3}} 3} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + O (z ^ {9}) \ derecha).

Función recíproca

La función de error inverso a veces está involucrada en fórmulas estadísticas . Se puede describir usando una expansión en serie:

$\ operatorname {erf} ^ {{- 1}} (z) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({ \ frac {{\ sqrt \ pi}} {2}} z \ right) ^ {{2k + 1}}$

donde y $c_ {0} = 1$

$c_ {k} = \ sum _ {{m = 0}} ^ {{k-1}} {\ frac {c_ {m} c _ {{k-1-m}}} {(m + 1) ( 2m +1)}} = \ left \ {1,1, {\ frac 76}, {\ frac {127} {90}}, \ ldots \ right \}$

Obtenemos el siguiente desarrollo:

\ operatorname {erf} ^ {{- 1}} (z) = {\ frac 12} {\ sqrt \ pi} \ left (z + {\ frac {\ pi} {12}} z ^ {3} + { \ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {{11}} + \ cdots \ right)

(el radio de convergencia de esta serie vale 1, da buenos valores aproximados solo para | z | <1/2 por ejemplo).

Referencia

Sobre este tema, consulte el teorema de Liouville .
(en) Eric W. Weisstein , " Erfi " en MathWorld .

(en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalle de la edición ] ( leer en línea ) , cap. 7

Ver también

enlaces externos

(en) Eric W. Weisstein , " Erf " , en MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , " Erfi " , en MathWorld
Steven G. Johnson y Joachim Wuttke, libcerf , implementación de C para argumentos complejos.