Constante de Champernowne

En matemáticas , la constante de Champernowne , señalada es un número real trascendente , nombrado así en honor al matemático D. G. Champernowne quien lo introdujo en 1933. Se trata de un número de universo simple de construir, ya que cuenta, después de la coma, el creciente secuencia de números naturales: $C _ {{10}}$ ${\ displaystyle C_ {10} = 0 {,} 12345678910111213141516 \ dots}$

La secuencia de dígitos en su escritura es una palabra infinita que es importante en la combinatoria de palabras : tiene la propiedad de que cualquier secuencia finita de dígitos consecutivos aparece un número infinito de veces en la secuencia, pero que la distancia entre dos ocurrencias de una misma secuencia de dígitos no tiene límites.

Normalidad

Decimos que un número real x es normal en base b si todas las posibles secuencias de dígitos de una longitud dada aparecen con la misma probabilidad en su escritura en base b . Por ejemplo, x es normal a base diez si, en su expansión decimal , cada una de las cadenas [0], [1], [2], ..., [9] ocurre con una probabilidad igual a 1/10, cada de las cadenas cadenas [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] con una probabilidad igual a 1/100, y así sucesivamente.

Champernowne demostró que el número

{\ displaystyle C_ {10} = 0 {,} 12345678910111213141516 \ dots}

es normal en base 10. Es posible crear constantes de Champernowne que son normales en otras bases, de manera similar, por ejemplo,

{\ Displaystyle C_ {2} = 0 {,} 1 \, 10 \, 11 \, 100 \, 101 \, 110 \, 111 \ dots {} _ {2}}

{\ Displaystyle C_ {3} = 0 {,} 1 \, 2 \, 10 \, 11 \, 12 \, 20 \, 21 \, 22 \ dots {} _ {3}}

y así enseguida.

Estas constantes son claramente irracionales , ya que la expansión en cualquier base de un racional es periódica a partir de un cierto rango. También podemos deducir esta irracionalidad de la normalidad en la base b de C b .

Trascendencia

Kurt Mahler demostró en 1937 el siguiente teorema, del cual deducimos que las constantes de Champernowne son incluso trascendentes :

Sea P ( k ) un polinomio entero no constante , tal que los números enteros P (1), P (2),… son estrictamente positivos. Si escribimos estos números enteros en dígitos decimales (o en cualquier entero base b ) como una expansión de un número decimal (o en base b ), el número representado es trascendente pero no es un número de Liouville .

En el caso particular donde P ( k ) = k el número del enunciado es C b , que por lo tanto es trascendente.

Más precisamente, su medida de irracionalidad es igual a b .

Representación de fracción continua

Dado que C b es irracional , admite una expansión en una fracción continua infinita.

Para b = 10, la secuencia de términos de esta fracción continua se comporta de manera errática:

C 10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...]

Obtenemos otros números extremadamente grandes como partes de la fracción continua si continuamos. El siguiente término de la fracción continua es enorme, tiene 2.504 dígitos. Esto puede causar problemas en el cálculo de los términos de la fracción continua y puede perturbar los algoritmos débiles para el cálculo de la fracción continua. Sin embargo, el hecho de que haya números grandes como parte de la expansión de la fracción continua significa que si tomamos los términos por encima y por debajo de estos números grandes, obtenemos una buena aproximación en exceso en comparación con el gran número que no incluimos. Al llamar a K el número grande anterior en la posición 19 en la fracción continua, entonces, por ejemplo,

C 10 - [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ≈ –9 × 10 –190 C 10 - [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K] ≈ 3 × 10 –356

que es una mejora en la precisión de 166 órdenes de magnitud .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Constant Champernowne " ( ver la lista de autores ) .

Bertrand Hauchecorne, Contraejemplos en matemáticas , París, Elipses ,2007, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1988), 365 p. ( ISBN 978-2-7298-3418-0 ) , cap. 5 ("Números reales"), pág. 84.
(in) DG Champernowne, " La construcción de decimales en la escala normal de diez " , J. London Math. Soc. , vol. 8,1933, p. 254-260.
Para una demostración, vea por ejemplo (en) SS Pillai , " son números normales " , Proc. Indian Acad. Sci. A , vol. 10,1939, p. 13-15 ( leer en línea )o (en) Ivan Niven , Irrational Numbers , MAA , coll. "Las Monografías Matemáticas de Carus" ( n o 11),1956( leer en línea ) , pág. 112-115.
(de) Kurt Mahler, " Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen " , Proc. Akad. Mojado. Amsterdam , vol. 40,1937, p. 421-428 ( zbMATH 63.0156.01 , leer en línea ).
(en) Masaaki Amou, " Aproximación a algunas fracciones decimales trascendentales por números algebraicos " , J. Theor Number , vol. 37, n o 21991, p. 231-241 ( DOI 10.1016 / S0022-314X (05) 80039-3 ).

Ver también

Artículo relacionado

Suite Prouhet-Thue-Morse

Enlace externo

(en) Eric W. Weisstein , " Champernowne Constant " , en MathWorld

Bibliografía

(en) Rūsiņš Freivalds , " Hartmanis - Stearns Conjecture on Real Time and Transcendence" , en Michael J. Dinneen, Bakhadyr Khoussainov y Andre Nies (ed.), Computation, Physics and Beyond , Springer ,2012( ISBN 978-3-642-27653-8 , DOI 10.1007 / 978-3-642-27654-5_9 , leer en línea ) , pág. 105-119( P. 109-110 )