Coeficiente de Fresnel

Los coeficientes de Fresnel , introducidos por Augustin Jean Fresnel (1788-1827), intervienen en la descripción del fenómeno de reflexión - refracción de ondas electromagnéticas en la interfaz entre dos medios, cuyo índice de refracción es diferente. Expresan los vínculos entre las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas con respecto a la amplitud de la onda incidente.

General

El coeficiente de reflexión de amplitud r y el coeficiente de transmisión de amplitud t del campo eléctrico se definen por:

r = \ frac {E_ {r}} {E_ {i}}

t = \ frac {E_ {t}} {E_ {i}}

donde E i , E r y E t son las amplitudes asociadas respectivamente con el campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido (refractado).

En general, estos coeficientes dependen de:

los índices ópticos de los medios de entrada y salida, respectivamente n 1 y n 2
de la frecuencia f de la onda de incidencia
ángulos de incidencia θ i = θ 1 y de refracción-transmisión θ t = θ 2 ,
de la polarización de las ondas. Polarización de la onda que posiblemente se pueda modificar durante el cruce de la interfaz.

Se obtienen considerando las relaciones de continuidad en la interfaz de las componentes tangenciales de los campos eléctricos y magnéticos asociados con la onda.

Cálculos de los coeficientes en el caso general.

Considere 2 medios, con diferentes índices de refracción, separados por una interfaz plana.

Hipótesis de trabajo

La onda incidente es una onda plana, de vector de onda y de pulsación . ${\ vec {k}}$ $\omega$

Los coeficientes de Fresnel calculados aquí solo son válidos bajo los siguientes supuestos en los medios:

No son magnéticos .
Son lineales , homogéneos e isotrópicos .

También se añade una hipótesis de cálculo, a saber, la hipótesis armónica que consiste en considerar las magnitudes electromagnéticas a una frecuencia determinada y señalarlas como partes reales de magnitudes complejas. Esto simplifica los cálculos y también permite deducir de las ecuaciones de forma estética fenómenos electromagnéticos como absorción, desplazamiento de fase de la onda, ondas evanescentes ...

Los coeficientes de Fresnel dependen de la polarización del campo electromagnético, generalmente consideramos 2 casos:

Eléctrico transversal (TE): el campo eléctrico incidente está polarizado perpendicular al plano de incidencia, el campo magnético está contenido en el plano de incidencia.
Magnetic Transverse (TM): el campo magnético incidente está polarizado perpendicular al plano de incidencia, el campo eléctrico está contenido en el plano de incidencia.

Caso de ondas transversales eléctricas

Considere una onda plana electromagnética:

{\ Displaystyle {\ vec {E}} = E \, \ exp {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t)} \, {\ vec {e}} _ {y}}

, donde

E

representa la amplitud compleja

{\ Displaystyle {\ vec {H}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} \, \ omega}} ({\ vec {k}} \ wedge {\ vec {E}})}

En el caso de que el campo eléctrico incidente esté polarizado perpendicularmente al plano de incidencia , las componentes tangenciales del campo eléctrico y del campo magnético son continuas:

{\ Displaystyle {\ begin {cases} E_ {i} + E_ {r} = E_ {t} & \ Rightarrow 1 + r _ {\ mathrm {TE}} = t _ {\ mathrm {TE}} \\ - H_ {i} \ cos \ theta _ {1} + H_ {r} \ cos \ theta _ {1} = - H_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow k_ {iz} (1-r _ {\ mathrm {TE}}) = k_ {tz} t _ {\ mathrm {TE}} \ end {cases}}}

A continuación, se escriben los coeficientes de transmisión y reflexión:

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {k_ {iz} -k_ {tz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

{\ Displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2k_ {iz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

Introduciendo, para cada medio, la relación de dispersión , obtenemos los coeficientes de Fresnel en función de las características de la incidencia (n 1 , θ 1 ) y de la refracción (n 2 , θ 2 ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} -n_ {2} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

{\ Displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

Discusión: al ser complejos los índices de refracción, la polarización de la onda transmitida y reflejada puede modificarse en comparación con la onda incidente. Incluso en el caso de que estos índices sean reales, en el caso , es posible que el coeficiente de reflexión se vuelva negativo, la onda reflejada esté desfasada 180 ° en comparación con la onda incidente (ver figura). $n_ {2}> n_ {1}$

La única forma de cancelar el coeficiente de reflexión es, teniendo en cuenta las leyes de Snell-Descartes , tener . En consecuencia, una onda eléctrica polarizada transversal sufre una reflexión tan pronto como pasa por un medio de diferente índice óptico, lo que no es el caso de una onda magnética transversal (existencia de un ángulo de Brewster ). $n_1 = n_2$

Caso de ondas transversales magnéticas

{\ Displaystyle {\ begin {cases} H_ {i} -H_ {r} = H_ {t} & \ Rightarrow k_ {1} (1-r _ {\ mathrm {TM}}) = k_ {2} \, t_ {\ mathrm {TM}} \\ E_ {i} \ cos \ theta _ {1} + E_ {r} \ cos \ theta _ {1} = E_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Flecha derecha (1 + r _ {\ mathrm {TM}}) \ cos \ theta _ {1} = t _ {\ mathrm {TM}} \ cos \ theta _ {2} \ end {cases}}}

de donde :

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {k_ {2} \ cos \ theta _ {1} -k_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

y .

{\ Displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {2k_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Introduciendo, para cada medio, la relación de dispersión , obtenemos los coeficientes de Fresnel en función de las características de la incidencia ( ) y de la refracción ( ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$ ${\ Displaystyle n_ {1}, \ theta _ {1}}$ ${\ Displaystyle n_ {2}, \ theta _ {2}}$

{\ Displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {1} -n_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

y .

{\ Displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Nota: dependiendo del trabajo, los signos de los coeficientes de Fresnel difieren. Esto proviene de las orientaciones arbitrarias hechas al principio. Por ejemplo, orientar hacia adelante en la figura H r equivale a reemplazar, para el cálculo de r , E r por -E r que cambiará el signo del coeficiente. En el cálculo de los filtros de interferencia, se tendrán en cuenta los coeficientes de Fresnel para calcular el desplazamiento de fase de reflexión entre las capas del filtro.

Discusión: el caso de la MT es notable por dos razones:

el coeficiente de reflexión puede volverse cero para un ángulo de incidencia, llamado ángulo de Brewster ;
en determinadas situaciones (interfaz metal-aire), el denominador del coeficiente de reflexión TM puede volverse cero (el coeficiente se vuelve infinito). Entonces obtenemos una onda reflejada y una onda transmitida sin onda incidente: el estudio del denominador luego especifica las condiciones de realización, los componentes de los vectores de onda son entonces imaginarios. Por tanto, el proceso utiliza ondas evanescentes y provoca la aparición de plasmones superficiales .

Ampliación al caso de múltiples interfaces

Los coeficientes globales de Fresnel se pueden definir para un sistema compuesto por varias capas de medios con diferentes índices.

Para los siguientes cálculos, se consideran las permitividades dieléctricas y no los índices de refracción para simplificar las notaciones. $\ left (\ varepsilon = n ^ {2} \ right)$

Caso de dos interfaces

Considere 3 medios de comunicación , y de diferentes permitividades dieléctricas consecutivos, separados por 2 interfaces de avión. $Mi}$ $M_ {b}$ $M_ {c}$

Sea el grosor de ( y son semi-infinitos). $D$ $M_ {b}$ $Mi}$ $M_ {c}$
Sean y respectivamente los ángulos de incidencia y refracción en la interfaz entre y (con i, j = a, bo b, c). $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$ $Medio}$ $M_ {j}$
Sea la componente a lo largo de z del vector de onda en $k_ {bz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {b} - k ^ {2} _ {bx}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {b} - \ varepsilon_ { b} \ sin ^ {2} \ theta_ {b}}$ $M_ {b}$
O el coeficiente de reflexión entre y como se definió previamente ( depende de la polarización TM o TE, así como de los ángulos y , con i, j = a, bo b, c). $r_ {ij}$ $Medio}$ $M_ {j}$ $r_ {ij}$ $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$

A continuación, se escriben los coeficientes generales de reflexión y transmisión:

r_ {g} = \ frac {r_ {ab} + r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d }}

{\ Displaystyle t_ {g} = {\ frac {t_ {ab} t_ {bc} e ^ {ik_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2ik_ {bz} d} }}}

Estas relaciones describen el comportamiento de la placa simple de caras paralelas así como los casos más espectaculares de capas antirreflectantes o la generación de plasmones superficiales : para ello, jugamos con el índice y el espesor del medio intermedio en función de la índices.ambientes extremos.

Caso de n interfaces

Sobre la base de los resultados anteriores, se pueden definir por inducción los coeficientes de Fresnel globales para n interfaces.

Considere n + 1 medios, de diferentes permitividades dieléctricas consecutivas, separadas por n interfaces planas.

Sea el p-ésimo punto medio. 1 ≤ p ≤ n + 1. $M_ {p}$
Sea el espesor de (2 ≤ p ≤ n porque y son semi-infinitos). $d_ {p}$ $M_ {p}$ $M_ {1}$ $M_ {n + 1}$
Sean y respectivamente los ángulos de incidencia y refracción en la interfaz entre y . $\ el grifo}$ $\ theta_ {p + 1}$ $M_ {p}$ $M_ {p + 1}$
Sea el siguiente componente z del vector de onda en el p-ésimo medio. $k_ {pz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {p} - k ^ {2} _ {px}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {p} - \ varepsilon_ { p} \ sin ^ {2} \ theta_ {p}}$
O el coeficiente de reflexión entre y como se definió anteriormente ( depende de la polarización TM o TE, así como de los ángulos y ). $r_ {p, p + 1}$ $M_ {p}$ $M_ {p + 1}$ $r_ {p, p + 1}$ $\ el grifo}$ $\ theta_ {p + 1}$

Partimos de , luego para p = n hasta 2 usamos la relación de recurrencia: $U_ {n} = r_ {n, n + 1}$

U_ {p - 1} = \ frac {r_ {p - 1, p} + U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}} {1 + r_ {p - 1, p} U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}}

Luego se escribe el coeficiente de reflexión global . $r_ {g} = U_ {1}$

Diferencia entre medios dieléctricos y metálicos

Los coeficientes de Fresnel deben ser diferentes para dieléctricos y metales, ya que la presencia o ausencia de corrientes y cargas libres en el medio no implica las mismas relaciones de paso y, por tanto, los mismos coeficientes de Fresnel. Sin embargo, en el caso de muchos metales llamados "óhmicos" (descritos por una conductividad σ), es posible reemplazar un metal óhmico homogéneo (ε, μ 0 , σ) por un dieléctrico homogéneo de permitividad . Por esta descripción equivalente de metal-dieléctrico en régimen armónico, podemos considerar las mismas expresiones para los coeficientes de Fresnel, ya sea un metal dieléctrico u óhmico. En este caso es la expresión de la permitividad la que cambia. $\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} = \ varepsilon - \ frac {i \ sigma} {\ omega}$

Observaciones varias

Se observará que el coeficiente de transmisión del medio 1 al medio 2 es diferente del coeficiente de transmisión del medio 2 al medio 1 (a incidencia normal, su relación es igual a la relación de los índices). Lo mismo ocurre con el coeficiente de reflexión (esta vez, es el signo el que cambia).
En general, los coeficientes de Fresnel, definidos en la interfaz entre dos medios, intervienen en la evaluación del comportamiento óptico de las multicapas ópticas , desde la más simple de ellas, la placa con cara paralela, hasta la más compleja: capas antirreflectantes. , filtros de interferencia o cristales fotónicos. Los coeficientes de reflexión y transmisión de estos conjuntos involucran, además de los coeficientes específicos de cada interfaz, el camino óptico en cada una de las capas.
Para aplicaciones de baja precisión que involucran luz no polarizada, como gráficos por computadora, en lugar de calcular rigurosamente la reflectancia efectiva para cada ángulo, a menudo se usa la Aproximación de Schlick .

Notas y referencias

Max Born y Emil Wolf, Principios de óptica , 4ª ed., Pergamon Press, 1970, p. 62 [ leer en línea ]

Ver también

enlaces externos

Simulación completa de las relaciones de Fresnel y los principales instrumentos ópticos. Universidad Paris XI

Libros de referencia

José-Philippe Pérez, Óptica: Fundamentos y aplicaciones [ detalle de ediciones ]
R. Petit, Ondas electromagnéticas en radioelectricidad y óptica , Masson,1993( ISBN 2-225-81571-2 )
John David Jackson ( traducción del inglés), electrodinámica clásica [" Electrodinámica clásica "] [ detalles de publicación ]
(en) MH Choudhury, electromagnetismo , John Wiley & Sons, Inc.,1989( ISBN 0-470-21479-1 )
(en) DR Frankl, Teoría electromagnética , Prentice-Hall, Inc.,1986( ISBN 0-13-249095-1 )
(en) RD Stuart, Teoría del campo electromagnético , Addison-Wesley Publishing Company, Inc.,1965
(en) A. Ishimaru, Propagación, radiación y dispersión de ondas electromagnéticas , Acantilados de Englewood (Nueva Jersey), Prentice-Hall, Inc.,1991, 637 p. ( ISBN 0-13-249053-6 )