Electrodinámica de medios continuos

La electrodinámica de los medios continuos describe los fenómenos electromagnéticos macroscópicos que tienen lugar dentro de un medio material, descrito como un medio continuo.

La hipótesis del medio continuo

Si miras la materia "muy de cerca" (nanoescala), la materia es granular, formada por átomos. Pero a simple vista (por tanto, tomando nuestra escala macroscópica), un objeto sólido o fluido parece continuo, es decir que sus propiedades parecen variar gradualmente, sin sacudidas.

La hipótesis de los medios continuos consiste en considerar medios cuyas propiedades características nos interesan: densidad, elasticidad, etc. - son continuos. Tal supuesto permite recurrir a herramientas matemáticas basadas en funciones continuas y / o derivables.

Posiblemente se pueden hacer suposiciones adicionales; por tanto, un medio continuo puede ser:

lineal
homogéneo: sus propiedades son las mismas en todos los aspectos.
isotrópico: sus propiedades no dependen del marco de referencia en el que se observan o miden.
perfecto: el medio polariza o magnetiza instantáneamente cuando se aplica un campo externo
óhmico: cuando el medio es un conductor , la densidad de corriente que lo atraviesa es proporcional al campo eléctrico.

Notaciones

Las magnitudes electromagnéticas dependen de variables espaciales y temporales , o de la frecuencia normalizada (régimen armónico). Estas cantidades son reales pero pueden notarse mediante cantidades complejas. $\ vec {r}$ $\ mathbf {t}$ $\omega$

Cantidades eléctricas

Tamaño	Denominación	Unidades SI
${\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de campo eléctrico	voltios por metro : ${\ Displaystyle {\ rm {V \ cdot m ^ {- 1}}}}$
${\ vec {D}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de inducción eléctrica	culombio por metro cuadrado: ${\ Displaystyle {\ rm {C \ cdot m ^ {- 2}}}}$
$\ rho _ {l} ({\ vec {r}}, t)$ o $\ rho _ {l} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Densidad de carga gratuita	culombio por metro cúbico: ${\ Displaystyle {\ rm {C \ cdot m ^ {- 3}}}}$
${\ vec {P}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {P}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de polarización	culombio por metro cuadrado: ${\ Displaystyle {\ rm {C \ cdot m ^ {- 2}}}}$
${\ Displaystyle \ varepsilon ({\ vec {r}}, t)}$ o ${\ Displaystyle \ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)}$	Permitividad absoluta del medio continuo	faradios por metro: ${\ Displaystyle {\ rm {F \ cdot m ^ {- 1}}}}$
${\ Displaystyle \ varepsilon _ {0}}$	Permitividad del vacío	faradios por metro: ${\ Displaystyle {\ rm {F \ cdot m ^ {- 1}}}}$

Cantidades magnéticas

Tamaño	Denominación	Unidades SI
${\ vec {H}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {H}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de campo magnético	amperio por metro : ${\ Displaystyle {\ rm {A \ cdot m ^ {- 1}}}}$
${\ vec {B}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de inducción magnética	weber por metro cuadrado:, o tesla : ${\ Displaystyle {\ rm {Wb \ cdot m ^ {- 2}}}}$ ${\ rm {T}}$
${\ vec {J_ {l}}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {J_ {l}}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de densidad de corriente libre	amperio por metro cuadrado: ${\ Displaystyle {\ rm {A \ cdot m ^ {- 2}}}}$
${\ vec {M}} ({\ vec {r}}, t)$ o ${\ vec {M}} ({\ vec {r}}, \ omega)$	Vector de magnetización	amperio por metro: ${\ Displaystyle {\ rm {A \ cdot m ^ {- 1}}}}$
$\ mu ({\ vec {r}}, t)$ o $\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)$	Permeabilidad absoluta del medio continuo	Henry por metro: ${\ Displaystyle {\ rm {H \ cdot m ^ {- 1}}}}$
$\ mu _ {{0}}$	Permeabilidad al vacío	Henry por metro: ${\ Displaystyle {\ rm {H \ cdot m ^ {- 1}}}}$

Nota : según los autores y las fuentes, el campo magnético se indica cono. Históricamente,se le conocía como "campo magnético" ycomo "inducción magnética", sin embargo hoy serefiere al campo magnético en el vacío . De hecho, es necesario distinguir entre las condiciones de un medio de vacío o microscópico (equivalente al vacío localmente) y las condiciones de un medio material mesoscópico o macroscópico . En el vacío,ydesignamos lo mismo (salvo una constante) y la noción de "inducción magnética" realmente no tiene sentido,ypor tanto designa lo mismo, el "campo magnético". En un medio material,es lo que se mide y que tiene las propiedades matemáticas de un campo vectorial (como el campo eléctrico), por lo que la terminación "campo magnético" se atribuye preferentemente alos medios materiales. ${\ vec {H}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ vec {H}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ vec {H}}$ $\ mu _ {{0}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ vec {H}}$ ${\ vec {H}}$ ${\ vec {H}}$

Herramientas diferenciales

Tamaño	Denominación	Unidades SI
${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {l}} ({\ vec {r}})}$	Vector diferencial orientado a la trayectoria	metro : ${\ Displaystyle {\ rm {m}}}$
${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {S}} ({\ vec {r}})}$	Diferencial orientado a superficie	metro cuadrado : ${\ Displaystyle {\ rm {m ^ {2}}}}$
$\ mathrm dV$ o ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ tau}$	Diferencial de volumen $V$	metro cúbico : ${\ Displaystyle {\ rm {m ^ {3}}}}$
${\ vec {\ nabla}} _ {{{\ vec {r}}}}$	Operador diferencial nabla	por metro: ${\ Displaystyle {\ rm {m ^ {- 1}}}}$

Nota; Según los autores, a veces encontramos el vector A ( ) para la superficie, pero esto plantea un riesgo de confusión con el vector potencial observado de la misma manera. Por eso usamos S aquí.

\ vec {A}

Leyes básicas

En general, para describir la electrodinámica de los medios, se plantean los siguientes 3 postulados fundamentales:

Ecuaciones macroscópicas de Maxwell

Cualquiera que sea el medio continuo, las denominadas ecuaciones de Maxwell permiten describir la evolución de las magnitudes electromagnéticas en este medio, y están escritas en el Sistema Internacional de Unidades como:

Ley	Formulario "integral"	Formulario "local"
De Faraday ley de inducción	${\ Displaystyle \ oint _ {C} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {l}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ int _ {S} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}$	${\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} = - {\ frac {\ parcial {\ vec {B}}} {\ parcial t}}}$ o ${\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ parcial {\ vec {B}}} {\ parcial t}}}$
Ley de Maxwell - Ampere	${\ Displaystyle \ anint _ {C} {\ vec {H}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {l}} = \ int _ {S} {\ vec {J_ {l}}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {S} {\ vec {D}} \ cdot \ mathrm {d } {\ vec {S}}}$	${\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {H}} = {\ vec {J_ {l}}} + {\ frac {\ partial {\ vec {D}}} {\ parcial t}}}$ o ${\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} = {\ vec {J_ {l}}} + {\ frac {\ parcial {\ vec {D}}} {\ parcial t }}}$
Actuar Gauss	${\ Displaystyle \ unint _ {S} {\ vec {D}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = \ int _ {V} \ rho \, \ mathrm {d} V}$	${\ Displaystyle \ mathrm {div} \ {\ vec {D}} = \ rho _ {l}}$ o ${\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} = \ rho _ {l}}$
Ausencia de monopolos magnéticos	${\ Displaystyle \ unint _ {S} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = 0}$	${\ Displaystyle \ mathrm {div} \ {\ vec {B}} = 0}$ o ${\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0}$

Relaciones de paso

Las relaciones anteriores gobiernan la evolución de las magnitudes electromagnéticas en cada medio continuo, sin embargo, es necesario agregar las reglas que describen el paso de un medio a otro:

Relación de paso	Formulario "local"
Continuidad de la componente tangencial de ${\ vec {E}}$	${\ vec {n}} _ {{12}} \ wedge ({\ vec {E}} _ {{2}} - {\ vec {E}} _ {{1}}) \ = {\ vec { 0}}$
Salto de la componente tangencial de ${\ vec {H}}$	${\ vec {n}} _ {{12}} \ wedge ({\ vec {H}} _ {{2}} - {\ vec {H}} _ {{1}}) \ = \ {\ vec {J _ {{l_ {s}}}}}$
Omitir el componente normal de ${\ vec {D}}$	${\ vec {n}} _ {{12}} \. \ ({\ vec {D}} _ {{2}} - {\ vec {D}} _ {{1}}) \ = \ \ rho _ {{l_ {s}}}$
Continuidad del componente normal de ${\ vec {B}}$	${\ vec {n}} _ {{12}} \. \ ({\ vec {B}} _ {{2}} - {\ vec {B}} _ {{1}}) \ = \ 0$

donde y respectivamente representan la densidad superficial de la corriente libre y la densidad superficial de la carga libre, que pueden existir en la interfaz que separa los dos medios. ${\ vec {J _ {{l_ {s}}}}}$ $\ rho _ {{l_ {s}}}$

Nótese que estas relaciones de pasaje no son independientes de las ecuaciones de Maxwell, pueden deducirse de ellas con bastante naturalidad. Existe una prueba rigurosa en el sentido matemático utilizando la teoría de distribuciones de L. Schwarz , y considerando que las ecuaciones de Maxwell son verdaderas en el sentido de distribuciones. Sin embargo, por razones prácticas, es mucho más conveniente considerar por separado las ecuaciones de Maxwell tomadas en el sentido de funciones y las relaciones de paso.

Definición de campos auxiliares

Los campos e introducidos anteriormente están definidos por: ${\ vec {D}}$ ${\ vec {H}}$

{\ vec {D}} ({\ vec {r}}, t) = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) + {\ vec {P} } ({\ vec {r}}, t)

{\ vec {H}} ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, t) - {\ vec {M}} ({\ vec {r}}, t),

donde está la polarización eléctrica y la magnetización del material. Estos dos últimos vectores están relacionados con la carga relacionada y las densidades de corriente, por $\ vec {P}$ ${\ vec {M}}$

\ rho _ {{\ text {vinculado}}} = - \ nabla \ cdot {\ vec {P}},

{\ vec {J}} _ {{\ text {vinculado}}} = \ nabla \ wedge {\ vec {M}} + {\ frac {\ parcial {\ vec {P}}} {\ parcial t}} .

Si expresamos la carga total y las densidades de corriente como la suma de un componente ligado y un componente libre:

\ rho = \ rho _ {{\ text {vinculado}}} + \ rho _ {l},

{\ vec {J}} = {\ vec {J}} _ {{\ text {vinculado}}} + {\ vec {J}} _ {l},

se puede mostrar la equivalencia entre las ecuaciones macroscópicas de Maxwell descritas anteriormente y las ecuaciones microscópicas de Maxwell escritas en el vacío.

Fuerza ejercida sobre una carga

Consulte el artículo sobre fuerza electromagnética o fuerza de Lorentz . En un medio continuo, esto permite explicar el efecto Hall o la fuerza de Laplace .

Relaciones constitucionales

Las ecuaciones de Maxwell citadas anteriormente son verdaderas a priori en cualquier medio y dan la dinámica de los campos. Sin embargo, no permiten caracterizar completamente el problema, ya que el sistema a resolver contiene más incógnitas que ecuaciones. Por lo tanto, es necesario emitir supuestos adicionales entre los campos , , y entre ellos a través de las propiedades físicas (permitividad, permeabilidad, conductividad) del medio continuo bajo consideración. Estas relaciones de físicos se denominan "relaciones de constitución" del medio. ${\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t)$ ${\ vec {H}} ({\ vec {r}}, t)$ ${\ vec {D}} ({\ vec {r}}, t)$ ${\ vec {B}} ({\ vec {r}}, t)$

Cabe señalar que el comportamiento de un medio material en presencia de campos eléctricos o magnéticos puede ser muy complejo. Por tanto, no siempre es posible modelar este comportamiento mediante simples relaciones analíticas. Además, a continuación presentamos las relaciones más simples posibles, es decir, las que se aplican en el caso en que la respuesta del medio se considere lineal .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que muchos materiales, en particular los ferroeléctricos y ferromagnéticos , tienen comportamientos muy alejados de la linealidad. Incluso los materiales que pueden describirse bien mediante relaciones lineales a baja intensidad de campo a menudo presentan no linealidades para campos suficientemente intensos. Por último, están los llamados medios quirales que, aunque pueden ser lineales, presentan acoplamientos entre sus respuestas eléctricas y magnéticas y, por tanto, escapan a las descripciones que siguen.

Las diferentes relaciones existentes

Medio lineal:

${\ Displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)] * {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ int _ {V} \ [\ varepsilon ({\ vec {r}} - {\ vec {r}} ', \ omega)] {\ vec {E}} ( {\ vec {r}} ', \ omega) d {\ vec {r}}'}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)] * {\ vec {H}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ int _ {V} \ [\ mu ({\ vec {r}} - {\ vec {r}} ', \ omega)] {\ vec {H}} ( {\ vec {r}} ', \ omega) d {\ vec {r}}'}$

donde y son matrices de 3x3, denominadas respectivamente permitividad absoluta del medio y permeabilidad absoluta del medio. En la expresión de campos en el espacio espacial recíproco (transformada de Fourier tridimensional), el producto de convolución sería reemplazado por un producto simple. ${\ Displaystyle [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)]}$ $[\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)]$

Medio lineal local: el campo inducido en un punto solo depende de las propiedades del medio y del campo inductor en este punto, por lo que el producto de convolución espacial se reemplaza por un producto convencional:

${\ Displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)] {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)] {\ vec {H}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

Medio lineal homogéneo: mismas propiedades del medio en cada punto, y son matrices de 3x3 cuyos coeficientes no dependen de la posición: ${\ Displaystyle [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)]}$ $[\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)]$

${\ Displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ varepsilon (\ omega)] * {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega )}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ mu (\ omega)] * {\ vec {H}} ({\ vec {r}}, \ omega )}$

Estas relaciones escapan (medios no homogéneos), por ejemplo, medios cuyas propiedades están influenciadas por un gradiente de temperatura, lo que da lugar al fenómeno de la luz al trasluz .

Medio lineal isotrópico: mismas propiedades en todas las direcciones, y diagonalizables, con los mismos coeficientes en las diagonales, lo que da lugar a una función: ${\ Displaystyle [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)]}$ $[\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)]$

${\ Displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega) * {\ vec {E}} ({\ vec { r}}, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ mu ({\ vec {r}}, \ omega) * {\ vec {H}} ({\ vec { r}}, \ omega)}$

Estas relaciones escapan (medios anisotrópicos), por ejemplo, medios birrefringentes (la matriz es diagonal, pero con diferentes coeficientes), medios gyrotrópicos ...

Medio lineal no dispersivo: en ciertos dieléctricos, y para una determinada banda de frecuencia, se asume que la permitividad y permeabilidad no dependen de la frecuencia normalizada:

${\ Displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ varepsilon ({\ vec {r}})] * {\ vec {E}} ({\ vec {r }}, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ mu ({\ vec {r}})] * {\ vec {H}} ({\ vec {r }}, \ omega)}$

Medio óhmico: relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico:

${\ Displaystyle {\ vec {J}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ sigma (\ omega) {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

Construcción a partir de susceptibilidades

Es posible “construir” las relaciones constitutivas de los medios continuos considerando que la polarización eléctrica y la magnetización del material son “respuestas” respectivamente al campo eléctrico y al campo magnético aplicado. Suponiendo que estas respuestas son lineales, podemos escribir:

${\ Displaystyle {\ vec {P}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ varepsilon _ {0} [\ chi _ {e} ({\ vec {r}}, \ omega)] * {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ vec {M}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ chi _ {m} ({\ vec {r}}, \ omega)] * {\ vec {H} } ({\ vec {r}}, \ omega)}$

Donde y se designan respectivamente como susceptibilidad eléctrica y susceptibilidad magnética del medio. Son características del medio ambiente y lo definen de alguna manera. Se trata de matrices de 3x3, cuyos coeficientes son adimensionales, resulta que la polarización y magnetización resultantes no están necesariamente orientadas como el campo electromagnético externo que las generó. De estas relaciones y definiciones de y viene: $[\ chi _ {e} ({\ vec {r}}, \ omega)]$ $[\ chi _ {m} ({\ vec {r}}, \ omega)]$ ${\ vec {D}}$ ${\ vec {H}}$

${\ displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ varepsilon _ {0} \ {\ Big (} [Id] + [\ chi _ {e} ({\ vec {r}}, \ omega)] {\ Big)} * {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = \ mu _ {0} \ {\ Big (} [Id] + [\ chi _ {m} ({\ vec {r}}, \ omega)] {\ Big)} * {\ vec {H}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

Entonces es conveniente definir las siguientes cantidades:

${\ displaystyle [\ varepsilon _ {r} ({\ vec {r}}, \ omega)] = [Id] + [\ chi _ {e} ({\ vec {r}}, \ omega)]}$

${\ Displaystyle [\ mu _ {r} ({\ vec {r}}, \ omega)] = [Id] + [\ chi _ {m} ({\ vec {r}}, \ omega)]}$

Respectivamente la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio. También son matrices de 3x3 cuyos coeficientes son adimensionales. Es muy útil definir estas cantidades que se utilizan con mayor frecuencia en las ecuaciones y cálculos en electrodinámica de medios continuos (más que las susceptibilidades).

Finalmente, al definir las cantidades y , recurrimos a la permitividad absoluta y la permeabilidad absoluta definidas en el caso de medios lineales continuos. Luego encontramos las relaciones constitutivas de un medio lineal (primeras relaciones expresadas): ${\ displaystyle [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)] = \ varepsilon _ {0} [\ varepsilon _ {r} ({\ vec {r}}, \ omega)]}$ ${\ Displaystyle [\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)] = \ mu _ {0} [\ mu _ {r} ({\ vec {r}}, \ omega)]}$

${\ Displaystyle {\ vec {D}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ varepsilon ({\ vec {r}}, \ omega)] * {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

${\ Displaystyle {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, \ omega) = [\ mu ({\ vec {r}}, \ omega)] * {\ vec {H}} ({\ vec {r}}, \ omega)}$

Ver también

Vínculos internos

Bibliografía

Libros introductorios

Accesible a nivel de pregrado.

Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (en) y Matthew Sands (en) , La La Feynman Lectures on Physics [ publicar detalles ], InterEditions, 1979, publicado en dos volúmenes:
- Electromagnetismo I ( ISBN 2-7296-0028-0 ) , reed. Dunod ( ISBN 2-10-004861-9 )
- Electromagnetismo II ( ISBN 2-7296-0029-9 ) , reed. Dunod ( ISBN 2-10-004316-1 )

Libros de referencia

Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t. 8: Electrodinámica de medios continuos [ detalle de ediciones ]

John David Jackson ( traducción del inglés), electrodinámica clásica [" Electrodinámica clásica "] [ detalles de publicación ]

Wolfgang KH Panofsky y Melba Phillips; Electricidad y magnetismo clásicos , Addison-Wesley ( 2 e- edición 1962). Reimpreso por: Dover Publications, Inc. (2005), ( ISBN 0486439240 ) . La obra de referencia en electrodinámica clásica antes de la publicación de Jackson

Aspectos historicos

Olivier Darrigol; Ecuaciones de Maxwell: de MacCullagh a Lorentz , Belin (2005), ( ISBN 2-7011-3073-5 ) . Historiador de la ciencia, Olivier Darrigol es investigador del CNRS. Las ecuaciones de Maxwell, un verdadero monumento científico, proporcionan una descripción precisa de todos los fenómenos electromagnéticos. Aunque James Clerk Maxwell jugó el papel más destacado en su introducción, han aparecido en varios contextos de la pluma de varios autores ( MacCullagh , Maxwell y Lorenz) y solo adquirieron su interpretación moderna a través de los esfuerzos de los herederos de Maxwell ( Heaviside , Hertz y Lorentz ). Esto se muestra por el autor, a través del estudio detallado de los textos escritos fundadores en los dos últimos tercios del XIX ° siglo .

Notas y referencias