Integral indefinida

En análisis real o complejo , una integral indefinida de una función f integrable sobre un intervalo I es una función definida sobre I por

F(X)=∫aXF(t)Dt+K{\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t + K}

donde a es un elemento de I y K una constante real o compleja.

Cuando f es continua , F es una antiderivada de f , es decir, la derivada de F da f ( F '= f ). Entonces nos acostumbramos a notar cualquier primitivo de f en la forma

F=∫F(X)DX{\ Displaystyle F = \ int f (x) \, {\ rm {d}} x}

y confundir integral indefinida y primitiva.

Cuando f no es continua, no existe una correspondencia simple entre la integral indefinida y primitiva, al menos mientras sea la integral de Lebesgue . Pero otros tipos de integrales más potentes, como la integral de Kurzweil-Henstock , permiten integrar, entre otras cosas, cualquier función que admita una primitiva, asegurando la igualdad de la integral y la primitiva hasta una constante .

Caso de la función continua

Cualquier función continua en un intervalo I es integrable en cualquier intervalo cerrado incluido en I . El primer teorema fundamental del análisis afirma que por cada real de una de yo , la función definida en I por

F(X)=∫aXF(t)Dt{\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}

es la antiderivada de f que desaparece en a .

Las primitivas de f son, por tanto, las integrales indefinidas

F(X)=∫aXF(t)Dt+K.{\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t + K.}

La constante K es necesaria para cubrir el conjunto de posibles primitivas de f .

Caso de la función no continua

Durant quatre siècles, les mathématiciens, de Torricelli à Kurzweil et Henstock  (en) en passant par Leibniz , Euler , Cauchy , Riemann , Lebesgue , Denjoy et Perron , se sont efforcés de rechercher un lien fort entre intégrale d'une part et primitive d 'otra parte. Siempre que el trabajo se realice en funciones continuas, la relación es simple, y es Cauchy quien proporciona la prueba ( datos del resumen de lecciones de la 26ª  lección al Instituto Real de Tecnología sobre Cálculo en 1823 ). Establecido este resultado, la investigación se centra en el caso de funciones no continuas. Riemann, luego Lebesgue, luego Kurzweil y Henstock se esfuerzan por presentar definiciones de integrabilidad que permitan ampliar la relación entre integral indefinido y primitivo.

Integral indefinida de una función integrable de Riemann

La integral indefinida de una función integrable de Riemann es siempre continua. Además, es diferenciable en cualquier punto donde la función inicial sea continua. Este resultado lo demuestran Darboux y du Bois Reymond en 1875. Pero la relación entre integral indefinida y primitivo se vuelve más flexible. Así nos encontramos

• integrales indefinidas no diferenciables en algunos puntos como el de la función entera;
• integrales indefinidas diferenciables en pero cuya derivada no coincide en todos los puntos con f. Tomemos, por ejemplo, la función constante igual a 1 excepto donde la función es 2. Su expresión integral indefinida para F ( x ) = x + K y la derivada de F en es 1;R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}X0{\ Displaystyle x_ {0}}X0{\ Displaystyle x_ {0}}
• integrales indefinidas que permanecen no derivables en un conjunto denso  ;
• integrales indefinidas diferenciables en [0, 1] cuya derivada no coincide con f en un conjunto denso;
• funciones F , diferenciables excepto en algunos puntos, pero que no son una integral indefinida de su derivada: por ejemplo, la parte entera  ;
• Funciones F , derivables en , pero cuya derivada f no es integrable de Riemann, por lo tanto, para las que no podemos definir una integral indefinida. Por ejemplo, la continuación continua en 0 de la función es diferenciable, de derivada ilimitada por lo tanto no integrable como función en el segmento [0, 1] por ejemplo. Sin embargo , tenga en cuenta que la integral impropia de esta derivada sobre el intervalo] 0, 1] es convergente.R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}X↦X2pecado⁡(1/X2){\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {2} \ sin (1 / x ^ {2})}

• Función discontinua f (azul) cuya integral indefinida F (rojo) es tal que F '(0) yf (0) son distintas

• Función entera (azul) cuya integral indefinida (rojo) no siempre es diferenciable

• Parte entera de función (rojo) que no es integral indefinida de su derivada (azul)

• Función x 2 sin (1 / x 2 ) (rojo) cuya derivada (azul) no está acotada en la vecindad de 0

Integral indefinida de una función integrable de Lebesgue

Las funciones integrables de Lebesgue amplían el ámbito de las funciones integrables y por tanto el de las integrales indefinidas.

La integral indefinida de una función integrable de Lebesgue es absolutamente continua . Por el contrario, una función absolutamente continua es la integral indefinida de una función integrable de Lebesgue.

La integral indefinida de una función integrable de Lebesgue es diferenciable en cualquier punto donde f es continua y F ' ( x ) = f ( x ) y, más generalmente, es derivable μ-casi en todas partes de la derivada f .

Si F es diferenciable en I y de la derivada integrable de Lebesgue, entonces F es una integral indefinida de su derivada. En otras palabras, si f es integrable de Lebesgue y tiene una antiderivada, esta primitiva corresponde a una integral indefinida de f .

Pero todavía existen funciones continuas F , derivables casi en todas partes, cuya derivada es integrable de Lebesgue sin que F sea ​​una integral indefinida de su derivada. Un ejemplo clásico de tal función es la escalera Cantor .

Sin embargo, cualquier función F con variación acotada es diferenciable casi en todas partes y es la suma de una integral indefinida de F y una función G con variación acotada de derivada cero μ, casi en todas partes.

Las funciones integradas por KH amplían el alcance de las funciones integrables y coinciden casi a la perfección con la noción de integral primitiva e indefinida.

Si F es derivable en I , entonces F ' es integrable en KH y F es una integral indefinida de su derivada. En otras palabras, si f tiene primitivas, entonces son integrales indefinidas de f .

Si f es KH-integrable sobre I , entonces cualquier integral indefinida de f es continua y casi en todas partes admite una derivada igual af .

Notas y referencias

1. Roger Descombes, Integration , Hermann , Paris, 1972 ( ISBN  2 7056 5712 6 ) , p.  116 .
2. Jean Mawhin , "  Presencias de las sumas de Riemann en la evolución del cálculo integral  ", Cahiers du seminaire d'histoire des mathiques , vol.  4,1983, p.  117-147 ( leer en línea ) : pag. 133.
3. Mawhin 1983 , p.  136.
4. Henri Lebesgue, Lecciones sobre integración y búsqueda de funciones primitivas , 1904, p.  65 .
5. Bertrand Hauchecorne, Los contraejemplos en matemáticas , Elipses , París, 1988 ( ISBN  2 7298 8806 3 ) , p.  126 .
6. Alain Michel, Constitución de la teoría moderna de la integración , Vrin , 1992, p.  108 , vista previa en Google Books .