Función numérica

En matemáticas , una función numérica es una función con valores reales , es decir, asocia a cualquier valor posible de sus variables un resultado numérico . El término se usa a menudo para designar una función real de una variable real , especialmente en la educación secundaria, pero también cubre las nociones de función de varias variables o de funciones definidas en otros espacios topológicos como variedades diferenciables , o en estructuras discretas como gráficos. .

Esta función puede representar la evolución de una cantidad a lo largo del tiempo o describir una cantidad que depende de la posición de medición en un espacio, como la temperatura o la presión en meteorología . También puede modelar la influencia de uno o más parámetros en un resultado, como la facturación de una empresa de producción depende del precio de los productos y la cantidad de productos vendidos.

El estudio de las funciones digitales está motivado principalmente por varios tipos importantes de problemas:

la determinación del dominio y la aproximación de los valores;
la ubicación de los antecedentes de un valor dado, que corresponde a la solución de una ecuación ;
la búsqueda de un máximo o un mínimo, lo que constituye un problema de optimización ;
una medida global de valores, que se reduce a una cuestión de integración .

Este estudio se basa generalmente en el análisis de variaciones , representación gráfica , aproximación , interpolación o cálculo de límites .

Dominio de definición y valores

Para una función definida por una expresión que combina las funciones de referencia de una o más variables reales, el dominio de definición está restringido por los valores prohibidos. En particular, el denominador de las fracciones debe ser distinto de cero, el radicando debe ser positivo y el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.

Para una ecuación diferencial ordinaria , el teorema de Cauchy-Lipschitz asegura que las condiciones iniciales definen una solución máxima única bajo un supuesto de regularidad. Para una ecuación diferencial parcial , no existe un método general de resolución, pero ciertos métodos permiten abordar las soluciones.

Para una serie completa , el campo de definición se define por su radio de convergencia, pero puede extenderse en el plano complejo mediante la continuación analítica .

Análisis de variaciones

La variación de una función $f$ entre dos puntos $un$ y $b$ de su dominio de definición es la diferencia $f ( b ) - f ( a )$ . El signo de esta diferencia permite, por tanto, saber en cuál de estos dos puntos la función admite su mayor valor.

En algunos casos, podemos definir una función derivada que mide las variaciones locales. Cuando la variable se establece en una unión de intervalos reales, esta derivada es el límite de la tasa de aumento . Cuando la variable es un número entero , la derivada es simplemente la diferencia entre dos términos consecutivos. Para funciones de varias variables reales, este papel lo cumplen las derivadas parciales y más generalmente las derivadas direccionales . En un gráfico , podemos calcular las variaciones para cada par de nodos vecinos.

Esta derivada permite localizar los extremos de la función. De hecho, para una función derivable de una o más variables reales, siempre se alcanza un extremo local en el borde del campo o en un punto crítico , es decir, en un punto donde la derivada desaparece. Para una secuencia numérica, los extremos locales se alcanzan en los puntos donde la derivada cambia de signo. En un gráfico, los extremos locales se alcanzan en los nodos en los que todas las variaciones con los nodos vecinos tienen el mismo signo.

Análisis de signos

Incluso si significa restar una constante a la función globalmente, la búsqueda de un antecedente se reduce a la búsqueda de ceros , es decir los antecedentes de 0. De manera similar, la resolución de una desigualdad se reduce al estudio del signo de un función.

Aparte de los casos en los que la ecuación $f ( x ) = 0$ se resuelve algebraicamente por factorización, el análisis de variaciones permite intentar aproximar soluciones.

Con una sola variable real o entera, el signo de la derivada permite descomponer el dominio de definición en intervalos en los que la función es monótona. Por dicotomía o utilizando métodos más sofisticados (incluido el método de Newton ), los intervalos en los que la función es positiva se determinan con bastante rapidez.

Para una función de varias variables, diferentes algoritmos, como el descenso de gradiente o el recocido simulado, pueden conducir a la ubicación de un cero y luego a la aproximación de una línea de nivel .

Conjunto de funciones en un espacio dado

Dado un conjunto $X$ , el conjunto de funciones numéricas sobre $X a$ menudo se denota por o . Es un espacio vectorial real e incluso un álgebra conmutativa . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$

Cuando el conjunto $X$ tiene una topología, el espacio admite varias estructuras de espacio vectorial topológicas clásicas, como la topología compacta-abierta . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X, \ mathbb {R})}$

El conjunto de funciones numéricas limitadas en $X$ constituye una subálgebra , completa para la norma infinita de convergencia uniforme . Este álgebra de Banach a veces también se denota como $ℒ$ $\infty$ $($ $X$ $)$ o $ℓ$ $\infty$ $($ $X$ $)$ . ${\ Displaystyle \ mathrm {B} (X, \ mathbb {R}) \ subconjunto {\ mathcal {F}} (X, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$

Notas

Definición de Bouvier-George citada por la tesorería computarizada del idioma francés en la entrada " digital " , Centro Nacional de Recursos Textuales y Léxicos .
N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, libro III: Topología general [ detalle de ediciones ], TG IV.17, §5 N ° 1.
Stella Baruk, “Función”, Diccionario de matemáticas elementales , Éditions du Seuil 1992: “Una variable puede ser discreta, es decir, por ejemplo variar en , como es el caso de las secuencias. " $\ mathbb {N}$

Ver también