Función limitada

En matemáticas , una función definida en un conjunto con valores reales o complejos se llama acotada si el conjunto de sus valores está acotado . En otras palabras, existe un número real tal que $F$ ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle M}$

|F(X)|≤METRO{\ Displaystyle | f (x) | \ leq M}

{\ Displaystyle | f (x) | \ leq M}

para todo x en (notamos que es necesariamente positivo) . Una función que no está limitada se dice que no está limitada . ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle M}$

Si es con valores reales y si para todo adentro , entonces se dice que la función está limitada por . Si es para todo adentro , entonces se dice que la función está subestimada por . Una función de valor real está acotada si y solo si está acotada y acotada a la vez. $F$ ${\ Displaystyle f (x) \ leqslant A}$ $X$ ${\ textstyle X}$ $A$ ${\ Displaystyle f (x) \ geqslant B}$ $X$ ${\ textstyle X}$ $B$

Un caso particular importante es el de una secuencia acotada , donde se considera como el conjunto de números naturales . Por lo tanto, una secuencia está acotada si existe un número real tal que ${\ textstyle X}$ $\ mathbb {N}$ ${\ Displaystyle f = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ $METRO$

|ano|≤METRO{\ Displaystyle | a_ {n} | \ leq M}

{\ Displaystyle | a_ {n} | \ leq M}

para cada número natural . El conjunto de todas las secuencias acotadas forma el espacio de las secuencias acotadas , denotado . $no$ ${\ Displaystyle l ^ {\ infty}}$

La definición de atado se puede generalizar a valoradas funciones en un espacio más general al exigir que la imagen sea un conjunto acotado en . ${\ textstyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ textstyle Y}$ ${\ Displaystyle f (X)}$ ${\ textstyle Y}$

Conceptos relacionados

La noción de límite local es más débil que la noción de límite. Una familia de funciones acotadas se puede acotar uniformemente .

Un operador acotado no es una función acotada dentro del significado de la definición de esta página (excepto si es la función nula), pero tiene la propiedad más débil de preservar la noción de acotado : los conjuntos acotados se envían sobre conjuntos acotados . Esta definición puede extenderse a cualquier función si y permite el concepto de conjunto acotado. ${\ textstyle T: X \ rightarrow Y}$ $T$ ${\ textstyle M \ subseteq X}$ ${\ estilo de texto T (M) \ subseteq Y}$ ${\ textstyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle Y}$

Ejemplos de

La función está limitada. ${\ Displaystyle \ sin: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$
La función definida para todos los reales x excepto y es ilimitada. A medida que x se acerca a o , los valores de esta función aumentan cada vez más. Esta función se puede hacer acotada si consideramos que su dominio es, por ejemplo, o . ${\ Displaystyle f (x) = (x ^ {2} -1) ^ {- 1}}$ $-1$ $1$ $-1$ $1$ ${\ Displaystyle [2, + \ infty [}$ ${\ Displaystyle] - \ infty, -2]}$

La función definida para cualquier x real está acotada. ${\ textstyle f (x) = (x ^ {2} +1) ^ {- 1}}$
La función trigonométrica de arco tangente inversa definida como es creciente para todos los números reales x y está acotada para radianes . ${\ Displaystyle y = \ arctan (x) \, {\ textrm {o}} \, x = \ tan (y)}$ ${\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <y <{\ frac {\ pi} {2}}}$
Cada función continua está limitada. De manera más general, cualquier función continua de un espacio compacto en un espacio métrico está acotada (consulte el teorema del valor extremo para obtener más detalles). ${\ Displaystyle f: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}$
Todas las funciones de valores complejos que son enteros son ilimitadas o constantes, una consecuencia del teorema de Liouville . En particular, el seno complejo debe ser ilimitado porque está completo. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ sin: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$
La función que toma el valor si es un número racional y si es un número irracional (cf. función de Dirichlet ) está acotada. Por lo tanto, una función no tiene que ser "agradable" o "agradable" para estar limitada. El conjunto de todas las funciones limitadas definidas en es mucho mayor que el conjunto de funciones continuas en este intervalo. $F$ ${\ textstyle 0}$ ${\ textstyle x}$ ${\ textstyle 1}$ ${\ textstyle x}$ $[0.1]$

Observaciones

El conjunto de funciones reales acotadas en un mismo conjunto constituye un subespacio vectorial estable también por multiplicación , lo que lo convierte en un álgebra normalizada por la norma infinita . De manera más general, este conjunto es estable por composición mediante una función continua. Esto implica en particular que cualquier variable aleatoria real acotada admite momentos de cualquier orden.

La existencia de límites permite justificar la existencia de límites finitos para una función creciente en un intervalo.

Ver también

Conjunto acotado
Soporte compacto
Terminal local
Terminal uniforme