Álgebra de Banach

En matemáticas , el álgebra de Banach es una de las estructuras fundamentales del análisis funcional , que lleva el nombre del matemático polaco Stefan Banach (1892-1945).

Definición

Definición - Un álgebra de Banach sobre el campo K = ℝ o ℂ es un K- álgebra asociativa normada tal que el espacio vectorial normado subyacente es además un espacio de Banach ( es decir, completo para la norma).

Hacemos esta definición explícita: un álgebra de Banach A sobre el campo K = ℝ o ℂ es un espacio vectorial normalizado completo sobre K (denotamos la norma) dotado de una ley interna designada por la multiplicación, de modo que cualquiera que sea x , y , z elementos de A y elemento de K : $\ | \ cdot \ |$ $\alfa$

${\ Displaystyle (xy) z = x (yz)}$ ( asociatividad );
${\ Displaystyle x (y + z) = xy + xz}$ , Y ( bilinealidad ); ${\ Displaystyle (y + z) x = yx + zx}$ ${\ Displaystyle (\ alpha x) y = x (\ alpha y) = \ alpha (xy)}$
${\ estilo de visualización \ | xy \ | \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}$ (sub-multiplicatividad).

Hablamos de álgebra de Banach conmutativa cuando la ley del producto es conmutativa .

Según los autores, la estructura del álgebra requiere o no la presencia de un elemento unitario (necesariamente único). Los términos álgebra unitaria y álgebra no unitaria permiten diferenciar entre estructuras. En un álgebra de Banach unitaria distinta de cero , siempre se puede suponer que el elemento unitario tiene la norma 1 , incluso si eso significa reemplazar la norma por una cierta norma equivalente .

Ejemplos de

El conjunto de números reales con el valor absoluto, la suma y el producto es un álgebra de Banach real y unitaria. Asimismo, el conjunto de números complejos, provisto del módulo, la suma y el producto, es un álgebra de Banach compleja y unitaria. Estos ejemplos son fundamentales.
Si E es un espacio de Banach, el espacio ℒ ( E ) de endomorfismos continuos de E , dotado de la composición y la norma de operadores . Si E es de dimensión finita n , ℒ ( E ) se identifica con el álgebra de matrices $M$ n ( K ), dotado de una norma matricial adecuada. $M$ 1 ( K ) = K (provisto del valor absoluto si K = ℝ y el módulo si K = ℂ).
En el álgebra ℒ ( E ) de operadores acotados de un espacio de Banach E , el K ( E ) ideal de operadores compactos . Si E es de dimensión finita, y solo en este caso, esta subálgebra K ( E ) es unitaria porque es igual a ℒ ( E ).
Para 1 ≤ p <∞, el álgebra de normas de los operadores de clase de Schatten (de) p sobre un espacio de Hilbert (que son los operadores de traza si p = 1 y los operadores de Hilbert-Schmidt (de) si p = 2) y más generalmente, el de los operadores nucleares (en) de orden p en un espacio de Banach.
El álgebra ℓ $\infty$ ( X ) de funciones (con valores reales o complejos) acotadas sobre un conjunto X , dotado de la norma de convergencia uniforme , definida por . ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in X} | f (x) |}$
Si X es un espacio compacto , la subálgebra C ( X ) de ℓ $\infty$ ( X ) formada por funciones continuas sobre X (estas funciones están necesariamente acotadas).
De manera más general, si X es un espacio localmente compacto , la subálgebra C b ( X ) = C ( β X ) de ℓ $\infty$ ( X ) formada por funciones continuas y acotadas en X , y la subálgebra C 0 ( X ) de C b ( X ) compuesto por funciones continuas y cero en el infinito . Si X es compacto, y solo en este caso, C 0 ( X ) es unitario porque es igual a C b ( X ).
Si G es un grupo localmente compacto y μ es su medida de Haar , el espacio $L 1$ ( G ) de funciones integrables μ (igualdad de módulo μ- casi en todas partes ), dotado del producto de convolución x ∗ y ( g ) = ∫ x ( h ) y ( h −1 g ) dμ ( h ). Es conmutativo si y solo si G es abeliano , y es unitario si y solo si G es discreto .

Propiedades de las álgebras de Banach unitarias

Sea A un álgebra de Banach unitaria, con elemento unitario e .

Propiedades de la aplicación del interruptor inverso

Como en cualquier anillo (y un álgebra asociativa unitaria lo es en particular), los elementos invertibles de A forman un grupo . Cualquier elemento e - u de la bola abierta de centro e y radio 1 es parte de él, y su inverso se puede expresar como la suma de la serie geométrica de la razón u , absolutamente convergente.

{\ Displaystyle \ | u \ | <1 \ Longrightarrow (eu) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} u ^ {n}}

De ello se deduce que el grupo G de los elementos invertibles de un álgebra de Banach unitaria es abierto .

El mapa de paso inverso es un homeomorfismo de G a G , lo que le da a G una estructura de grupo topológico . Incluso es un mapa diferenciable (infinitamente, por inducción), el diferencial en el punto $x$ viene dado por:

{\ Displaystyle {\ rm {d}} _ {x} \ mathrm {Inv} (h) = - x ^ {- 1} hx ^ {- 1}.}

La suposición de integridad es esencial y estos resultados fallan en álgebras normalizadas no completas. Por ejemplo, considere el álgebra ℝ [ X ] de polinomios con coeficientes reales, dotados de cualquier norma de álgebra. El grupo de invertibles es ℝ * que está incluido en el subespacio vectorial estricto ℝ de ℝ [ X ] y, por lo tanto, está vacío internamente ; por tanto, no está abierto. Esto muestra en particular que ℝ [ X ] no puede estar dotado de una estructura de ℝ-álgebra normalizada completa. Además, según el teorema de Baire , un espacio vectorial normado de dimensión contable nunca está completo: ver el § “Completitud” del artículo sobre espacios vectoriales normados.

Ideales y álgebra de cocientes

Los ideales máximos de un álgebra de Banach unitaria son cerrados .

Demostración

Deje A un unitaria Banach álgebra, G su grupo de invertible y I un ideal maximal de A . Yo es desarticulado del G abierto . Su agarre J es por lo tanto también: J es una estricta ideales de A . Como tiene también I incluido en J y I máxima fue de I = J y I es cerrado en A .

Un álgebra de Banach unitaria compleja (no conmutativa a priori ) en la que cualquier elemento distinto de cero es invertible es isométricamente isomorfo al campo de los números complejos ( teorema de Gelfand-Mazur ); en particular, los ideales máximos de las álgebras de Banach unitarias complejas son hiperplanos cerrados.

Notas

En el Volumen II de sus Elementos de análisis , Jean Dieudonné impone la existencia de un elemento unitario en la definición de un álgebra de Banach. Por el contrario, N. Bourbaki no lo supone .
De aquí se sigue la teoría de las representaciones de las álgebras de Banach.
Véase, por ejemplo, este ejercicio corregido de la lección "El cálculo diferencial" en Wikiversidad .

Ver también

Bibliografía

(en) Alphons Willem Michiel Graven, Módulos de Banach sobre Álgebras de Banach , Meppel, Krips Repro,1974( leer en línea )