Función (matemáticas elementales)
En matemáticas elementales , la mayoría de las funciones encontradas son funciones numéricas, pero la noción de función no se limita a ésta.
- El siguiente artículo presenta algunas reglas para conocer las funciones.
- La función numérica del artículo se ocupa de las funciones numéricas en matemáticas elementales.
- La función de artículo (matemáticas) los presenta en general.
Una función
Una función es una relación que, para cada valor de la variable x , corresponde como máximo a un valor (0 o 1) de y .
Para expresar que y depende de x , escribimos: y = f ( x ).
Las reglas
- Tener un conjunto inicial que contenga el conjunto de definiciones de función y un conjunto final.
- Para cada elemento de este conjunto de definición, haga coincidir uno de los del conjunto de llegada.
En matemáticas elementales, los alumnos suelen olvidar la primera de estas reglas (aunque sea esencial) porque los ejemplos que se proponen se limitan a unos pocos conjuntos de inicio y finalización naturales en el contexto de trabajo (conjunto de números reales para las funciones numéricas, conjunto de puntos en el plano para funciones puntuales).
Sin embargo, sigue siendo importante.
Imagen, antecedente
Si a un elemento , hacemos coincidir un elemento :
- el elemento se llama imagen de ;
- el artículo se denomina antecedente de .
Ejemplo : Con , tenemos
bien dicho es la imagen de por es un antecedente de por
Nota: por una función, una misma imagen puede tener varios antecedentes. Por otro lado, cada antecedente tiene una sola imagen.
Ejemplos de
Por tanto, una función es una herramienta que tiene un conjunto inicial y un conjunto final, haciendo que los elementos del primero correspondan a los elementos del segundo.
Ejemplo 1
Una función permite transformar un número real en otro, por ejemplo, aplicándole una serie de operaciones que deben permanecer idénticas para cada número.
En este caso, el conjunto inicial es , el conjunto de definición es el conjunto de reales para los que se puede aplicar la secuencia de operaciones, y el conjunto final es .
Si la secuencia de operaciones consiste en elevar al cuadrado, restar 4 y tomar el revés, creamos una función:
- Establecer inicio :;
- Dominio de la definición: todos los números reales diferentes de y ;
- Conjunto de llegada :;
- Correspondencia: a , asociamos .
La imagen de es , los antecedentes de son y .
Ejemplo 2
Una función también permite asociar puntos con otros puntos a partir de consideraciones geométricas.
En este caso, el conjunto inicial es el conjunto de puntos del plano (o espacio), el conjunto de llegada es el conjunto de puntos del plano (o espacio).
Por ejemplo, si A y B son dos puntos diferentes, se puede asociar, con cualquier punto M no ubicado en (AB), el punto N de manera que AMBN sea un paralelogramo:
- Conjunto inicial: (el plan);
- Conjunto de definiciones de :;
- Conjunto de llegada :;
- Correspondencia: con M, asociamos N de manera que AMBN es un paralelogramo.
apellido
Las funciones más utilizadas terminan con nombres específicos (sin, cos…), otras se llaman f, g, etc. La imagen de un elemento a para la función f se denomina f (a) .
Clasificación
Para resumir toda esta información, utilizamos el siguiente escrito
con y = f (x) donde D representa el conjunto inicial y A el conjunto final.
La búsqueda del dominio de definición, si es más pequeño que el conjunto inicial, queda por hacer.
A veces, uno se satisface con la escritura excesiva y = f (x) mientras se olvida todo lo demás; esto a veces puede conducir a una confusión peligrosa si simplificamos demasiado rápido, como señaló Gottlob Frege en ¿Qué es una función? .
- Ejemplo sutil: la función y la función no son lo mismo, ya que f está "prohibido para x = 0 ".
