Extensión analítica

En el análisis complejo , la teoría de la extensión analítica detalla todas las propiedades y técnicas relacionadas con la extensión de funciones holomórficas (o analíticas ). Primero considera la cuestión de la prolongación en el plano complejo . Luego se acerca a formas de extensión más generales que permiten tener en cuenta las singularidades y las complicaciones topológicas que las acompañan. Entonces, la teoría involucra el concepto bastante antiguo y poco operativo de función multiforme , o el concepto más poderoso de superficie de Riemann .

Existe también una teoría de la prolongación analítica para las funciones de varias variables complejas , cuya dificultad es mayor, y cuyo tratamiento estuvo en el origen de la introducción de la cohomología de las gavillas .

Función holomorfa en un plano abierto del complejo

Posición de los problemas de prolongación analítica

Dada una función analítica compleja en un dominio D, la teoría esencialmente plantea dos preguntas:

• por un lado, cuál es el dominio más grande donde la representación de la función es válida (por ejemplo, si la función está definida por una serie entera , el radio de convergencia de esta serie; si la función está definida por una integral o una ecuación diferencial , el dominio de validez de esta representación.)
• entonces, si la representación puede extenderse a un dominio mayor, incluso a costa de una extensión de la representación: integral tomada en el sentido de los valores principales de Cauchy , pseudo funciones de Hadamard, extensión radial, estrella de Mittag- Leffler  (in) , sumatoria de series divergentes en el sentido de Cesàro , Borel , etc.

Singularidad de la extensión analítica

Tenemos este resultado en las funciones analíticas . Dejado ser un abierto de , un punto de y una función analítica . Suponemos además que está conectado (esta suposición es esencial). Entonces las siguientes cuatro proposiciones son equivalentes: U{\ Displaystyle U}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}a{\ Displaystyle a}U{\ Displaystyle U}F:U→VS{\ Displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}U{\ Displaystyle U}

1. F{\ Displaystyle f}es idénticamente cero en  ;U{\ Displaystyle U}
2. F{\ Displaystyle f}es idénticamente cero en un vecindario de  ;a{\ Displaystyle a}
3. ∀no∈NO, F(no)(a)=0{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ f ^ {(n)} (a) = 0} ;
4. F{\ Displaystyle f}es idénticamente cero en un conjunto de puntos que tienen un punto de acumulación en .U{\ Displaystyle U}

Demostración

Es claro que 1 implica 2 lo que implica 3 que implica 4. Por lo tanto, basta con mostrar que 4 implica 1. Para hacer esto, considere el conjunto A de puntos b de U tal que f es cero en la vecindad de b .

Por definición, A está abierto. También es cerrado: si es una secuencia de puntos de A que tienden ab entonces todas las derivadas sucesivas de f en ellos son cero y como son continuas también se cancelan en b . La analiticidad nos permite concluir que f es cero en la vecindad de b . (Bno)no{\ Displaystyle (b_ {n}) _ {n}}Bno{\ Displaystyle b_ {n}}

Dado que se supone que U está conectado, ahora basta con mostrar que A no está vacío. Aquí es donde entra en juego la hipótesis del punto de acumulación: sea b, por tanto, un punto de acumulación de ceros de f . Si f no fuera idénticamente cero en la vecindad de b, admitiría una expansión de la serie que comienza con un término distinto de cero: con g diferente de cero en 0. Por continuidad, g sería entonces distinta de cero en la vecindad de 0 y por tanto, localmente, b sería el único cero de f , lo que contradeciría el hecho de que es un punto de acumulación de dichos ceros. En resumen, b está en A que, por tanto, no está vacío. F(B+z)=∑k≥NOakzk=zNOgramo(z){\ Displaystyle f (segundo + z) = \ sum _ {k \ geq N} a_ {k} z ^ {k} = z ^ {N} g (z)}

Aplicando este teorema a la diferencia de dos funciones analíticas, se obtiene la unicidad de la continuación analítica. De hecho, si , son dos funciones analíticas en un conjunto abierto conectado de ℂ y si y coinciden en una vecindad de un punto de , entonces en esta vecindad, por lo tanto, por teorema en y por lo tanto en . F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}U{\ Displaystyle U}F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}U{\ Displaystyle U}F-gramo=0{\ displaystyle fg = 0}F-gramo=0{\ displaystyle fg = 0}U{\ Displaystyle U}F=gramo{\ Displaystyle f = g}U{\ Displaystyle U}

Intervención de singularidades

Sea f una función analítica sobre una U abierta . Es natural para tratar de extender f a puntos de la frontera del T . Sea usted tal punto.

Para la tipología, es importante separar los puntos de vista local y global en cuestiones de existencia y unicidad. Por ejemplo, podemos definir una función de logaritmo complejo holomórfico en el plano privado de una media línea formada por reales negativos, y no existe una extensión holomórfica a un dominio más grande. Sin embargo, si consideramos un real estrictamente negativo u , y la restricción de la función a complejos de parte imaginaria estrictamente positiva, esta restricción puede prolongarse en un disco centrado en el punto u , y esta prolongación es la única posible en el dominio considerado (unión de un semiplano y un disco).

De manera más general, si, incluso si eso significa hacer tal restricción previa, existe una función holomórfica en la vecindad de u que se extiende a f , se dirá que el punto u es regular .

Definición  : u es regular para f cuando existe un conjunto abierto conectado V que contiene u y un mapa holomórfico g en V , de manera que f y g coinciden en un W abierto incluido en los dos dominios de definición y que tiene u como límite. De lo contrario, se dice que el punto es singular .

El ejemplo del logaritmo complejo muestra que la noción de punto regular no se interpreta como una extensión de la función inicial, sino solo como una posibilidad local de extenderla. La topología de la U abierta interviene para determinar si la extensión global es realmente posible.

Funciones multiformes

Si a cada valor que puede tomar una variable compleja le corresponden varios valores de una variable compleja , decimos que es una función multiforme de . z{\ Displaystyle z}w{\ Displaystyle w}w{\ Displaystyle w}z{\ Displaystyle z}

Superficie de Riemann asociada a una función

Ver también

• Dominio holomórfico
• Germen (matemáticas)
• Monodromía
• Punto de conexión
• Serie de brechas

Referencias

1. Spiegel, Murray R. , Variables complejas: cursos y problemas , Mcgraw-Hill,1973( ISBN  2704200203 , OCLC  299367656 , leer en línea ) , p. 33

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Continuación analítica  " ( ver la lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">